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第 2 讲 二次函数的图象与性质
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
二次函数的图象与性质 例 1、例 2
二次函数的图象与性质
二次函数的对称性与增减性 例 3
表格型的解析式求解 例 4
求二次函数的解析式 形状相同的解析式求解 例 5
几何图形结合的解析式求解 例 6
二次函数的平移变换 例 7
二次函数图象的变换 二次函数的对称变换 例 8
二次函数图象变换的综合 例 9
模块 1 二次函数的图象与性质
【知识梳理】
一、二次函数的概念
2
二次函数的概念：一般地，形如 y ax bx c(a，b，c为常数，a 0)的函数，叫做二次函数，其
中 x 是自变量，a、b、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
二、二次函数 y ax
2 bx c a 0 的图象与性质
y ax2 bx c a 0
a 0 a 0
图象
开口方向 向上 向下
b b
对称轴 直线 x 直线 x
2a 2a
第 2 讲 二次函数的图象与性质
\ 1 /
b 4ac b2 b 4ac b2
顶点 , ,
2a 4a 2a 4a
b 4ac b2 b 4ac b2
最值 当 x 时，y 取最小值 当 x 时，y 取最大值
2a 4a 2a 4a
b b
x 时， y 随 x的增大而增大； x 时， y 随 x 的增大而减小；
2a 2a
增减性
b b
x 时， y 随 x的增大而减小. x 时， y 随 x 的增大而增大.
2a 2a
【经典例题】
【例1】
1
1．（互 1）抛物线 y x2 2x的图象，对称轴是 ( )
4
A． x 4 B． y 4 C． x 2 D．无法确定
【解答】解：故选： A ．
2．（互 2）抛物线 y x2 2x 1的顶点坐标是 ( )
A． (0, 1) B． ( 1,1) C． ( 1,0) D． (1,0)
【解答】解： y x2 2x 1 (x 1)2
抛物线顶点坐标为 ( 1,0)，
故选：C ．
3．（互 3）二次函数 y x2 4x 1的图象中，若 y 随 x的增大而减小，则 x 的取值范围是 ( )
A． x 2 B． x 2 C． x 2 D． x 2
【解答】解： 二次函数 y x2 4x 1 (x 2)2 5，
当 x 2时， y 随 x的增大而减小，当 x 2时， y 随 x的增大而增大，
若 y 随 x的增大而减小，则 x的取值范围是 x 2，
故选： B ．
第 2 讲 二次函数的图象与性质
\ 2 /
【例2】
（互 4）已知二次函数 y 2x2 12x 17 ，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为
直线 x 3；③其图象顶点坐标为 (3, 1)；④当 x 3时， y 随 x 的增大而增大．其中说法正确的
有 ( )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【解答】解： 二次函数 y 2x2 12x 17 2(x 3)2 1，
该函数图象的开口向下，故①正确；
12
其图象的对称轴为直线 x 3，故②正确；
2 ( 2)
其图象顶点坐标为 ( 3,1) ，故③错误；
当 x 3时， y 随 x的增大而增大，故④正确；
故选： B ．
【例3】
5
1．（互 5）已知点 2( 4, y ) 、 ( 1, y ) 、 ( ， y ) 都在函数 y x 4x 5的图象上，则1 2 3 y 、1 y 、2 y3
3
的大小关系为 ( )
A． y y B． C． D． 1 2 y3 y3 y2 y1 y2 y1 y3 y3 y1 y2
【解答】解： y x2 4x 5，
4
函数图象的对称轴是直线 x 2，图象的开口向下，
2
当 x 2时， y 随 x的增大而增大，
5 17
点 ( ， y ) 关于对称轴的对称点的坐标是3 ( ， y ， 3 )
3 3
17
4 1，
3
y y y ， 2 1 3
故选：C ．
．（互 6）在抛物线 y ax22 2ax 3a 上有 A( 0.5, y )、1 B(2, y 和2 ) C(3, y 三点，若抛物线与 轴的3 ) y
交点在正半轴上，则 y 、 和 的大小关系为 ( ) 1 y2 y3
A． y y y B． y y y C． y y y D．1 2 3 2 1 3 3 1 2 y2 y y 3 1
【解答】解： 抛物线 y ax2 2ax 3a 与 y 轴的交点在正半轴上，
3a 0，
a 0，
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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即抛物线的开口向下，
抛物线的解析式是 y ax2 2ax 3a ，
2a
对称轴是直线 x 1，
2a
当 x 1时， y 随 x的增大而减小，
点 A( 0.5, y )关于直线 x 1的对称点的坐标是1 (2.5, y ) 1
图象过点 (2.5, y ) 、1 B(2, y 和2 ) C(3, y ) ， 3
又 2 2.5 3，
y y y ， 2 1 3
故选： B ．
3．（互 7）若二次函数 y | a | x2 bx c 的图象经过 A(m, n)、 B(0, y ) 、C(3 m,n) 、 D( 2 ，1 y2 ) 、
E(2, y )，则 y 、 y 、 y 的大小关系是 ( ) 3 1 2 3
A． y1 y y B． y y y C． y D． 2 3 1 3 2 3 y2 y1 y2 y3 y1
【解答】解： 经过 A(m,n)、C(3 m,n) ，
3
二次函数的对称轴 x ，
2
B(0, y )、 D( 2 ， y )、 E(2, y )与对称轴的距离 B 最远， D 最近， 1 2 3
| a | 0，
y y y ； 1 3 2
故选：D ．
模块 2 求二次函数的解析式
【知识梳理】
一、待定系数法求函数解析式
应用情形 二次函数的三种解析式
2
已知任意 3点坐标 一般式 y ax bx c
2
已知顶点坐标或对称轴 顶点式 y a(x h) k
已知抛物线与 x轴的两个交点坐标 交点式 y a(x x1)(x x2 )
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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【经典例题】
【例4】
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x与纵坐标 y 的对应值如下表所示：
x 1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
则这个二次函数的表达式为_______________．
【解答】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为 (1,4)，
设二次函数的解析式为： y a(x 1)2 4 ，
把点 2(0,3)代入 y a(x 1) 4 ，得 a 1，
故抛物线解析式为 y (x 1)2 4，即 y x2 2x 3；
（课上老师可讲技巧，选择不同形式）
【例5】
1
（互 8）如果一条抛物线的形状与 y x2 2的形状相同，且顶点坐标是 (4, 2) ，那么它的函数
3
解析式为 ( )
1
A． y (x 4)2 2
3
1
B． y (x 4)2
1
2或 y (x 4)2 2
3 3
1
C． y (x 4)2 2
3
1
D． y (x 4)2
1
2或 y (x 4)2 2
3 3
1
【解答】解：设所求抛物线的解析式为 y ax2 bx c ，由形状与 y x2 2 的形状相同，则
3
1
| a | ，
3
又抛物线过顶点坐标 (4, 2) ，则由此可判断出 B 选项的函数解析式符合题意．
故选： B ．
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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【例6】
如图，□ ABCD与抛物线 y x2 bx c 相交于点 A ， B ，D ，点C 在抛物线的对称轴上，已知点
B( 1,0)， BC 4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 BD的函数表达式．
【解答】解：（1） B( 1,0) ， BC 4，
C(3,0)，即抛物线对称轴为直线 x 3，
1 b c 0

b ，
3
2 ( 1)
b 6
解得： ，
c 7
则抛物线解析式为 y x2 6x 7；
（2） 四边形 ABCD为平行四边形，
AD / /BC ，且 AD BC 4，
A与 D 关于对称轴直线 x 3对称，且 AD 4 ，
A横坐标为 1，D 横坐标为 5，
把 x 5代入抛物线解析式得： y 12，即 D(5,12)，
设直线 BD解析式为 y kx b，
5k b 12
把 B 与D 坐标代入得： ，
k b 0
k 2
解得： ，
b 2
则直线 BD的解析式为 y 2x 2 ．
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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模块 3 二次函数图象的变换
【知识梳理】
一、二次函数图象的平移变换
1．方法一：顶点式法：
先利用配方法把二次函数化成 y a(x h)2 k 的形式，确定其顶点 (h, k) ，然后根据平移信息确
定新的顶点位置 (h ', k ')，得到平移后的解析式： y a(x h ')2 k '．
以抛物线 y ax2 为例，使其顶点平移到 (h, k)．具体平移方法如图所示：
向上(k>0)，下(k<0)
平移|k|个单位
2
y=ax2 y=ax +k
向上(k>0)，下(k<0)
平移|k|个单位 向右(h>0)，左(h<0)
向右(h>0)，左(h<0)
平移|h|个单位
平移|h|个单位 并向右(h>0)，左(h<0)
平移|h|个单位
2
y=a(x-h)2 y=a(x-h) +k
向上(k>0)，下(k<0)
平移|k|个单位
2．方法二：一般式法：对抛物线 y ax2 bx c：
（1）向上（下）平移 m 个单位，变成 y ax2 bx c m（ y ax2 bx c m）；
2 2
（2）向左（右）平移 n 个单位，变成 y a x n b x n c（ y a x n b x n c ）
笔记区：
平 移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．
二、二次函数图象的对称变换
2
1．方法一：顶点式法：对于抛物线 y a x h k
对称变换类型 a 变换后顶点坐标 变换后解析式
关于 x 轴对称 a (h, k)
2
y a x h k
关于 y 轴对称 2 a ( h,k) y a x h k
2
关于原点对称 a ( h, k) y a x h k
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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2
关于顶点对称 a (h, k) y a x h k
（教师提示：此处可以适当提及旋转 180°及中心对称相关）
2．方法二：一般式法：对于抛物线 y ax2 bx c：
对称变换类型 点变换特点 变换后解析式
关于 x 轴对称 (x, y) y ax2 bx c
关于 2y 轴对称 ( x, y) y a x b x c
2
关于原点对称 ( x, y) y a x b x c
【经典例题】
【例7】
1．（互 9）将抛物线 y 5(x 1)2 1向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，则所得抛
物线的解析式为 ( )
A． y 5(x 2)2 3 B． y 5(x 4)2 1 C． y 5(x 4)2 3 D． y 5(x 3)2 4
【解答】解：将抛物线 y 5 (x 12) 1向上平移 2 个单位长度，得到平移后解析式为：
y 5(x 1)2 1 2，即 y 5(x 1)2 3，
再向右平移 3 个单位长度所得的抛物线解析式为： y 5(x 1 3)2 3 ，即 y 5(x 4)2 3．
故选：C ．
2．（互 10）将抛物线向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度后得到 y (x 2)2 3，则
原抛物线的解析式为 ( )
A． y (x 1)2 1 B． y (x 1)2 1 C． y x2 D． y (x 5)2 5
【解答】解： y (x 2)2 3 ，
平移后所得抛物线的顶点坐标为 (2,3) ，
抛物线向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3个单位长度后得到 y (x 2)2 3，
平移前抛物线顶点坐标为 ( 1,1)，
平移前抛物线为 y (x 1)2 1，
故选： A ．
2
3．（互 11）已知二次函数 y 2x 的图象不动，把 x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 2 个单位长度，
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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那么在新的坐标系下抛物线的解析式是 ( )
A． y 2(x 2)2 2 ． y 2x2 8x 6 ． y 2x2 8x 6 ． y 2x2 B C D 8x 10
【解答】解：将 y 2x2 的图象分别向下、向左分别平移 2 个单位得，
y 2(x 2)2 2 2x2 8x 6．
故选： B ．
【例8】
已知抛物线 y x2 2x 2，按要求写出下列抛物线的函数解析式：
（ 21） y x 2x 2的图象关于 x 轴对称的函数图象对应的解析式：_______________；
（2） y x2 2x 2的图象关于 y 轴对称的函数图象对应的解析式：_______________；
（3） y x2 2x 2的图象关于直线 y 2 对称的函数图象对应的解析式：_______________；
（4） y x2 2x 2的图象关于直线 x 2对称的函数图象对应的解析式：_______________；
（5） y x2 2x 2的图象关于原点对称的函数图象对应的解析式：_______________；
（ 26） y x 2x 2的图象关于顶点对称的函数图象对应的解析式：_______________．
【解答】 y x2 2x 2 (x 1)2 1，故顶点坐标为（1，1），因此
（ 21）关于 x 轴对称： y x 2x 2；
（2）关于 y轴对称： y x2 2x 2；
2
（3）关于直线 y 2 轴对称： y x 1 3；
2
（4）关于直线 x 2 轴对称： y x 3 1；
（5）关于原点对称： y (x 1)2 1
（6）关于顶点对称： y (x 1)2 1
【例9】
若两个二次函数的图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同类二次函数”．
（1）请直接写出两个为“同类二次函数”的函数；
（2）已知关于 x 的二次函数 y1 (x 2)
2 3和 y ax22 bx 1，若 y1 y 与2 y 为“同类二次函数”，1
求函数 y 的表达式，并求出当 3 x 0时，2 y 的最大值． 2
（3）在（2）的条件下将函数 y 的图象先向右平移 1个单位，再向下平移 3 个单位得到函数 y ；最2 3
后再将函数 y 的函数图象关于 x 轴对称得到函数 y ，请直接写出函数 y 和 y 的表达式. 3 4 3 4
【解答】解：（1）根据“同类二次函数”的定义可知：
y 2(x 1)2 4和 y (x 1)2 4
顶点坐标都是 (1,4)，开口方向都向上，
第 2 讲 二次函数的图象与性质
\ 9 /
所以它们是“同类二次函数”；
（2）根据题意，得
y y (x 2)2 21 2 3 ax bx 1，
(1 a)x2 (b 4)x
y y 与 y 为“同类二次函数”， 1 2 1
1 a 0，得 a 1，
b 4
2
2(1 a)

(b 4)
2
3
4(1 a)
1
a a 1
解得 4 或 （不符合题意，舍去）
b 4
b 1
1 1
y2 x
2 x 1 (x 2)2 ，
4 4
因为 3 x 0，顶点坐标为 ( 2,0)
所以 y 的最大值为 0． 2
1
答：函数 y 的表达式为2 y2 x
2 x 1，当 3 x 0时， y 的最大值为 0． 2
4
1 1 13 1 1 13
（3）根据题意，得 y3 x
2 x ; y4 x
2 x .
4 2 4 4 2 4
备选题
【备1】
1
如图，将抛物线 y x2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点 A( 6,0)和点O(0,0)，它的顶点为 P ，
2
1
它的对称轴与抛物线 y x2交于点Q．
2
9
（1）点 P 的坐标为 ( 3, ) ；
2
（2）图中阴影部分的面积为 ．
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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1
【解答】解：（1） 把抛物线 y x2 平移得到抛物线 m ，且抛物线 m 经过点 A( 6,0) 和原点
2
O(0,0) ，
1 1 1 9
抛物线m 的解析式为 y (x 0)(x 6) x2 3x (x 3)2 ．
2 2 2 2
9
P( 3, )．
2
9
故答案是： ( 3, )；
2
1 9
（2）把 x 3代入 x2 得 y ，
2 2
9
Q( 3, )，
2
1 27
图中阴影部分的面积与 POQ 的面积相同， S ． POQ 9 3
2 2
27
阴影部分的面积为 ．
2
27
故答案为： ．
2
挑战极限
设mn 0 ，且函数 y1 x
2 2mx 4n 与 y 22 x 4mx 2n 有相同的最小值 a；函数
y 2 23 x 2nx 4m 与 y4 x 4nx 2m有相同的最大值b ；则a b的值 ( )
A．必为正数 B．必为负数 C．必为 0 D．符号不能确定
【解答】选C ．
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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巩固练习
【练习1】
．对于二次函数 y x21 2x 1，下列说法不正确的是 ( )
A．函数图象的对称轴是直线 x 1
B．函数图象的顶点坐标为 (1, 2)
C．当 x 2时， y 随 x的增大而增大
D．函数图象与 y 轴交于点 (0,1)
【解答】解： 二次函数 y x2 2x 1 (x 1)2 2，
对称轴是直线 x 1，故选项 A 正确，
顶点坐标为 (1, 2)，故选项 B 正确，
当 x 2时， y 随 x的增大而增大，故选项C 正确，
函数图象与 y 轴交于点 (0, 1)故选项D 错误，
故选：D ．
2．已知三点 2(3, y1 )、 (1.5, y ) 、 (0, y )在抛物线 y 2(x 2) m 上，则 y ， y ， y 的大小关系正2 3 1 2 3
确的是 ( )
A． y B． C． D． 3 y2 y1 y3 y1 y2 y2 y1 y3 y1 y2 y3
【解答】解：抛物线 y 2(x 2)2 m 的开口向下，对称轴是直线 x 2，当 x 2 时， y 随 x 的增
大而增大，
点 2(3, y1)、 (1.5, y ) 、 (0, y )是抛物线 y 2(x 2) m 上的三点， 2 3
点 (3, y )关于对称轴 x 2的对称点是1 (1, y ) ， 1
0 1 1.5，
y2 y ， 1 y3
故选： B ．
【练习2】
二次函数 y ax2 bx c 的 x与 y 的部分对应值如下表：
x 3 2 1 0 1
y 3 m 7 n 7
则当 x 3时， y 的值是 ( )
A．3 B．m C．7 D．n
【解答】解：设二次函数的解析式为 y ax2 bx c ，
当 x 1或 1 时， y 7 ，
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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抛物线的对称轴为 x 0，由抛物线的对称性可知 x 3与 x 3对称，
当 x 3时， y 3．
故选： A ．
【练习3】
形状与抛物线 y x2 2 相同，对称轴是 x 2，且过点 (0,3)的抛物线是 ( )
2 2
A． y x 4x 3 B． y x 4x 3
． y x2C 4x 3 2 2D． y x 4x 3或 y x 4x 3
【解答】解：设所求抛物线的函数关系式为 y ax2 bx c ，由抛物线过点 (0,3)，可得：c 3，
由抛物线形状与 y x2 2 相同，
分为两种情况：①开口向下，则 a 0，
b
又 对称轴 x 2，则 x 2．则b 0，
2a
由此可得出 B 选项符合题意．
②开口向下，则 a 0，
b
又 对称轴 x 2，则 x 2．则b 0 ，
2a
由此可得出 A 选项符合题意，
综合上述，符合条件的是选项D ，
故选：D ．
【练习4】
1．如果将抛物线 y x2 4x 1平移，使它与抛物线 y x2 1 重合，那么平移的方式可以是 (
)
A．向左平移 2 个单位，向上平移 4 个单位
B．向左平移 2 个单位，向下平移 4 个单位
C．向右平移 2 个单位，向上平移 4 个单位
D．向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位
【解答】解： 抛物线 y x2 4x 1 (x 2)2 5 的顶点坐标为 (2, 5) ，抛物线 y x2 1 的顶点坐
标为 (0, 1)，
顶点由 (2, 5) 到 (0, 1)需要向左平移 2 个单位再向上平移 4个单位．
故选： A ．
2．在平面直角坐标系中，把抛物线 y 2x2 绕原点旋转180 ，再向右平移 1 个单位，向下平移 2 个
第 2 讲 二次函数的图象与性质
\ 13 /
单位，所得的抛物线的函数表达式为 ( )
A． y 2(x 1)2 2 B． y 2(x 1)2 2 C． y 2(x 1)2 2 D． y 2(x 1)2 2
【解答】解： 把抛物线 y 2x2 绕原点旋转180 ，
新抛物线解析式为： y 2x2，
再向右平移 1 个单位，向下平移 2 个单位，
平移后抛物线的解析式为 y 2(x 1)2 2．
故选：C ．
声明：试题解析著作权属所有，未 经书面同意，不得复制发布
【练习5】
已知抛物线过点 A(2,0)， B( 1,0)，与 y 轴交于点C ，且OC 2 ，求这条抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线与 y 轴交于点C ，且OC 2 ，则C 点的坐标是 (0,2)或 (0, 2) ，
当 2C 点坐标是 (0,2)时，图象经过三点，可以设函数解析式是： y ax bx c ，
把 (2,0)， ( 1,0)， (0,2)分别代入解析式，
4a 2b c 0

得到： a b c 0 ，

c 2
a 1

解得： b 1 ，

c 2
则函数解析式是： y x2 x 2；
同理可以求得当 2C 是 (0, 2) 时解析式是： y x x 2 ．
故这条抛物线的解析式为： y x2 x 2或 y x2 x 2 ．
【练习6】
若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出二次函数 y x2 2x 3的一个“同簇二次函数”；
（2）已知关于 x 的二次函数 y x21 2x 3和 y ax
2
2 bx 2 ，若 y y 与 y 为“同簇二次函数”，1 2 1
求函数 y 的表达式． 2
（3）已知二次函数 y 21 x 2x 3，若 y y 与 y 为“同簇二次函数”，请直接写出符合要求的二1 2 1
次函数 y 的所有表达式．（可用含字母的解析式表示） 2
【解答】解：（1） y x2 2x 3 (x 1)2 2，
y x2 2x 3的一个“同簇二次函数”为 y 2(x 1)2 2；
第 2 讲 二次函数的图象与性质
\ 14 /
（2） y1 y
2
2 x 2x 3 ax
2 bx 2
(a 1)x2 (b 2)x 5 ，
y 与 为“同簇二次函数”， 1 y2 y1
y1 y2 (a 1)(x 1)
2 2
(a 1)x2 2(a 1)x (a 1) 2．
其中 a 1 0，即 a 1．
b 2 2(a 1)
．
5 a 1 2
a 2
解得： ．
b 4
函数 的表达式为： y 2x2y 2 4x 2 ． 2
（3）二次函数 y 的所有表达式 y n(x
2
2 2x 1)(n 1且n 0)． 2
第 2 讲 二次函数的图象与性质
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