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第 5 讲 二次函数的几何最值
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
线段和的最值问题 例 1、例 2
二次函数与线段最值 线段差的最值问题 例 3
铅垂线段的最值 例 4
三角形面积最值 例 5
二次函数与面积最值 四边形面积最值 例 6
动点、动图型的面积问题 例 7、例 8
模块 1 二次函数与线段最值
【知识梳理】
一、二次函数与线段最值问题的处理方法
1．代数法：利用函数表示线段长度，转化为函数求最值问题．
2．几何法：利用几何原理和常见的最值模型分析线段最值．
二、常用的线段最值模型
几何最值常见模型图
如图，两定点在直线同侧， B
P 为直线 l 上一点，在 P
处取得最小值．
A
l
P P'
A'
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 1 /
点 P 在 AOB内部，在 OB
P' A
边上找点 D，OA 边上找点
C，使得△PCD周长最小． C
P
O
D B
P''
点 P、Q 在 AOB内部，在 P' A
OB 边上找点 D，OA 边上找
C
点 C，使得四边形 PQDC P
周长最小．
Q
O
D B
Q'
如图，两定点在直线同侧，
A
P 为直线 l 上一点，在 P
处 AP BP 取得最大值． B
l
P P′
如图，两定点在直线异侧， A
P 为直线 l 上一点，在 P
处 AP BP 取得最大值． B'
l
P P'
B
【经典例题】
【例1】
1 3
（互 1）如图，抛物线 y x2 x 2与 x 轴交于 A ， B 两点 (A在 B 的左侧），与 y 轴交于点C ，
2 2
P 为此抛物线对称轴 l 上任意一点，则 APC 的周长的最小值是 ( )
A． 2 5 B． 3 5 C．5 5 D． 5 13
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 2 /
【解答】解：作点C 关于直线 l 的对称点C ，连接 AC 交直线 l 于 P ，连接PC ，
则 APC 的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C 在抛物线上，
当 x 0时， y 2 ，
点C 的坐标为 (0,2)，
点C 的纵坐标为 2，
1 3
2 x2 x 2 ，
2 2
解得， x1 0 ， x2 3，
则点C 的横坐标为 3，
1 2 3 x x 2 0，
2 2
x1 1， x2 4，
则点 A 的坐标为 ( 1,0)，
AC 42 22 2 5 ， AC 12 22 5 ，
APC 的周长的最小值是3 5 ，
故选： B ．
课上老师直接讲求 BC会更好.
【例2】
（互 2）如图，二次函数 y a(x 1)2 的图象经过点 A( 1,4)，与 y 轴交于点 B ，C 、 D 分别为 x 轴、
直线 x 1上的动点，当四边形 ABCD的周长最小时，CD所在直线对应的函数表达式是 ( )
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 3 /
3 8 4 5
A． y 3x B． y 3x 1 C． y x D． y x 1
2 5 5 3
【解答】解：作点 A 关于对称轴 x 1的对称点 E ，则E(3,4)，作点 B 关于 x 轴的对称点F ，
连接 EF 交 x 轴于点C ，交对称轴于点D ，此时四边形 ABCD的周长取得最小值，
将点 A( 1,4)代入 y a(x 1)2 得 4a 4，
解得 a 1，
抛物线解析式为 y (x 1)2 x2 2x 1，
点 B 坐标为 (0,1)，
则点 F(0, 1) ，
设CD所在直线解析式为 y mx n，
3m n 4
将 E(3,4)， F(0, 1) 代入得 ，
n 1
5
m
解得 3 ，

n 1
5
所以CD所在直线解析式为 y x 1．
3
故选：D ．
【例3】
（互 3）已知二次函数 y x2 2x 1的顶点为 A ，与 y 轴交点为 B ，动点P(x,0)在 x 轴上运动，
当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时，点 P 的坐标是 ( )
1 1
A． ( 1,0) B． (1,0) C． ( ， 0) D． ( ，0)
3 3
【解答】解： y x2 2x 1 (x 2 2x) 1 (x 1) 2 2 ，
A(1,2) ．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 4 /
当 x 0时， y 1，
B(0,1) ．
令直线 AB 的解析式为 y kx b(k 0) ，
k b 2 k 1
，解得 ，
b 1 b 1
直线 AB 的解析式为 y x 1．
| AP BP | AB，
当点 P 在直线 AB 上时，线段 AP 与线段 BP 之差最大，
P(x,0) ，
x 1 0，解得 x 1，
P( 1,0) ．
故选： A ．
【例4】
2 4
1．如图，直线 y x c与 x 轴交于点 A(3,0)，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y x2 bx c经过
3 3
点 A ， B ．
（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；
（2） M (m,0)为线段OA上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P 、
N ．求线段 PN 的最大值．
2
【解答】解：（1） y x c与 x 轴交于点 A(3,0) ，与 y 轴交于点 B ，
3
0 2 c ，解得 c 2，
B(0,2) ，
4
抛物线 y x2 bx c经过点 A ， B ，
3
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 5 /
10
12 3b c 0 b
，解得 3 ，
c 2
c 2
4 10
抛物线解析式为 y x2 x 2；
3 3
2 4 10
（2）M (m,0)，则 P(m, m 2) ， N(m, m2 m 2) ，
3 3 3
4 2 10 2 4 PN ( m m 2) ( m 2) m2 4m(0 m 3)；
3 3 3 3
4 4 3
PN m2 4m (m )2 3，
3 3 2
3
m 时，线段 PN 有最大值为 3．
2
2．（互 4）如图，已知二次函数 y x2 7x 与一次函数 y x 7 的图象，动点C(x, y) 在直线 AB 上，
且1 x 7 ，过点C 作 x 轴的垂线交抛物线于点D ，则CD的最值情况是 ( )
y
7
O A x
C
-7
B
D
A．有最小值 9 B．有最大值 9 C．有最小值 8 D．有最大值 8
【解答】解： A(7,0) ， B(0, 7)，
设C(x, x 7)，则D(x, x2 7x) ，
CD x 7 (x2 7x) x2 8x 7 (x 4)2 9，
1 x 7范围内，有最大值 9，
故选： B ．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 6 /
模块 2 二次函数与面积最值
【知识梳理】
一、二次函数与图形面积
由动点而产生的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式．解这类问题常用到以下与
面积相关的知识：（1）图形割补；（2）等积变形；（3）等比转化．
二、求面积的常用方法
图示 方法 结论
y y y 对于一边平行于坐标轴的三角形，采
B B 取公C 式法较为简便．
B
h
AC h
h S ABC
2
A C A C A
x x x
O O O
y y y
C B C
B B
h
h
A A C A
x x x
O O O
y y 对于任意不规则的三角形，采取割补
B D B E 法均可解决，思路简单，但计算复
A A 杂．
C F C S ABC S矩形 S ABD S BCE SDECF ACF
x x
O O
y 对于任意不规则的三角形，采取铅垂
B 法均可解决，计算简单．
h1
A BD h1 BD hS 2D ABC S ABD S CBD C
h 2 22
x 1
O BD (h1 h2 )
2
1
(yB yD ) (xC xA )
2
1
铅垂高 水平宽
2
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 7 /
【经典例题】
【例5】
（互 5）如图，抛物线经过 A(1,0)， B(4,0)，C(0, 4)三点，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个
动点，连结 DC， DB ，则 BCD的面积的最大值是 ( )
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【解答】解：设抛物线的解析式是 y ax2 bx c ，
抛物线经过 A(1,0)， B(4,0)，C(0, 4)三点，
a b c 0

16a 4b c 0

c 4
a 1

解得， b 5

c 4
y x2 5x 4，
设过点 B(4,0)，C(0, 4)的直线的解析式为 y kx m
4k m 0

m 4
k 1
解得，
m 4
即直线 BC 的直线解析式为： y x 4，
设点 D 的坐标是 (x, x2 5x 4)
[( x2 5x 4) (x 4)] 4
S BCD 2(x 2)
2 8 ，
2
当 x 2时， BCD的面积取得最大值，最大值是 8．
故选：C ．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 8 /
【例6】
如图 1，抛物线 y x2 (m 2)x 4的顶点C 在 x 轴正半轴上，直线 y x 2与抛物线交于 A ， B
两点（点 A 在点 B 的左侧）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）（互 6）点 P 是抛物线上一点，若 S 2S ，求点 P 的坐标； PAB ABC
A． ( 1,9) B． (6,16) C． ( 1,9) 或 (6,16) D．无法确定
（3）如图 2，若点 M 是位于直线 AB 下方抛物线上一动点，以 MA 、 MB 为邻边作平行四边形
MANB，当平行四边形 MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐
标．
【解答】解：（1） 抛物线 y x2 (m 2)x 4的顶点C 在 x 轴正半轴上，
△ (m 2)2
m 2
16 0 ，且 0
2
解得m 6．
抛物线的函数表达式是 y x2 4x 4；
（2）如图 1，过点C 作CE / /AB 交 y 轴于点 E ，设直线 AB 交 y 轴于点 H ．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 9 /
由直线 AB : y x 2，得点 H (0,2) ．
设直线CE : y x b．
y x2 4x 4 (x 2)2 ，
C(2,0)．
2 b 0，则b 2．
HE 4．
由 S 2S ， PAB ABC
可在 y 轴上且点 H 上方取一点 F ，使 FH 2HE ，则F(0,10)．
过点 F 作 FP / /AB交抛物线于点 P 、P ．此时满足 ， 1 2 S PAB 2S ABC
设直线 P 、 P 的函数解析式为： y x k ． 1 2
F(0,10) 在直线 P 、 P 上， 1 2
k 10．
直线 P y x 101 、 P 的函数解析式为： ． 2
y x 10
联立 ．
y x
2 4x 4
x1 1 x2 6
解得 ， ，
y1 9 y2 16
综上，满足条件的点 P 的坐标是 P1( 1,9)，P2 (6,16) ；选择 C
（3）如图 2，过点M 在作ME x 轴，交 AB 于点 E ，
直线 y x 2与抛物线交于 A ， B 两点，
x 2 x2 4x 4，
x2 5x 2 0，
5 17
x ，
2
| xB xA | 17
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 10 /
设点M (n,n2 4n 4) ，则 E(n,n 2)
2 5 17 EM n 2 (n 4n 4) (n )2 ，
2 4
1 5 17
S 2 MAB 17 [ (n ) ]
2 2 4
平行四边形MANB 2 S ， MAB
当 S 的值最大时，平行四边形 的面积最大， MAB MANB
5 17 17
当 n 时，平行四边形MANB 的最大面积 ，
2 4
5 1
此时，点M ( ， )．
2 4
【例7】
如图，已知二次函数的图象过点O 0,0 ， A 8,4 ，与 x 轴交于另一点 B，且对称轴是直线 x 3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）（互 7）若 M 是 OB 上的一点，作 MN∥AB 交 OA 于 N，当△ANM 面积最大时，求 MN 的长．
A． 2 5 B． 5 C．3 D．4
y
A
N
O M B x
【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线 x 3，
∴B 点坐标为 6,0 ，
设抛物线解析式为 y ax x 6 ，
1
把 A 8,4 代入得 a 8 2 4，解得 a ，
4
1
∴抛物线解析式为 y x x 6 ，
4
1
即 y x2
3
x ；
4 2
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 11 /
（2）设M t,0 ，
1
设直线 OA 的表达式为： y k x，将点 A 的坐标代入上式并解得： k ' ，
2
1
故直线 OA 的解析式为 y x ，
2
设直线 AB 的解析式为 y kx b，
6k b 0 k 2
把 B 6,0 ， A 8,4 代入得： ，解得： ，
8k b 4 b 12
∴直线 AB 的解析式为 y 2x 12，
∵MN∥AB，
∴设直线 MN 的解析式为 y 2x n ，
把 M t,0 代入得 2t n 0 ，解得n 2t ，
∴直线 MN的解析式为 y 2x 2t ，
4
1
y x
x t
4 2
解方程组 2 ，解得：
3
，则 N t, t ，
2 3 3y x t 2 2 y t
3
1 1 2 1 1 2
∴ S AMN S AOM S
2
NOM 4 t t t t 2t t 3 3，
2 2 3 3 3
当 t 3时， S AMN 有最大值 3，此时 M 点坐标为 3,0 ；
则点 N 4,2 ，
MN (4 3)2 22 5 ；选择 B
【例8】
已知，如图 Rt△ABC 中， AOB 90 ，∠OBA 30 ，OB 4 ，分别以OA、OB 边所在的直线建
立平面直角坐标系，D 为 x 轴正半轴上一点，以OD 为一边在第一象限内作等边 ODE．
（1）如图，当 E 点恰好落在线段 AB 上时，求 E 点坐标；
（2）若点 D 沿 x 轴正半轴向右移动，设点 D 到原点的距离为 x ， ODE 与 AOB 重叠部分的面积
为 y ，请写出 y 与 x 的函数关系式．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 12 /
【解答】解：（1）作EH OB于点 H ，
OED是等边三角形，
EOD 60 ．
又 ABO 30 ，
OEB 90 ．
BO 4 ，
1
OE OB 2．
2
OEH 是直角三角形，且 OEH 30
OH 1， EH 3 ．
E(1, 3)；
3
（2）当0 x 2时， ODE与 AOB 重叠部分的面积为 ODE面积 x2 ，
4
3
当 2 x 4时， ODE与 AOB 重叠部分的面积为四边形GO DF 面积 x2 2 3x 2 3 ，
4
当 x 4 时， ODE与 AOB 重叠部分的面积为 2 3 ．
备选题
【备1】
1
如图，抛物线 y x2 4 与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 P 在一次函数 y x 6 的图象上，Q 是线段
4
PA 的中点，连结OQ ，则线段OQ 的最小值是 ( )
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 13 /
2
A． B．1 C． 2 D．2
2
【解答】解： O 为 AB 的中点、Q为 AP 的中点，
OQ是 ABP 的中位线，
1
OQ BP，
2
1
抛物线 y x2 4 ，
4
当 y 0 时，得 x1 4 ， x2 4，
点 A 的坐标为 ( 4,0) ，点 B 的坐标为 (4,0)，
点 P 在一次函数 y x 6的图象上，
当 y 0 时， x 6，该一次函数与 x 轴的夹角是45 ，
当 BP 直线 y x 6时， BP 取得最小值，此时BP (6 4) sin 45 2 ，
07
2
OQ的最小值是 ，
2
故选： A ．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 14 /
挑战极限
已知，如图二次函数 y ax2 2ax 3a (a 0)图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A、B 两点(B 在 A 点右
3
侧)，点 H、B关于直线 l : y x 3 对称．过点 B 作直线 BK ∥ AH 交直线 l 于 K 点，M 、 N 分
3
别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点,连接HN 、 NM 、 MK ，求 HN NM MK 和的最小值_____．
y y
l l
H H
K K
A O B x A O B x
备用图
【解答】解:⑴依题意,得 ax2 2ax 3a 0 a 0
解得 x1 3， x2 1
∵ B 点在 A 点右侧
∴ A 点坐标为 ( 3，0) , B 点坐标为 (1，0)
3
∵直线 l : y x 3
3
3
当 x 3时, y ( 3) 3 0
3
∴点 A 在直线 l 上
3
⑵∵点 H 、 B 关于过 A 点的直线 l : y x 3 对称
3
∴ AH AB 4
过顶点 H 作 HC AB交 AB 于C 点
1
则 AC AB 2 , HC 2 3
2
∴顶点 H( 1，2 3)
3
代入二次函数解析式,解得 a
2
3 3 3
∴二次函数解析式为 y x2 3x
2 2
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 15 /
y
H
K
A C O B x
⑶直线 AH 的解析式为 y 3x 3 3
直线 BK 的解析式为 y 3x 3
3
y x 3 x 3
由 3 解得 即 K(3，2 3)，则 BK 4
y 2 3
y 3x 3
∵点 H 、 B 关于直线 AK 对称
∴ HN MN 的最小值是MB， KD KE 2 3
过点 K 作直线 AH 的对称点Q，连接QK ,交直线 AH 于 E
则QM MK ，QE EK 2 3 ， AE QK
∴ BM MK 的最小值是 BQ，即 BQ的长是HN NM MK 的最小值
∵ BK ∥ AH
∴ BKQ HEQ 90
由勾股定理得QB 8
∴ HN NM MK 的最小值为8
y
Q
E
M l
H
K
N
A O B D x
巩固练习
【练习1】
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 16 /
有两条抛物线 y x2 3x， y x2 9，通过点 P(t, 0)且平行于 y 轴的直线，分别交这两条抛物线
于点 A 和 B ，当 0 t 3范围内变化时，求线段 AB 的最大值．
【解答】解：将直线 x t ，代入 y x2 3x ， y x2 9中，得
A 和 B 的纵坐标分别为 t2 3t ， t2 9 ，
AB ( t2 9) (t2
3 81
3t) 2t2 3t 9 2(t )2 ，
4 8
3 81
当 t 时，线段 AB 取得最大值 ．
4 8
【练习2】
如图，已知二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于点 A ， B ， AB 2 ，与 y 轴交于点C ，图象
的对称轴为直线 x 2．
（1）求二次函数的解析式．
（2）设 P 为对称轴上一动点，求 APC 周长的最小值．
【解答】解：（1） 二次函数 y x2 bx c的图象与 x 轴交于点 A ， B ， AB 2 ，图象的对称轴
为直线 x 2，
b
2， AQ BQ 1，
2 1
解得：b 4， A(1,0)，
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 17 /
即 y x2 4x c ，
把 A 的坐标代入得：0 1 4 c ，
解得： c 3，
即二次函数的解析式是 y x2 4x 3；
（2） y x2 4x 3，
当 x 0时， y 3，
即C 点的坐标为 (0,3)，
A(1,0) ，
AC 12 32 10 ，
作C 关于对称轴 EF 的对称点 M ，则 M 在抛物线的图象上，坐标为 (4,3) ，连接 AM ，交 EF 于 P ，
则此时 APC 的周长最小，
AP PC AP PM AM ，
由勾股定理得： AM 32 32 3 2 ，
即 APC 周长的最小值为 AC AM 10 3 2 ．
【练习3】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx 5 与 x 轴交于 A( 1,0) ， B(5,0) 两点，与 y 轴
交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得 MA MC最小，请求出点M 的坐标；
（3）在直线 BC 下方抛物线上是否存在点 P ，使得 PBC 的面积最大？若存在．请求出点 P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 18 /
【解答】解：（1）把 A( 1,0)，B(5,0) 代入抛物线 y ax2 bx 5 得，
a b 5 0
，
25a 5b 5 0
解得， a 1，b 4，
抛物线的关系式为 y x2 4x 5，
（2）当 x 0时， y 5，
点C(0, 5)
设直线 BC 的关系式为 y kx b，
5k b 0
把点 B 、C 坐标代入得， ，
b 5
解得， k 1，b 5，
直线 BC 的关系式为 y x 5，
抛物线的关系式为 y x2 4x 5 (x 2)2 9，
对称轴为直线 x 2，
由对称可得，直线 BC 与对称轴 x 2交点就是所求的点M ，
当 x 2时， y 2 5 3，
M (2, 3)时，MA MC最小；
（3）向下平移直线 BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点 P 时，此时点P 到 BC 的距离最大，
因此 PBC 的面积最大，
设将直线 BC 向下平移后的直线的关系式为 y x 5 m，
则方程 x2 4x 5 x 5 m，有两个相等的实数根，
即 x2 5x m 0有两个相等的实数根，
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 19 /
25
m ，
4
25 2 5当m 时，方程 x 5x m 0的解为 x ，
4 2
5 35
把 x 代入抛物线的关系式得， y ，
2 4
5 35
P( ， )，
2 4
5 35
答：在直线 BC 下方批物线上存在点 P ，使得 PBC 的面积最大，此时点 P 的坐标为 ( ， )．
2 4
第 5 讲 二次函数的几何最值
\ 20 /

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