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第 6 讲 二次函数与存在性问题
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
二次函数与等腰三角形的存在性 等腰三角形的存在性 例 1
直角三角形的存在性 例 2
二次函数与直角三角形的存在性
等腰直角三角形的存在性 例 3
三定一动模型 例 4
二次函数与平行四边形的存在性
两定两动模型 例 5、例 6
模块 1 二次函数与等腰三角形的存在性
【知识梳理】
一、二次函数与等腰三角形的存在性
已知 A、B 两点，找一动点 P，使△PAB 为等腰三角形．
找法 求法
分类讨论：讨论顶角的位置．
若△PAB 为等腰三角形，分成以下几种情况：
（1）当∠A 为顶角时， AB AP ；
（2）当∠B 为顶角时，BA BP ；
（3）当∠P为顶角时，PA PB ．
A B
动点 P的轨迹：“两圆一线”
【经典例题】
【例1】
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 1 /
1．如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点 C，
使△ABC 为等腰三角形，则这样的顶点 C 有 8 个．
【解答】解：当 AB 为底时，作 AB 的垂直平分线，可找出格点 C 的个数有 5 个，
当 AB 为腰时，分别以 A、B 点为顶点，以 AB为半径作弧，可找出格点 C 的个数有 3 个；
∴这样的顶点 C 有 8个．
故答案为：8．
2．如图，已知二次函数 y ax
2 bx 3a经过点 A( 1,0)，C(0,3) ，与 x 轴交于另一点 B ，抛物线
的顶点为 D ．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P ，使得 PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件
的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 二次函数 y ax
2 bx 3a 经过点 A( 1,0)、C(0,3) ，
a b 3a 0
根据题意，得 ，
3a 3
a 1
解得 ，
b 2
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 2 /
抛物线的解析式为 y x
2 2x 3．
（2）存在．
y x2 2x 3对称轴为直线 x 1．
①若以CD为底边，则 P ， 1D P1C
设 P 点坐标为 (x, y)，根据勾股定理可得 PC
2 x21 (3 y)
2 ， P 21D (x 1)
2 (4 y)2 ，
1
x2 (3 y)2 (x 1)2 (4 y)2因此 ，
即 y 4 x ．
又 P 点 (x, y)在抛物线上， 1
4 x x2 2x 3，
即 x2 3x 1 0 ，
3 5 3 5
解得 x ， x ，应舍去， 1 2 1
2 2
3 5
x ，
2
5 5
y 4 x ，
2
3 5 5 5
即点 P1 坐标为 ( ， )．
2 2
②若以CD为一腰，
点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点C 关于直线 x 1对称，
此时点 P2 坐标为 (2,3) ．
3 5 5 5
符合条件的点 P 坐标为 ( ， )或 (2,3) ．
2 2
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 3 /
模块 2 二次函数与直角三角形的存在性
【知识梳理】
一、二次函数与直角三角形的存在性
已知 A、B 两点，找一动点 P，使△PAB 为直角三角形．
找法 求法
分类讨论：讨论直角的位置．
若△ABP为直角三角形，分成以下几种情况：
（1）当∠A 为直角时， AB2 AP2 BP2 ；
（2）当∠B 为直角时， AB2 BP2 AP2 ；
（3）当∠P为直角时，BP2 AP2 AB2 ．
A B
动点 P的轨迹：“一圆两线”
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 4 /
【经典例题】
【例2】
2
如图，已知抛物线 y ax bx 3 与 x轴交于点 A( 1,0)，B(3,0) ，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 P 是抛物线的对称轴上一个动点，当以 A 、 P 、C 为顶点的三角形是直角三角形时，求出
点 P 的坐标．
y
C
B
A O x
2
【解答】解：（1） 抛物线 y ax bx 3 与 x轴交于点 A( 1,0)、 B(3,0) ，
a b 3 0
，
9a 3b 3 0
a 1
解得
b 2
y x2 2x 3 (x 1)2 4；
（2）设 P(1,n) ， A( 1,0)、C(0,3)，
2 2 2 2 AC 10 ， AP2 4 n2 ，CP 1 (n 3) n 6n 10
①当 2 2 2AC AP时， AC AP CP ，
即10 4 n2 n2 6n 10．
2
解得 n ；
3
②当 2 2 2AC CP 时， AC CP AP ，
即10 n2 6n 10 4 n2 ，
8
解得 n ；
3
③当 时， AP2AP CP CP2 AC2 ，
即 4 n2 n2 6n 10 10．
解得 n 1或 2．
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 5 /
2 8
综上所述，符合条件的点 P 的坐标是 (1, ) 或 (1, )或 (1,1)或 (1,2)，
3 3
【例3】
2
如图，直线 y x c 与 x轴交于点 A(3,0) ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y x bx c 经过点 A 和点
B ．
（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式；
（2） M (m,0)为线段OA上一个动点，过点 M 垂直于 x轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于点 P
和点 N ，若以 B ， P ， N 为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M 的坐标．
【解答】解：（1）把点 A(3,0) 代入 y x c 得到 c 3，
直线的解析式为 y x 3，
令 x 0，得到 y 3，
B(0,3)，
2 c 3
把 A(3,0) ，B(0,3) 代入 y x bx c得到 ，
9 3b c 0
b 2
解得 ，
c 3
y x2 抛物线的解析式为 2x 3．
（2）情形 1：当BN / /x轴时， BNP是等腰直角三角形．
理由： PM AM ，
AMP 90 ，
OA OB 3，
MAP 45 ，
APM BPN 45 ，
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 6 /
BN / /OA，
NBP BPN 45 ，
BNP 是等腰直角三角形，
此时 N(2,3)，
M (2,0)．
情形 2：当BN AB时， PBN 是等腰直角三角形．
此时直线 BN 的解析式为 y x 3，
y x 3 x 0 x 1
由 ，解得 或 ，
y x
2 2x 3 y 3 y 4
N (1,4)，
M (1,0)，
综上所述，满足条件的点M 坐标为 (2,0)或 (1,0) ；
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 7 /
模块 3 二次函数与平行四边形的存在性
【知识梳理】
一、二次函数与平行四边形的存在性
分类 找法 求法
①根据平行四边形的对边平行且相
P1 等来求；
xP x1 A xB xC
如求点 P1 ：
yP yA yB y1 C
三定一动 A B
②根据平行四边形的对角线互相平
分来求；
P P xP x x x2 C 3
1 C A B
如求点 P1 ：
yP yC yA y1 B
以 AB 为边
P(Q) 根据平行四边形的对边平行且相等
来求；
A
xA xB xP(Q) xQ(P)
如：
yA yB yP(Q) yQ(P)
Q(P)
B
以 AB 为对角线
两定两动
P
根据平行四边形的对角线互相平分
A 来求；
xP xQ xA xB
如：
yP yQ yA yB
B
Q
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 8 /
【经典例题】
【例4】
y x2如图，已知抛物线 2x 3与 x轴的两个交点为 A 、 B ，与 y 轴交于点C ．若坐标平面内的
点 M ，使得以点M 和三点 A 、 B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标为_______.
【解答】解： ( 4,3) 或 (4,3) 或 (2, 3) ．
【例5】
2
如图①抛物线 y ax bx 3(a 0)与 x轴， y 轴分别交于点 A( 1,0)， B(3,0) ，点C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点 N 在抛物线的对称轴上，点 M 在抛物线上，当以 M 、 N 、 B 、C 为顶点的四边形是平行
四边形时，请直接写出点M 的坐标．
【解答】解：如图：
（1） 抛物线 y ax
2 bx 3(a 0)与 x轴， y 轴分别交于点 A( 1,0)， B(3,0) ，点C 三点．
a b 3 0 a 1
解得
9a 3b 3 0 b 2
2
抛物线的解析式为 y x 2x 3．
（2）M1( 2, 5) ， M 2 (4, 5)， M3 (2,3) ．
设点 N(1,n)，
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 9 /
当 BC 、MN 为平行四边形对角线时，
由 BC 、MN 互相平分，M (2,3 n) ，
代入 y x2 2x 3，
3 n 4 4 3，解得 n 0， M (2,3) ；
当 BM 、 NC 为平行四边形对角线时，
由 BM 、 NC 互相平分，M ( 2,3 n)，
y x2代入 2x 3，
3 n 4 4 3，解得 n 8， M ( 2, 5) ；
当 MC、 BN 为平行四边形对角线时，
由 MC、 BN 互相平分，M (4,n 3) ，
2
代入 y x 2x 3，
n 3 16 8 3，解得n 2， M (4, 5) ．
综上所述，点M 的坐标为：M1( 2, 5) ， M 2 (4, 5)，M3 (2,3) ．
【例6】
如图，抛物线 y ax
2 bx 6 经过点 A( 2,0)， B(4,0) 两点，与 y 轴交于点C ，点 D 是抛物线上一
个动点，设点 D 的横坐标为m(1 m 4)．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当m 3时，若点 M 是 x 轴正半轴上的一个动点，点 N 是抛物线上一动点，试判断是否存在
这样的点 M ，使得以点 B 、 D 、 M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点
M 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
C
D
A O B x
2
【解答】解：（1） 抛物线 y ax bx 6 经过点 A( 2,0) ， B(4,0)两点，
4a 2b 6 0
，
16a 4b 6 0
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 10 /
3
a 4
解得： ，
3b
2
3 3
抛物线的解析式为 y x2 x 6；
4 2
（2）存在，
m 3，
15
点 D(3, )，
4
若以 BD为平行四边形的对角线时，设点 E 是 BD 与MN 的交点，
BD 与 MN 互相平分，
x x x x y y y y
x B D M N ， B D M N E yE
2 2 2 2
15
0
4 yN 0
2 2
15
y ， N
4
15 3 3
x2 x 6，
4 4 2
x1 3， x2 1，
15 15
点 N(3, ) 或 ( 1, ) ，
4 4
x x xB D M
xN
2 2
4 3 xM x N
2 2
xM 8或 4（舍去），
若以 DM 为平行四边形的对角线时，同理可求 xM 0或 4（均舍去），
若以 DN 为平行四边形的对角线时，同理可求 xM 14 或 14 （舍去），
综上所述，点M 的坐标为 (8,0)， ( 14 ， 0)
备选题
【备1】
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 11 /
挑战极限
1 2
已知抛物线 y x2 3x 9 与 x轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C ．
9 3
如图，将 AOC 绕点O顺时针旋转至△ A OC 的位置，点 A ，C 的对应点分别为 A ，C ，且点1 1 1 1 A1
落在线段 AC 上，再将△ A OC 沿 y 轴平移得△ A O C ，其中直线O C 与 轴交于点 K ，点T 是抛1 1 2 1 2 1 2 x
物线对称轴上的动点，连接 KT ，O ，△ 为以 为直角边的等腰直角三角形，请直接写1T O1KT O1K
出所有符合条件的点T 的坐标________________________________．
B
K
【解答】解：在Rt AOC中，OA 3 3 ，OC 9，
OC
tan OAC 3 ，
OA
OAC 60 ，
由旋转知，OA OA1 ，
AOA1是等边三角形，
A1OA 60 OA1C1，
A1C1/ /x 轴，
OC1A1 30 ，C1(9，3 3)
3
直线OC1的解析式为 y x，
3
OC1 / /O1C2 ，
3
设直线O1C2 的解析式为 y x b，
3
O1(0,b) ， K( 3b，0) ，
OO | b |，OK 3 | b |1 ，
1 2
抛物线的解析式为 y x2 3x 9 ，
9 3
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 12 /
此抛物线的对称轴为 x 3 3 ，
①当 O KT 90 时，当b 0时，OO b，OK 3b ， 1 1
如图 4，易证，△O1OK KHT (AAS) ，
OO1 KH ，OK HT ，
3 | b | | b | 3 3，
3 3 9
b
2
9 9 3
HT OK ，
2
9 9 3
T (3 3 ， )；
2
T
如图，当 O 时，当 时， ， 1KT 90 b 0 OO1 b OK 3b
易证，△O1OK KHT (AAS) ，
OO1 KH ，OK HT ， H
O K
3 | b | | b | 3 3 ，
3 3 9
b O1
2
9 9 3
HT OK ，
2
9 9 3
T (3 3 ， ) ；
2
②当 KO1T 90 时，当b 0 时，如图 5，OO1 b ，OK 3b ，
易证，△O1OK △O1HT (AAS)，
OO1 HT ，OK O1H ，
b 3 3，
OH O1H OO1 OK OO1 9 3 3，
T (3 3 ， 9 3 3) ；
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 13 /
当 KO1T 90 时，当b 0时，如图 6，
OO1 b，OK 3b ，
易证，△O △1OK O1HT (AAS)，
OO HT ，OK O H ， 1 1
b 3 3 ，
OH O1H OO1 OK OO1 9 3 3 ，
T (3 3 ， 9 3 3)；
9 9 3 9 9 3
即： (3 3 ， )或 (3 3 ， ) 或 (3 3 ， 9 3 3) 或 (3 3 ， 9 3 3)．
2 2
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 14 /
巩固练习
【练习1】
1
如图，抛物线 y x2 bx c经过点 A(2 3 ，0) 和点 B(0, 2) ．
3
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若 OAB以每秒 2个单位长度的速度沿射线 BA 方向运动，设运动时间为 t ，点O， A ， B 的
对应点分别为 D ， E ，C ，直线 DE 交抛物线于点M ．
①当点M 为 DE 的中点时，求 t 的值；
②连接 AD ，当 ACD为等腰三角形时，请直接写出点M 的坐标．
【解答】解：（1）将点 A(2 3 ， 0) 和点 B(0, 2) 代入函数解析式，
1
12 2 3b c 0
则有 3 ，

c 2
c 2
解得 3 ，
b
3
1 3
y x2 x 2；
3 3
（2）① A(2 3 ， 0) 和点B(0, 2) ，
OAB 30 ，OA 2 3 ，
OAB以每秒 2 个单位长度沿射线 BA 方向运动，
当运动时间为 t 秒时，设D( 3t ， t) ，
DE / /x 轴，
E( 3t 2 3， t) ，
点 M 为 DE 的中点，
M ( 3t 3， t) ，
M 点在抛物线上，
1 3
( 3t 3)2 ( 3t 3) 2 t ，
3 3
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 15 /
t 2 ；
② OB 2，
CD 2，
设 D( 3t ， t) ，则C( 3t ， t 2) ，
AD2 4t2 12t 12 ， AC2 4t2 16t 16，CD2 4 ，
当 AC AD时， 4t2 16t 16 4t2 12t 12，
t 1，
3 39
M ( ，1) ；
2
当 AD CD时， 4t2 12t 12 4 ，
t 1或 t 2，（此时C(2 3 ， 0) 与 A 点重合，舍去）
3 39
M ( ，1) ；
2
当 2AC CD时， 4t 16t 16 4 ，
t 1或 t 3，
3 39 3 3 7
M ( ，1) 或M ( ，3) ；
2 2
3 39 3 3 7
综上所述：M ( ，1) ；或 M ( ，3) ；
2 2
【练习2】
2
如图，直线 y 2x 12与 x 轴交于点C ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y 3ax 10x 3c 经过 B ，C
两点，与 x轴交于另一点 A ，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，过 E 作 EF / / y轴交 x 轴于点
F ，交直线 BC 于点M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段 EM 的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接 AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 P ，
使得以 P ，Q， A ， M 为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出 P 点坐标；如果不
存在，请说明理由．
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 16 /
【解答】解：（1）直线 y 2x 12与 x 轴交于点C ，与 y 轴交于点 B ，则点C 、 B 的坐标分别为：
(6,0) 、 (0,12)，
抛物线 y 3ax
2 10x 3c经过 B ，C 两点，则3c 12，
2
故抛物线的表达式为： y 3ax 10x 12，
2
将点C 的坐标代入上式并解得： a ，
3
2
故抛物线的表达式为： y 2x 10x 12 ；
2
（2）设点 E(x, 2x 10x 12) ，则点M (x, 2x 12) ，
EM ( 2x2 10x 12) ( 2x 12) 2x2 12x，
2 0 ，故 EM 有最大值，最大值为 18，此时 x 3；
（3） y 2x
2 10x 12 ，令 y 0 ，则 x 1或 6，故点 A( 1,0)，
由（2）知， x 3，则点M (3,6)，
5
设点 P 的横坐标为：m ，点Q的坐标为： ( ， s) ，
2
①当 AM 是边时，
当点 A 向右平移 4 个单位向上平移 6 个单位得到点M ，
同样，点 P(Q) 向右平移 4个单位向上平移 6 个单位得到点得到点Q(P) ，
5 3 13
即m 4 ，解得：m 或 ，
2 2 2
3 15 13 15
故点 P( ， )或 ( ， )；
2 2 2 2
②当 AM 是对角线时，
5 1
由中点公式得： 1 2 m ，解得：m ，
2 2
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 17 /
1 13
故点 P( ， ) ；
2 2
3 15 13 15 1 13
综上，点 P 的坐标为： ( ， )或 ( ， )或 ( ， ) ．
2 2 2 2 2 2
第 6 讲 二次函数与存在性问题
\ 18 /

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