【高频考点精讲】第4讲-二次函数的应用(PDF版)-人教版数学九年级

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【高频考点精讲】第4讲-二次函数的应用(PDF版)-人教版数学九年级

资源简介

第 4 讲 二次函数的应用
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
二次函数的最值 例 1
二次函数的代数最值 定函数定区间的最值 例 2
定函数动区间的最值 例 3
几何面积的应用 例 4
二次函数的应用 营销利润的应用 例 5、例 6
抛物线型的应用 例 7、例 8
模块 1 二次函数的代数最值
【知识梳理】
一、二次函数的代数最值
二次函数的代数最值问题,核心是函数的对称轴与给定范围的相对位置关系的讨论.
例如:
y ax2 bx c a 0 ,当m x n时,求最大值与最小值.
b 4ac b2 b
分析:将 y ax2 bx c a 0 配方,得顶点为 , 、对称轴为 x ,
2a 4a 2a
当 a 0 时,可得:
图象 对称轴位置 函数最值
b x n时取最大值;
m
2a
x m 时取最小值.
b m n x n时取最大值;
m
2a 2
bx 时取最小值.
2a
m n b x m 时取最大值;
n
2 2a
bx 时取最小值.
2a
第 4 讲 二次函数的应用
\ 1 /
b x m 时取最大值;
n
2a
x n时取最小值.
当 a 0 时,同理可得:
图象 对称轴位置 函数最值
b x m 时取最大值;
m
2a
x n时取最小值.
b m n b
m x 时取最大值;
2a 2 2a
x n时取最小值.
m n b b
n x 时取最大值;
2 2a 2a
x m 时取最小值.
b x n时取最大值;
n
2a x m 时取最小值.
笔记区:找到函数对应图象部分,找到最高点位置求出最大值;找到最低点位置求出最小值.
【经典例题】
【例1】
1.(互 1)下列选项中,关于二次函数 y (x 1)2 3最值的说法,正确的是 ( )
A.最大值为 1 B.最大值为 3 C.最小值为 1 D.最小值为 3
【解答】解: 二次函数 y (x 1)2 3的二次项系数大于 0,
其图象为开口向上的抛物线,
抛物线的顶点纵坐标为函数的最小值,其顶点为 (1, 3) .
函数的最小值为 3.
故选:D .
第 4 讲 二次函数的应用
\ 2 /
2.(互 2)二次函数 y x2 2x 3的最小值是 ( )
A. 2 B.2 C. 1 D.1
【解答】解: y (x 1)2 2 ,
a 1 0,
当 x 1时, y 有最小值 2.
故选: B .
【例2】
1.(互 3)已知函数 y 2x2 1在 2 x 6内的最小值为( )
A.7 B.71 C. 1 D.无法确定
【解答】解: f (x) 2x
2 1,
函数在[2, 6]上为增函数,
函数的在区间[2, 6]上的最大值为 f (6) 71,最小值为 f (2) 7.
故选 A
2.函数 y x2 4x 2在0 x 3内的最大值是______,最小值是______.
【解答】
y x2 4x 2 (x 2)2 2的图象开口向下,对称轴是 x 2,对称轴在给定的区间内,所以最
大值是当 x 2时, ymax 2,最小值是当 x 0时, ymin 2.
【例3】
已知函数 y x2 2x 3,当 x在 t x t 1范围内时,求函数的最值.
【解答】(1)函数 y x2 2x 3 (x 1)2 +2 开口向上,对称轴是 x 1,故分类讨论对称轴与区间
的位置关系:
①当对称轴在区间右边时, 2t 1 1,即 t 0 时, ymin 在 x t 1处取得,为 ymin t 2 ;
②当对称轴在区间内时, t 1 t 1,即 0 t 1时, ymin 在 x 1处取得,为 ymin 2;
③当对称轴在区间左边时, t 1, ymin 在 x t 处取得,为 y
2
min t 2t 3.
(2)函数 y x2 2x 3 (x 1)2 +2 开口向上,最大值不可能是二次函数的顶点,故分两种情况讨
论:
第 4 讲 二次函数的应用
\ 3 /
1 1
①当 (t t 1) 1时,即 t 时,最大值在 x t 处取得,为 y t2max 2t 3;
2 2
1 1
②当 (t t 1) 1时,即 t 时,最大值在 2x t 1处取得,为 y t 2 . max
2 2
模块 2 二次函数的应用
【知识梳理】
一、二次函数的实际应用
对于某些实际问题,如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画,那么我们就可以利用二
次函数的图象和性质来研究.
1.利用二次函数的最值可解决利润、生产规划等最值问题,求解过程中要注意 x 的取值范围和取
得最值的条件.
2.通过建立平面直角坐标系可解决球类运动轨迹,拱桥、桥洞等形状类似抛物线的实际问题,解
题时要合理建系,充分利用图象上的点坐标来解题.
二、一般解题步骤
1.设未知数(确定自变量和函数);
2.找等量关系,列出函数关系式;
3.化简,整理成一般式;
4.确定自变量的取值范围;
5.利用函数知识,求解最值问题;
6.写出结论.
【经典例题】
【例4】
如图,要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃 ABCD,其中两边靠的墙足够长,中间用平行于
AB 的篱笆 EF 隔开,已知篱笆的总长度为 18米.设矩形苗圃 ABCD的一边 AB 的长为 x(m),矩形
苗圃 ABCD面积为 y(m2 ) .
(1)求 y 与 x的函数关系式;
(2)(互 4)求所围矩形苗圃 ABCD的面积最大值;
81
A.18 B.81 C. D.无法确定
2
(3)当所围矩形苗圃 2ABCD的面积为 40m 时,则 AB 的长为多少米?
第 4 讲 二次函数的应用
\ 4 /
【解答】解:(1)设 AB xm,则有BC (18 2x)m ,
根据题意得: y x(18 2x) 2x2 18x;
(2)二次函数 y 2x2 18x(0 x 9) ,
a 2 0,
二次函数图象开口向下,
18 9
且当 x 时, y 取得最大值,
2 ( 2) 2
9 9 81
最大值为 y (18 2 ) (m2 );
2 2 2
答案选择:C
( 23)令 y 40,得到 2x 18x 40,即 x2 9x 20 0,
分解因式得: (x 4)(x 5) 0,
解得: x 4或 x 5,
则 AB 的长为 4米或 5米.
(老师课上拓展:如果墙长度有限制)
【例5】
某企业接到一批防护服生产任务,按要求 15 天完成,已知这批防护服的出厂价为每件 80 元,为按
时完成任务,该企业动员放假回家的工人及时返回加班赶制.该企业第 x天生产的防护服数量为 y
件, y 与 x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画.
54x(0 x 5)
(1)直接写出 y 与 x的函数关系式 y ;
30x 120(5 x 15)
(2)由于特殊原因,原材料紧缺,服装的成本前 5 天为每件 50 元,从第 6 天起每件服装的成本比
前一天增加 2 元,设第 x 天创造的利润为 w 元,直接利用(1)的结论,求w与 x 之间的函数表达
式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润 出厂价 成本)
第 4 讲 二次函数的应用
\ 5 /
【解答】解:(1)270 5 54, (570 270) (15 5) 30 ,
54x(0 x 5)
y与 x的函数关系式为 y ,
30x 120(5 x 15)
54x(0 x 5)
故答案为: y ;
30x 120(5 x 15)
(2)根据题意得w 54x 80 50 1620x 0 x 5
x 5时,wmax 8100
w 30x 120 [80 50 2(x 5)] 60x2 960x 4800 5 x 15 ,
x 8时,wmax 8640
1620x 0 x 5,x取整数
w
60x
2 960x 4800 5 x 15,x取整数
答:第 8 天时利润最大,最大利润是 8640 元.
【例6】
某超市拟于中秋节前 50 天里销售某品牌月饼,其进价为 18 元 /kg .设第 x天的销售价格为 y (元
/kg) 销售量为m(kg) .该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:① y 与 x 满足一次函数关
系,且当 x 32时, y 39 ; x 40时, y 35 .②m 与 x的关系为m 5x 50 .
1
(1)(互 5) y 与 x的关系式为 y x 55 ;
2
1 1
A. y x 55 B. y x 55 C. y x 35 D.无法确定
2 2
(2)当34 x 50 时,求第几天的销售利润W (元 )最大?最大利润为多少?
(3)若在当天销售价格的基础上涨 a元 /kg(0 a 10),在第 31 天至 42 天销售利润最大值为 6250
元,求 a的值.
【解答】解:(1)依题意,当 x 32时, y 39 ; x 40时, y 35 ,
设 y kx b,
第 4 讲 二次函数的应用
\ 6 /
1
39 32k b k
则有 ,解得 2 ,
35 40k b
b 55
1
y与 x的关系式为: y x 55,
2
1
故答案为: y x 55;选择 A
2
5 5
(2)根据题意得,W (y 18)m x2 160x 1850 (x 32)2 4410 ,
2 2
a 0,抛物线开口向下,
当34 x 50 时,W 随 x的增大而减小,
故当 x 34时,W 元; max 4400
5
(3)根据题意得,W (y a 18)m x2 (160 5a)x 50a 1850 ,
2
a 0,抛物线开口向下,
对称轴 x 32 a ,
0 a 10,
32 32 a 42 ,
31 x 42,
1 5
当 x 32 a 时,Wmax 6250, ( a 21)(5a 210) 6250, (a 42)
2 6250 ,
2 2
解得: a 8, a 92(舍 ),
a 8.
【例7】
(互 6)有一座抛物线形拱桥,正常水位桥下面宽度为 20 米,拱顶距离水平面 4 米,如图建立直角
坐标系,若正常水位时,桥下水深 6 米,为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于 18 米,
则当水深超过多少米时,就会影响过往船只的顺利航行 ( )
A.2.76 米 B.6.76 米 C.6 米 D.7 米
【解答】解:设该抛物线的解析式为 y ax2 ,在正常水位下 x 10 ,代入解析式可得
第 4 讲 二次函数的应用
\ 7 /
4 a 102
1
a
25
1
故此抛物线的解析式为 y x2 .
25
因为桥下水面宽度不得小于 18 米
所以令 x 9时
1
可得 y 81 3.24米
25
此时水深6 4 3.24 6.76米
即桥下水深 6.76 米时正好通过,所以超过 6.76 米时则不能通过.
故选: B .
【例8】
如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方 2m的 A 处发出,把球看成点,其运行
的高度 y(m) 与运行的水平距离 x(m) 满足关系式 y a( x 6)2 h.已知球网与O 点的水平距离为
9m ,高度为 2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.
(1)当 h 2.6时,求 y 与 x 的关系式;(不要求写出自变量 x 的取值范围)
(2)(互 7)当h 2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;
A.能过网,会出界 B.不能过网
C.能过网,不会出界 D.无法确定
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求 h的取值范围.
【解答】解:(1) h 2.6,球从O点正上方2m的 A处发出,
抛物线 y a(x 6)2 h 过点 (0,2),
2 a(0 6)2 2.6 ,
1
解得: a ,
60
1
故 y 与 x的关系式为: y (x 6)2 2.6,
60
第 4 讲 二次函数的应用
\ 8 /
1
(2)当 x 9时, y (x 6)2 2.6 2.45 2.43,
60
所以球能过球网;
1
当 y 0 时, (x 6)2 2.6 0,
60
解得: x1 6 2 39 18, x2 6 2 39 (舍去)
故会出界;
选择 A
(3)当球正好过点 (18,0)时,抛物线 y a(x 6)2 h 还过点 (0,2),代入解析式得:
2 36a h

0 144a h
1
a
解得: 54 ,
8h
3
1 8
此时二次函数解析式为: y (x 6)2 ,
54 3
8
此时球若不出边界 h ,
3
当球刚能过网,此时函数解析式过 (9,2.43) ,抛物线 y a(x 6)2 h 还过点 (0,2),代入解析式得:
2.43 a(9 6) 2 h

2 a(0 6)
2 h
43
a
解得: 2700 ,
193h
75
193
此时球要过网 h ,
75
8
故若球一定能越过球网,又不出边界, h的取值范围是: h .
3
解法二: y a(x 6)2 h 过点 (0,2)点,代入解析式得:
193
2 36a h,若球越过球网,则当 x 9时, y 2.43 ,即9a h 2.43解得 h
75
8
球若不出边界,则当 x 18时, y 0,解得 h .
3
8
故若球一定能越过球网,又不出边界, h的取值范围是: h .
3
第 4 讲 二次函数的应用
\ 9 /
抛物线型问题(物体形状问题、掷物问题)
一般解题步骤:
1.建立平面直角坐标系,设未知数(确定自变量和函数);
2.根据条件找到已知条件中的点坐标;
3.待定系数法求解函数解析式;
4.确定自变量的取值范围;
5.利用函数知识,求解题目问题,
6.写出结论.
备选题
【备1】
已知二次函数 y x2 2bx c
(1)若b c,是否存在实数 x ,使得相应的 y 的值为 1?请说明理由;
(2)若b c 2, y 在 2 x 2 上的最小值是 3,求b 的值.
【解答】解:( 21)由 y 1得 x 2bx c 1,
x2 2bx c 1 0
△ 4b2 4b 4 (2b 1)2 3 0,
则存在两个实数,使得相应的 y 1;
( 22)由b c 2,则抛物线可化为 y x 2bx b 2 ,其对称轴为 x b,
①当 x b 2时,则有抛物线在 x 2时取最小值为 3,此时
3 ( 2)2 2 ( 2)b b 2 ,解得b 3;
②当 x b 2时,则有抛物线在 x 2时取最小值为 3,此时
3 22
9
2 2b b 2 ,解得b ,不合题意,舍去,
5
4(b 2) 4b2 1 21
③当 2 b 2时,则
2
3 ,化简得:b b 5 0 ,解得: b (不合题意,1
4 2
1 21
舍去),b2 .
2
1 21
综上:b 3或 .
2
【备2】
若 min{a, b , c}表示 a , b , c 三个数中的最小值,当 y min{x2 , x 2,8 x}时 (x 0) ,则 y
的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
第 4 讲 二次函数的应用
\ 10 /
【解答】解:如图,当 x 3时 y 有最大值,
y 3 2 5 ,
最大
所以 y 的最大值是 5,
故选: B .
第 4 讲 二次函数的应用
\ 11 /
挑战极限
抛物线 y 2x
2 4kx k 2 2k 2 在 1 x 2时的最小值为 1,则 k 的的值为( )
A. 1或 5 B. 5 C. 1 D. 1或 5 或 3
【原题】抛物线 y 2x
2 4ax a2 2a 2 在 1 x 2 时的最小值为 1,则 a的的值.(与上面
只有字母的不同)
b 4a
【解答】解:对称轴 x a,
2a 2 2
① a 1时, 1 x 2范围内, y 随 x的增大而增大,
当 x 1时, y 最小,最小值 y 2 ( 1)2 4a ( 1) a2 2a 2 a2 6a 4 ,
② 1 a 2时,
当 x a时,有最小值,最小值 y 2 a2 4a a a2 2a 2 a2 2a 2,
③ a 2时, 1 x 2范围内, y 随 x的增大而减小,
当 时, y 最小,最小值 y 2 22 4a 2 a2 2a 2 a2x 2 6a 10,
综上所述, a 1时,最小值为 a2 6a 4,
2
1 a 2时,最小值为 a 2a 2,
a 2时,最小值为 a2 6a 10;
最小值为 1,
a2 6a 4 1,整理得 a2 6a 5 0,
解得 a1 1, a2 5,
a2 2a 2 1,整理得, a2 2a 3 0,
解得 a3 1, a4 3(舍去),
a2 6a 10 1,整理得, a2 6a 11 0,
△ ( 6)2 4 1 11 8 0,方程无解,
综上所述, a的所有可能值为 1、 5.
选择 A
第 4 讲 二次函数的应用
\ 12 /
巩固练习
【练习1】
二次函数 y 2x2 4x 6的最小值是( )
A. 8 B. 2 C.0 D.6
2 2【解答】解: y 2x 4x 6 2 x 1 8 ,
因为图象开口向上,故二次函数的最小值为-8.
故选:A.
【练习2】
已知二次函数 y (x k 2)(x k) m ,其中 k ,m 为常数.下列说法正确的是 ( )
A.若 k 1,m 0,则二次函数 y 的最大值小于 0
B.若 k 1,m 0,则二次函数 y 的最大值大于 0
C.若 k 1,m 0,则二次函数 y 的最大值小于 0
D.若 k 1,m 0,则二次函数 y 的最大值大于 0
【解答】解 y (x k 2)(x k) m (x 1)2 (k 1)2 m,
当 2x 1时,函数最大值为 y (k 1) m ,
则当 k 1,m 0时,则二次函数 y 的最大值大于 0.
故选: B .
【练习3】
函数 y x2 2x 5在 2 x 3内的最大值是______,最小值是______.
【解答】
y x2 2x 5 (x 1)2 6的图象开口向上,对称轴是 x 1,对称轴在给定的区间内,所以最大
值是当 x 3时, ymax 10,最小值是当 x 1时, ymin 6.
【练习4】
如图,某农户计划用长12m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一
面靠墙,且墙的可利用长度最长为7m.
(1)若生物园的面积为9m2 ,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少?
(2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?
第 4 讲 二次函数的应用
\ 13 /
【解答】解:设这个生物园垂直于墙的一边长为 xm ,
(1)由题意,得 x(12 3x) 9,
解得, x 1(不符合题意,舍去),1 x2 3,
答:这个生物园垂直于墙的一边长为3m;
(2)设围成生物园的面积为 ym2 .
由题意,得 y x(12 3x) 3(x 2)2 12,
12 3x 7

12 3x 0
5
x 4
3
当 x 2时, y 12 ,最大值 12 3x 6,
答:生物园垂直于墙的一边长为 2m.平行于墙的一边长为 6m 时,围成生物园的面积最大,且为
12m2.
【练习5】
春节前,某超市从厂家购进某商品,已知该商品每个的成本价为 30 元,经市场调查发现,该商品
每天的销售量 y (个)与销售单价 x (元)之间满足一次函数关系,当该商品每个售价为 40 元时,
每天可卖出 300 个;当该商品每个售价为 60元时,每天可卖出 100 个.
(1) y 与 x之间的函数关系式为 y 10x 700 (不要求写出 x的取值范围);
(2)若超市老板想达到每天不低于 220 个的销售量,则该商品每个售价定为多少元时,每天的销
售利润最大?最大利润是多少元?
【解答】解:(1)设 y 与 x之间的函数解析式为 y kx b,
40k b 300
由题意得, ,
60k b 100
k 10
解得: ,
b 700
y与 x之间的函数解析式为 y 10x 700 ;
故答案为: y 10x 700;
(2)设每天销售利润为w元,
第 4 讲 二次函数的应用
\ 14 /
由题意得w (x 30)( 10x 700) 10x2 1000x 21000 10(x 50)2 4000,
由于 10x 700 220,得 x 48,
30 x 48
又 10 0 ,当 x 50时,W 随着 x 的增大而增大
当 x 48时,w取最大值,最大值为 10 (48 50)
2 4000 3960
答:该商品每个售价定为 48元时,每天的销售利润最大,最大利润是 3960 元.
第 4 讲 二次函数的应用
\ 15 /

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