资源简介

第 1 讲 一元二次方程的综合应用
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
一元二次方程的概念 例 1
一元二次方程的解法 例 2、例 3
一元二次方程的复习
根的判别式 例 4
根与系数的关系 例 5
传播及增长率的应用 例 6
销售利润的应用 例 7
一元二次方程的应用
几何面积的应用 例 8
比赛问题的应用 例 9
模块 1 一元二次方程的复习
【知识梳理】
一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2
一元二次方程的一般形式是 ax bx c 0 a 0 ；其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx 是
一次项，b是一次项系数；c 是常数项．
【注】①方程的两边都是整式；②方程中只含有一个未知数；③未知数的最高次数是 2．
2．根的概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解
也叫做一元二次方程的根．
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 1 /
二、一元二次方程的解法
1．配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．
2
2．公式法：当 0 ax
2 bx c a b b 4ac时，方程 0 0 的实数根可写为 x 的形式，这
2a
个式子叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 的求根公式．解一个具体的一元二次方程时，把各系数
直接带入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
3．因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别
等于 0，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
三、一元二次方程根的判别式
1．概念：一般地，式子b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 根的判别式，通常用希腊字母
“ ”表示它，即 b2 4ac．
2．根的判别式的应用：
2
①当 0时，方程 ax bx c 0 a 0 有两个不等的实数根；
2
②当 0时，方程 ax bx c 0 a 0 有两个相等的实数根；
2
③当 0时，方程 ax bx c 0 a 0 无实数根．
ax2【想一想】一元二次方程 bx c 0 a 0 有实数根应该怎么表示？
笔记区：
2
0时，方程 ax bx c 0 a 0 有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
2
1．一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的两根 x1 ， x2 和系数 a、b、c 有如下关系：
b c
x1 x2 ， x1x2 ．
a a
【想一想】如果已知方程的两根为 p、q，则这个方程可以写为 x2 ______ x _____ 0 ．
笔记区：
x2 p q x pq 0． x2 p q x pq 0
2．常见的韦达定理应用变形：
2 2 2① x1 x2 x1 x2 2x1x2 ；
② x
2
1 x2 x1x
2
2 x1x2 x1 x2
1 1 x x
③
1 2
；
x1 x2 x1x2
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 2 /
2
x x 2 2 x x 2x x
④ 2 1
x1 x2 1 2 1 2 ；
x1 x2 x1x2 x1x2
2 2
⑤ x1 x2 x1 x2 4x1x2 ．
【经典例题】
【例1】
1．（互 1）1．方程7x2 2 4x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A．7、4、 2 B．7、 4 、 2 C．7、4、2 D．7、 4 、2
【解答】故选： A ．
2．（互 2）若m 是方程 x2 x 1 0的根，则 2m2 2m 2018的值为 ( )
A．2022 B．2020 C．2018 D．2016
【解答】解： m是方程 x2 x 1 0的根，
m2 m 1 0，
即m2 m 1，
2m2 2m 2018
2(m2 m) 2018
2 1 2018
2020．
故选： B ．
【例2】
1． 按照要求解方程
（1）用配方法解方程： 2x2 7x 5 0
2x2 7x 5 0 ，
2 7 5 x x ，
2 2
x2
7 49 9
x ，
2 16 16
7
(x )2
9
，
4 16
7 3
x ，
4
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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5
x 或 x 1
2
（2）用公式法解方程： y(y 3) 2 y(1 3y)
整理为一般式，得： 2y2 2y 1 0 ，
a 2，b 2， c 1，
△ ( 2)2 4 2 ( 1) 12 0 ，
2 2 3 1 3
则 y ；
4 2
（3）用公式法解方程： 2x2 4x 3 0
b2 4ac ( 4)2 4 2 3 8 0，
方程无实数根，
（4）用因式分解法解方程 (x 6)2 6x 6 6 ．
(x 6)2 6x 6 6 0，
(x 6)2 6(x 6) 0，
则 (x 6)(x 6 6) 0 ，
解得 x1 6 ， x2 6 6 ．
2．（互 3）已知 x 为实数，且满足 (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0，那么 x2 3x 1的值为 ( )
A． 2 B．0 或 4 C．0 D．2
【解答】解：由 y x2 3x ，
则 (x2 3x)2 2(x2 3x) 3 0，可化为： y2 2y 3 0，
分解因式，得， (y 3)(y 1) 0 ，
解得， y1 3， y2 1，
当 x2 3x 3时，经△ 32 3 4 3 0 检验，可知 x 不是实数
当 x2 3x 1时，经检验，符合题意．
x2 3x 1 0
故选：C ．
【例3】
解分式方程： 1 1 x ．
3x
x 2 2 x
【解答】解：方程两边都乘以 x 2得：1 3x(x 2) (1 x)，3x2 7x 2 0
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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1
解得： x1 2 ， x2
3
检验：当 x 2时， x 2 0，
所以 x 2不是原方程的解，
1
原方程的根为 x ．
3
【例4】
1．（互 4）若关于 x 的一元二次方程 kx2 4x 1 0有实数根，则 k 的取值范围为 ( )
A． k 4 B． k 0 C． k 4且 k 0 D． k 4且 k 0
【解答】解： 关于 x 的一元二次方程 kx2 4x 1 0有实数根，
k 0且△ ( 4)2 4k 0 ，
解得： k 4且 k 0．
故选：C ．
c a
2．（互 5）关于 x 的一元二次方程 (a b)x
2 (a c)x 0 有两个相等的实数根，那么以 a 、b 、
4
c 为三边的三角形是 ( )
A．以 a为斜边的直角三角形 B．以 c 为斜边的直角三角形
C．以 b 底边的等腰三角形 D．以 c 底边的等腰三角形
2 c a
【解答】解：据题意得 (a c) 4(a b) [ ] 0
4
(a c)[a c (a b)] 0
(a c)( c b) 0
c b 0
a c 0
a c
所以三角形是以b 为底边的等腰三角形
故选：C ．
．关于 x 的方程mx23 (m 3)x 3 0 ．
（1）求证该方程一定有实数根；
（2）若该方程有两个不等的整数根，m 为整数，求m 的值．
【解答】解：(1)当m 0时， 3x 3 0， x 1
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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2 2
当m 0时 m 3 12m m 3 0
所以方程一定有实数根；
（2） mx2 (m 3)x 3 0，即 (mx 3)(x 1) 0，
3
解得： x ， x2 11 ．
m
关于 x 的一元二次方程mx2 (m 3)x 3 0 有两个不等的整数根，
3 3
m 0， 为整数，且 1．
m m
又 m为整数，
m 1，-3．
【例5】
1．如果m 、 n是一元二次方程 x2 2x 4 0的两个实数根，则m3 2m2 4n 8 ．
【解答】解： m是一元二次方程 x2 2x 4 0的两个实数根，
m2 2m 4 0，
即m2 2m 4，
m3 2m2 4n m(m2 2m) 4n 4m 4n 4(m n) ，
m、 n是一元二次方程 x2 2x 4 0的两个实数根，
m n 2，
m3 2m2 4n 4 2 8．
故答案为 8．
2 a
2．已知关于 x 的一元二次方程 ax (a 1)x 0有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ．
4
（1）求 a的最小整数值；
（2）当 x1 x2 1时，求 a 的值．
【解答】解：（1） 一元二次方程有两个不相等的实数根 x1 ， x2 ，
a 1
a 0且△ (a 1)
2 4 a 0，解得 a 且a 0；
4 2
a 的最小整数值为 1；
a 1 1
（2） x1 x2 ， x1x2 ，
a 4
而 x1 x2 1，
(x 2 21 x2 ) 1，即 (x1 x2 ) 4x1x2 1，
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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a 1 2 1 ( ) 4 1，
a 4
解得 a1 1 2 ， a2 1 2 ，
1
而 a 且 a 0，
2
a 1 2 或1 2 ．
模块 2 一元二次方程的应用
【知识梳理】
一、实际问题与一元二次方程
1.同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可作为反映某些实际问题中数量
关系的数学模型.常见的模型有几何面积问题、销售利润问题、增长率问题等.
2.解应用题的一般步骤可以归结为:“审、设、列、解、验、答”.
①“审”—审题：已知量，未知量，题目类型；
②“设”—设元：直接设元或间接设元；
③“列”—列方程：根据等量关系列方程；
④“解”—解方程：求出未知数的值；
⑤“验”—验解：检验方程的解能否保证实际问题有意义；
⑥“答”—写出答案(包括单位名称).
【经典例题】
【例6】
（互 6）1．2020 年突发的疫情，牵动所有人的心，小探在新闻中也在时时刻刻关注事态的发展：
肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将
会有 225 人感染，若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程 ( )
A．1 x 225 B．1 x2 225
C． (1 x)2 225 D．1 (1 x2 ) 225
【解答】解：设 1 人平均感染 x 人，
依题意可列方程： (1 x)2 225．
故选：C ．
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 7 /
（互 7）2．疫情期间，全民居家隔离后，小探发现互联网行业的销售迎来大好发展：天猫某店铺
第 2 季度的总销售额为 662 万元，其中 4 月份的销售额是 200 万元，设 5、6 月份的平均增长率为 x ，
求此平均增长率可列方程为 ( )
． 200(1 x)2A 662
B． 200 200(1 x)2 662
C． 200 200(1 x) 200(1 x)2 662
． 200 200x 200(1 x)2D 662
【解答】解：设利润平均每月的增长率为 x ，
又知：第 2季度的总销售额为 662 万元，其中 4 月份的销售额是 200 万元，
所以，可列方程为： 200 200(1 x) 200(1 x)2 662；
故选：C ．
笔记区：
增长率相关问题，常用到的公式有：
增量 减量
增长率 100% ；降低率 100%；
原总量 原总量
增长情形：现总量 原总量 (1 增长率)n；（其中 n为增长频次）
降低情形：现总量 原总量 (1 降低率)n ；（其中 n为降低频次）
【例7】
经过全民的不懈努力，疫情终于得到了初步控制，市民可凭借健康码有序出行，小探也终于能到久
违的商场逛街．由于前段时间的隔离，商场的经营百废待兴，故而采用降价的方式扩大销售，其中：
1．（互 8）商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元．市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平
均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台．商场要想使这种冰箱
的销售利润平均每天达到 5000 元，设每台冰箱的降价 x 元，则 x 满足的关系式为 ( )
x
A． (x 2500)(8 4 ) 5000
50
x
B． (2900 x 2500)(8 4 ) 5000
50
2900 x
C． (x 2500)(8 4 ) 5000
50
2900 x
D． (2900 x)(8 4 ) 5000
50
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 8 /
x
【解答】解：设每台冰箱的降价 x 元，依题意得 (2900 x 2500)(8 4 ) 5000．
50
故选： B ．
2．商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 45 元，为了扩大销售、增加盈利尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每
天可多售出 4 件，若商场平均每天盈利 2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 900 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价 x 元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件
（用含 x 的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出 x 的值．
【解答】解：（1） 20 45 900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价 x 元，则每件衬衫盈利 (45 x) 元，平均每天可售出
(20 4x)件，
故答案为： (45 x) ； (20 4x)；
（3）由题意得： (45 x)(20 4x) 2100，
解得： x1 10， x2 30 ．
因尽快减少库存，故 x 30．
答：每件衬衫应降价 30 元．
【例8】
天气转暖，疫情也趋于稳定控制，各行各业逐渐复工，小探发现最近小区物业着手于小区的绿化：
小区为美化环境，准备在长 35 米，宽 20 米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部
分作草坪，并请全小区参与方案设计，现有 3 位市民各设计了一种方案，图纸分别如图 1、图 2 和
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 9 /
图 3 所示（阴影部分为草坪）．
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解．
①甲方案设计图纸为图 1，设计草坪的总面积为 600平方米；
②乙方案设计图纸为图 2，设计草坪的总面积为 600平方米；
③丙方案设计图纸为图 3，设计草坪的总面积为 540平方米．
【解答】解：①设道路的宽为 x 米．依题意得：
(35 2x)(20 2x) 600；
②设道路的宽为 x 米．依题意得： (35 x)(20 x) 600；
③设道路的宽为 x 米．依题意得： (35 2x)(20 x) 540 ．
【例9】
转眼到了五月中旬，学校恢复了线下教学，小探也回到久违的学校学习，为倡导积极健康的生活方
式、丰富课余生活，学校推出系列文化活动，其中的乒乓球比赛采用单循环赛制（即每两名参赛者
之间都要进行一场比赛）经统计，此次乒乓球比赛男子组共要进行 28 场单打．则参加此次乒乓球
男子单打比赛的选手有_____________名．
【解答】解：参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有 x 名，
1
根据题意得， x(x 1) 28，
2
解得： x 8， x 7（不合题意舍去），
答：参加此次乒乓球男子单打比赛的选手有 8名；
备选题
【备1】
x2a b 2xa b 3 0是关于 x 的一元二次方程，求 a 与b 的值．
【解答】解： x2a b 2xa b 3 0 是关于 x 的一元二次方程，
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 10 /
2a b 2 a 1
① ，解得 ；
a b 1 b 0
2a b 2 a 2
② ，解得 ；
a b 0 b 2
a b 2 a 1
③ ，解得 ；
2a b 1 b 3
a b 2 a 2
④ ，解得 ；
2a b 0 b 4
2a b 2 a 0
⑤ ，解得 ．
a b 2 b 2
a 1 a 2 a 1 a 2 a 0
综上所述 ， ， ， ， ．
b 0 b 2 b 3 b 4 b 2
【备2】
4 42 4 2 1
x 是下列哪个一元二次方程的根 ( )
2 2
A． 2x2 4x 1 0 B． 2x2 4x 1 0 C． 2x2 4x 1 0 D．2x2 4x 1 0
【解答】解：解一元二次方程的公式为
b b2 4ac
x ．
2a
所以 a 2，b 4， c 1．
所以方程为 2x2 4x 1 0
故选： A ．
【备3】
已知在方程 x2 2x 2a 3 0 和 x2 2x a 5 0 中，至少有一个方程有实数解，则实数 a 的取值
范围是 ( )
A． 4 a 1 B． a 4 C． a 1 D．a 4或 a 1
【解答】解：方程 x2
2
2x 2a 3 0 的判别式△ 2 4( 2a 3) 8a 8 ；
方程 x2 2x a 5 0 的判别式△ 2
2 4(a 5) 4a 16；
当两方程都没有实数解时，△ 8a 8 0且△ 4a 16 0，解得 4 a 1，
所以当 a 4或 a 1时，两个方程至少有一个方程有实数解．
故选： D ．
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 11 /
【备4】
如果关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称
这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是 ( )
A．方程 x2 3x 2 0 是倍根方程
B．若 (x 2)(mx n) 0是倍根方程，则 4m2 5mn n2 0
C．若 pq 2 ，则关于 x 的方程 px2 3x q 0是倍根方程
5
D．若方程 ax2 bx c 0 是倍根方程，且5a b 0，则方程ax2 bx c 0 的一个根为
4
【解答】解： A 、解方程 x2 3x 2 0 得： x1 2 ， x2 1，
方程 x2 3x 2 0 是倍根方程，故①正确，不符合题意；
n
B 、 (x 2)(mx n) 0 是倍根方程，且 x1 2 ， x2 ，
m
n n
1，或 4 ，
m m
m n 0，或4m n 0，
4m2 5mn n2 (4m n)(m n) 0，故②正确，不符合题意；
C 、 pq 2，
1 2
解方程 px2 3x q 0得： x1 ， x2 ，
p p
x2 2x1 ，故③正确，不符合题意；
D 、 方程 ax2 bx c 0 是倍根方程，
设 x1 2x2 ，
x1 x2 5，
x2 2x2 5，
5
x2 ，故④错误，符合题意．
3
故选： D ．
【备5】
关于 2 2x 的一元二次方程 x (2k 1)x k 0有两个不等实根 x1 ， x2 ，
（1）求实数 k 的取值范围；
（2）若方程两实根 x1 ， x2 满足 x1 x2 x1x2 1 0，求 k 的值．
【解答】解：（1） 关于 的一元二次方程 x2x (2k 1)x k 2 0有两个不等实根 x1 ， x2 ，
2 2
△ (2k 1) 4 1 k 4k 1 0，
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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1
解得： k ，
4
1
即实数 k 的取值范围是 k ；
4
（2）由根与系数的关系得： 2x1 x2 (2k 1) 1 2k ， x1 x2 k ，
x1 x2 x1x 1 0 ， 2
1 2k k 2 1 0，
解得： k 0或 2，
1
由（1）知： k ，
4
k 2舍去，
即 k 0．
挑战极限
已知：关于 x 的一元二次方程 x
2 2 2m 3 x 4m2 14m 8 0有两个整数根，其中12 m 40，
则整数m 的值为_____________．
【解答】
2(2m 3) 8m 4
（1）解：由求根公式得： x (2m 3) 2m 1
2
方程有两个整数根，
必须使 2m 1为整数且m 为整数．
2m 1必是奇数，
2m 1是奇数
又 12 m 40，
25 2m 1 81．
5 2m 1 9．
2m 1 7 ，
m 24．
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
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巩固练习
【练习1】
．若 (m 1)xm(m 2) 11 2mx 1 0是关于 x 的一元二次方程，则m 的值是 3 ．
【解答】解：由题意，得
m(m 2) 1 2且m 1 0 ，
解得m 3，
故答案为： 3．
2．已知 1是关于 x 的一元二次方程 ax2 bx 1 0的一个根，则a b的值是 ( )
A． 1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：把 x 1代入一元二次方程 ax2 bx 1 0得 a b 1 0，
所以 a b 1．
故选： A ．
【练习2】
某公司 2017 年的营业额是 100 万元，2019 年的营业额为 121 万元，设该公司年营业额的平均增长
率为 x ，根据题意可列方程为 ( )
．100(1 x)2A 121 B．100(1 x)2 121
C．121(1 x)2 100 D．121(1 x)2 100
【解答】解：设年平均增长率为 x ，由题意得：
100(1 x)2 121．
故选： A ．
【练习3】
请用合适的方法解方程：
（1） 4x2 8x 1 0
（2） (x 2)(x 3) 12
（3）3x2 6x 4 0 ；
3 x
（4） 2 ．
x x 1
【解答】解：（1） a 4，b 8，c 1，
△ ( 8)2 4 4 1 48 0 ，
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 14 /
8 4 3 2 3
则 x ；
8 2
（2）方程整理为一般式，得： x2 5x 6 0 ，
则 (x 6)(x 1) 0，
x 6 0或 x 1 0，
解得： x 6或 x 1．
（3） a 3，b 6， c 4，
△ b2 4ac 36 4 3 ( 4) 84 0 ，
此方程有两个不相等的实数根，
6 84 6 2 21
x ，
6 6
3 21 3 21
x1 , x ． 2
3 3
（4）方程两边都乘以 x(x 1)得：3(x 1) 2x(x 1) x2 ， x2 5x 3 0
5 13
解得： x ，
2
5 13 3
检验：当 x 时， x(x 1) 0，所以 x 是原方程的解，
2 4
即原方程的解是 5 13 ； 5 13
x1 x2
2 2
【练习4】
已知关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 (m 2)x 1 0(m 为实数）．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）若m 是整数，且方程有两个不相等的整数根，求m 的值．
【解答】解：（1）由题意得：m 1 0 且△ 0，
m 1 0 ，
解得：m 1，
△ (m 2)2 4(m 1) ( 1) m2 ，
m2 0，
m 0，
m的取值范围为：m 0且m 1；
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 15 /
（2） (m 1)x2 (m 2)x 1 0，
(m 2) m
解得： x ，
2(m 2)
1
x1 1， x2 ，
m 1
m为m 0且m 1的整数，且方程有两个不相等的整数根，
m 2．
【练习5】
2 m
关于 x 的方程mx (m 2)x 0 有两个不相等的实数根．
4
（1）求m 的取值范围．
（2）是否存在实数m ，使方程的两个实数根的倒数和等于 2？若存在，求出m 的值；若不存在，
说明理由．
2 m
【解答】解：（1）关于 x 的方程mx (m 2)x 0 有两个不相等的实数根
4
m 0

2 m ，
(m 2) 4m 0
4
解得m 1且m 0
（2）假设存在实数m ，使方程两实数根的倒数和为 2
2 m
设方程mx (m 2)x 0 的两根为 x1 、 x2
4
m 2 1 1 1
x1 x2 ， x1 x 22 ， ，
m 4 x1 x2
x1 x2 2x1x2
m 2 1
即 ，
m 2
4
解得m
3
不存在实数m 使方程两根的倒数和为 2
【练习6】
利客来超市销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，该
店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低
3 元，平均每天可多售出 6件．
（1）若降价 6 元，则平均每天销售数量为 32 件；
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 16 /
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200元？
【解答】解：（1）20 6 3 6 32（件 )．
故答案为：32．
6x
（2）设每件商品降价 x 元，则平均每天的销售数量为 (20 ) 件，
3
6x
依题意，得： (40 x)(20 ) 1200，
3
整理，得： x2 30x 200 0，
解得： x1 10， x2 20．
40 x 25，
解得： x 15 ，
x 10 ．
答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元．
第 1 讲 一元二次方程的综合应用
\ 17 /

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