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第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
二次函数与水平直线的交点 例 1、例 2
二次函数与一元二次方程
二次函数与一次函数的交点 例 3
二次函数与不等式 二次函数与不等式 例 4、例 5
二次函数的图象与系数的关系 二次函数的图象与系数的关系 例 6-例 9
模块 1 二次函数与一元二次方程
【知识梳理】
一、抛物线 y ax
2 bx c a 0 的交点问题
1．与 y 轴的交点： 0,c ．
2．与 x 轴的交点：二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ，是对应一元
二次方程 ax2 bx c 0 的两个实数根．
抛物线与 x 轴的交点情况可以由 判定：
（1） 0 有两个交点；
（2） 0 有一个交点（顶点在 x 轴上）；
（3） 0 没有交点．
2
3．抛物线 y ax bx c a 0 与直线 y mx n m 0 的交点：可运用方程思想联立方程组
y mx n
，求出方程组的解，从而得到交点坐标． 2
y ax bx c
y m
【注】 y ax
2 bx c a 0 与直线 y m的交点：联立方程组 求出方程组的解，
y ax
2 bx c
从而得到交点坐标．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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【笔 记】可补充举例，或两抛物线的交点问题或抛物线与
x 轴两交点之间的距离：若抛物线
y ax2 bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ，B x2，0 ，由于 x1 、 x 是方程 ax
2
2 bx c 0 的两个根，
2
b b 4ac b b
2 4ac
故 x1 ，x2
2a 2a
b b
2 4ac b b2 4ac b b2 4ac b b2 4ac b2 4ac
AB x1 x2
2a 2a 2a a a
【经典例题】
【例1】
2
抛物线 y ax bx c a 0 的图象如图所示，根据图象判断方程根的情况：
①方程 ax2 bx c 0 的两根分别为_______________；
②方程 ax2 bx c 3 0的两根分别为_______________；
③方程 ax2 bx c 2 0的根的情况是_______________；
④方程 ax2 bx c 4 的根的情况是_______________．
3
【解答】① x1 1， x2 4；② x1 x2 ；③两个不相等的实数根；④没有实数根．
2
【例2】
2
1．（互 1）二次函数与 y kx 8x 8的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 ( )
A． k 2 B． k 2且 k 0 C． k 2 D． k 2 且 k 0
【解答】解： 二次函数与 y kx2 8x 8的图象与 x 轴有交点，
△ b2 4ac 64 32k 0 ， k 0，
解得： k 2且 k 0．
故选： D ．（课上老师扩充：将“二次函数”变成“函数”）
2．（互 2）已知二次函数 y x2 x c 的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0) ，则关于 x 的方程
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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x2 x c 0 的两实数根分别是 ( )
A．1 和 1 B．1 和 2 C．1 和 2 D．1 和 3
【解答】解： y x2 x c ，
b 1
，
2a 2
1
即二次函数图象的对称轴是直线 x ，
2
设二次函数 y x2 x c 的图象与 x 轴的另一个交点的横坐标是 a ，
二次函数 y x2 x c 的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0) ，
1 1
1 ( ) a ，
2 2
解得： a 2，
关于 x 的方程 x2 x c 0 的两实数根分别是 1 和 2 ，
故选： B ．
3．（互 3）已知二次函数 y (x 1)(x 2) ，若关于 x 的方程 (x 1)(x 2) m(m 0) 的实数根为 a ，
，且 a ，则下列不等式正确的是 ( )
A． a 1， 2 B．1 a 2 C．1 a 2 D．a 1 2
【解答】解： y (x 1)(x 2) m ，相当于抛物线 y (x 1)(x 2) 向上平移了m 个单位，
则 、 在 x 1和 x 2之间，
故选： B ．
【例3】
1．如图，抛物线 y ax2 bx 与直线 y mx n相交于点 A( 3, 6)， B (1, 2) ，则关于 x 的方程
ax2 bx mx n的解为 x1 3， x2 1 ．
【解答】解： 抛物线 y ax2 bx 与直线 y mx n相交于点 A( 3, 6)， B (1, 2)，
关于 x 的方程 ax2 bx mx n 的解为 x1 3， x2 1．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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故答案为 x1 3， x2 1．
2．将抛物线 y ax2 bx c 位于 x 轴下方的图象，向上翻折得到下图，请回答下列问题：
（1）抛物线 y ax2 bx c 的解析式为_______________________；
（2）方程 ax2 bx c 0 的解为_______________________；
（3）翻折后的函数图像与直线 y m 有两个交点，则 m 的取值范围为_______________________；
（4）翻折后的函数图像与直线 y x n有两个交点，则 n 的取值范围为_______________________．
【解答】解：（1）抛物线 y x2 2x 3；（2） x1 3，x2 1；（3）m 0或m 4；
21
（4） 1 n 3或n
4
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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模块 2 二次函数与不等式
【知识梳理】
一、二次函数与不等式
y ax2 bx c 与 y mx n图象 不等式 解集
y
ax2 bx c 0 x x1 ， x x2
x
x1 O x2
ax2 bx c 0 x1 x x2
y
ax2 bx c mx n x x1 ， x x2
x 1
x
O x2
ax2 bx c mx n x1 x x2
【大招环节】
比较大小，实质上是比较高低
【经典例题】
【例4】
2
抛物线 y ax bx c a 0 的图象如图所示： y
①当 x 时， y 0 ．
②当 x 的取值范围是 时， y 0．
A B
③当 x 的取值范围是 时， y 0 ．
-1 O 1 2 x
【解析】① x 1或 x 2 ；② x 1或 x 2；③ 1 x 2．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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【例5】
1．（互 4）直线 y x 1与抛物线 y x2 3的图象如图，当 y y 时， x 的取值范围为 ( )1 2 1 2
A． x 2 B． x 1 C． 2 x 1 D． x 2 或 x 1
【解答】解：由图可知， x 2 或 x 1时， y1 y2 ．
故选： D ．
2
2．（互 5）如图，在平面直角坐标系中，直线 y mx n与抛物线 y ax bx c 交于 A( 1, p )，
B(2,q) 两点，则关于 x 的不等式mx n ax2 bx c的解集是 ( )
A． x 1 B． x 2 C． 1 x 2 D． x 1或 x 2
【解答】故选：C．
3 ． 如 图， 抛 物线 y ax2 c 与 直 线 y m x n交 于 A( 1p, )， B(3,q) 两 点 ， 则不 等 式
ax2 mx c n 的解集是 ．
【解答】解： 抛物线 y ax2 c 与直线 y mx n交于 A( 1, p) ， B(3,q) 两点，
m n p ，3m n q ，
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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抛物线 y ax2 c 与直线 y mx n交于 P(1, p) ，Q( 3,q) 两点，
观察函数图象可知：当 x 3或 x 1时，直线 y mx n在抛物线 y ax2 bx c 的下方，
不等式 ax2 mx c n 的解集为 x 3或 x 1．
故答案为： x 3或 x 1．
模块 3 二次函数的图象与系数的关系
【知识梳理】
一、二次函数的图象与系数的关系
1.a 决定抛物线的开口方向和大小.
①a 的符号决定开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下.
② a 的大小决定开口大小： a 越大开口越小； a 越小开口越大.
【注】 a 相等，抛物线形状相同.
2.b 与 a决定抛物线的对称轴位置.
①a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧；
②a、b 异号，对称轴在 y 轴右侧.
【注】左同右异.
3.c 决定抛物线与 y 轴的交点 0,c 位置.
4. b2 4ac ：通过抛物线与 x 轴交点个数确定.
5. a b c：通过 x 1时的函数值确定；a b c ：通过 x 1时的函数值确定.
6.a、b、c；a、c；b、c 关系由特殊点来判断.
【经典例题】
【例6】
1．（互 6）函数 y ax b 和 y ax2 bx c 在同一直角坐标系内的图象大致是 ( )
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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A． B．
C． D．
【解答】解：当 a 0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故 A 、D 不正确；
b
由 B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴 x 0，且a 0，则b 0，
2a
但 B 中，一次函数 a 0，b 0 ，排除 B ．
故选：C ．
2
2．（互 7）如图，一次函数 y x 与二次函数 y ax bx c图象相交于 P 、 Q1 2 两点，则函数
y ax2 ( b 1) x c的图象可能是 ( )
A． B．
C． D．
【解答】解：点 P 在抛物线上，设点 P(x,ax2 bx c) ，又因点 P 在直线 y x 上，
x ax2 bx c ，
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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ax2 (b 1)x c 0；
由图象可知一次函数 y x 与二次函数 y ax2 bx c 交于第一象限的 P 、Q 两点，
方程 ax2 (b 1)x c 0 有两个正实数根．
函数 y ax2 (b 1)x c 与 x 轴有两个交点，
b
又 0 ， a 0
2a
b 1 b 1
0
2a 2a 2a
b 1
函数 y ax2 (b 1)x c 的对称轴 x 0，
2a
A符合条件，
故选： A ．
【例7】
2
（互 8）二次函数 y ax bx c a 0 的图象如图，给出下列四个结论：：① a 0 ；②b 0 ；③
c 0；④b 2a 0；⑤ b2 4ac 0 ；其中结论正确的个数有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：① 抛物线开口向下，
a 0，结论①正确；
② 抛物线对称轴为直线 x 1，
b
1，
2a
b 2a 0，结论②错误；
③ 抛物线与 y 轴交于正半轴。
c 0结论③正确
④ b 2a ，
结论④正确；
⑤ b2 4ac 0 正确；
故选：D．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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【例8】
（互 9）在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，现给以下结论：①
abc 0；
② 4ac b2 0；
③9a 3b c 0 ；
④ c 2a 0；
3
⑤ c b 1
2
其中错误结论的个数有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：1-4正确；选：A．
【例9】
（互 10）已知抛物线 y ax2 bx c 的图象如图所示，对称轴为直线 x 1．以下结论：
① 2a b ；
② 4a 2b c 0；
③m(am b) a b(m 是不等于 1 的实数）；
④3a c 0
其中正确结论的个数为 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
b
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 x 1，
2a
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
\ 10 /
b 2a ，即 2a b 0，所以①错误；
对称轴为直线 x 1，抛物线与 x 轴的一个交点在 ( 1,0)和 (0,0) 之间，
抛物线与 x 轴的一个交点在 (2,0)和 (3,0)之间，
x 2时， y 0，
4a 2b c 0，所以②错误；
x 1时， y 有最小值a b c，
am2 bm c a b c(m 是不等于 1的实数），所以③正确；
x 1时， y 0 ，
即 a b c 0，
把b 2a代入得3a c 0，所以④错误．
故选： A ．
备选题
【备1】
抛物线 y x2 bx 3的对称轴为直线 x 1，若关于 x 的一元二次方程 x2 bx 3 t 0(t 为实数）
在 2 x 3的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 ( )
A． 12 t 3 B． 12 t 4 C． 12 t 4 D． 12 t 3
【解答】解： 抛物线 y x2 bx 3的对称轴为直线 x 1，
b 2，
y x2 2x 3，
一元二次方程 x2 bx 3 t 0的实数根可以看作 y x
2 2x 3与函数 y t 的有交点，
方程在 2 x 3的范围内有实数根，
当 x 2时， y 3；
当 x 3时， y 12 ；
函数 y x2 2x 3在 x 1时有最大值 4；
12 t 4 ．
故选：C ．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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【备2】
已知：二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，下列结论中：①abc 0；② 2a b 0；③
a b m(am b)(m 1的实数）；④ (a c)2 b2 ；⑤a 1，其中正确的是 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个
【解答】解：①由图象可知： a 0， c 0，
b
0，
2a
b 0，
abc 0，故本选项正确；
b
②由对称轴可知： 1，
2a
b 2a，
2a b 0，故本选项错误；
③当 x 1时， y1 a b c ；
当 x m 时， y2 m(am b) c，当m 1， y2 y1；当m 1， y2 y1，所以不能确定；
故本选项错误；
④当 x 1时， a b c 0；
当 x 1时， a b c 0；
(a b c)(a b c) 0，即 (a c)2 b2 0，
(a c)2 b2
故本选项错误；
⑤当 x 1时， a b c 2；
当 x 1时，a b c 0，
a c 1，
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
\ 12 /
a 1 ( c) 1，即a 1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选： A ．
挑战极限
已知二次函数 y 4ax2 4bx k 2 ，一次函数 y 4k(x 1) 4c，若它们的图象对于任意的实数 k 都
只有一个公共点，则 a、b、c 分别为 ．
k 2
【原题版本】（ 22011 南充自主招生）已知二次函数 y ax bx c ，一次函数 y k(x 1) ，若
4
它们的图象对于任意的实数 k 都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 y x2 2x 1 ．
【解答】解：根据题意得，
y ax2 bx c ①，
k 2
y k(x 1) ②，
4
k 2
解由①②组成的方程组，消去 y ，整理得， ax2 (b k)x c k 0 ，
4
它们的图象对于任意的实数 k 都只有一个公共点，则方程组只有一组解，
x 有两相等的值，
k 2
即△ (b k)2 4a(c k ) 0，
4
(1 a)k 2 2(2a b)k b2 4ac 0，
由于对于任意的实数 k 都成立，所以有1 a 0， 2a b 0，b2 4ac 0 ，
a 1，b 2， c 1，
所以二次函数的解析式为 y x2 2x 1．
故答案为： y x2 2x 1．
巩固练习
【练习1】
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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1
函数 y mx
2 (m 2)x m 1的图象与 x 轴只有一个交点，则m 的值为 ( )
2
A．0 B．0 或 2 C．0 或 2 或 2 D．2 或 2
1
【解答】解： 函数 y mx
2 (m 2)x m 1的图象与 x 轴只有一个交点，
2
当m 0时， y 2x 1，此时 y 0 时， x 0.5，该函数与 x 轴有一个交点，
2 1
当m 0时，函数 y mx (m 2)x m 1的图象与 x 轴只有一个交点，则△
2
(m 2)2
1
4m( m 1) 0 ，解得，m1 2，m2 2，
2
由上可得，m 的值为 0或 2 或 2 ，
故选：C ．
【练习2】
如图，点 A(2.18, 0.51) ， B(2.68,0.54) ，在二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象上，则方程
ax2 bx c 0 的一个近似值可能是 ( )
A．2.18 B．2.68 C． 0.51 D．2.45
【解答】解： 图象上有两点分别为 A(2.18, 0.51)、 B(2.68,0.54)，
当 x 2.18时， y 0.51； x 2.68时， y 0.54 ，
当 y 0 时， 2.18 x 2.68，
只有选项 D 符合，
故选： D ．
【练习3】
如图，抛物线 y ax2 与直线 y bx c的两个交点坐标分别为 A( 3,9)， B(1,1) ，则关于 x 的方程
ax2 bx c 0 的解为 3，1 ．
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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【解答】解：因为抛物线 y ax2 与直线 y bx c的两个交点坐标分别为 A( 3,9)，B(1,1)，
所以关于 x 的方程 ax2 bx c 的解为 x1 3， x2 1，
即关于 x 的方程 ax2 bx c 0 的解为 x1 3， x2 1．
故答案为 3、1．
【练习4】
已知二次函数 y ax2 bx c 与一次函数 y x 的图象如图所示，则不等式 ax2 (b 1)x c 0 的解
集为 1 x 3 ．
【解答】解： 当1 x 3时，二次函数值小于一次函数值，
ax2 bx c x，
ax2 (b 1)x c 0．
不等式 ax2 (b 1)x c 0 的解集为1 x 3，
故答案为1 x 3．
【练习5】
二次函数 y ax
2 bx c a 0 的图象如图，给出下列四个结论：① 4ac b2 0；② 4a c 2b；
③3b 2c 0；④ abc 0，其中正确结论的个数是 ( )
A．4 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
\ 15 /
【解答】解： 图象与 x 轴有两个交点，
方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根，
b2 4ac 0，
4ac b2 0，①正确；
当 x 2时， y 0 ，
4a 2b c 0，
4a c 2b，②错误；
b
1，
2a
b 2a ，
a b c 0，
1
b b c 0，3b 2c 0，
2
③是正确；
抛物线开口向下，
a 0；
b
抛物线的对称轴为 x 1，b 2a，故b 0；
2a
抛物线交 y 轴于正半轴，得： c 0；
abc 0；④正确．
故结论正确的有①③④3 个，
故选： D ．
【练习6】
在平面直角坐标系中，二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，现给出以下结论：
① abc 0；②b 2a 0；③9a 3b c 0 ；④ a b am2 bm(m为实数）
其中结论错误的有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
\ 16 /
b
【解答】解：①由抛物线可知， a 0， c 0，对称轴 x 0，
2a
b 0， abc 0．故①错误；
b
②由对称轴可知， x 1，
2a
b 2a ， b 2a 0，故②错误；
③ (1,0) 关于 x 1的对称点为 ( 3,0)，
当 x 3时， y 9a 3b c 0，故③正确；
④当 x 1时， y 的最小值为a b c，
当 x m 时， y am2 bm c，
am2 bm c a b c ，即 a b c am2 bm c ，故④正确．
综上可知，错误的结论有①，②两个．
故选： B ．
【练习7】
已知抛物线的解析式是 y x2 (k 2)x 2k 2 ．
（1）求证：此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与直线 y x k 2 1的一个交点在 y 轴上，求该二次函数的顶点坐标．
【解答】解：（ ） △ [ (k 2)]21 4 1 (2k 2)
k 2 4k 12
(k 2)2 8 0 ，
此抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；
（2） 抛物线与直线 y x k 2 1的一个交点在 y 轴上，
2k 2 k 2 1，
解得 k 1，
3
y x2 3x (x )2
9
则抛物线解析式为 ，
2 4
3 9
所以该二次函数的顶点坐标为 ( ， )．
2 4
第 3 讲 二次函数与方程、不等式的综合
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