资源简介

第 7 讲 旋转模型
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
特殊三角形的旋转 例 1-例 3
共顶点旋转模型
婆罗摩笈多 例 4
45°半角应用 例 5
半角旋转模型 一般半角应用 例 6
60°半角应用 例 7
模块 1 共顶点旋转模型
【知识梳理】
一、共顶点旋转模型
分类 图示 结论
Q
P
等腰三角形共 A A A A P A A A △ABP≌△ACQ
Q Q P
Q P
P Q
顶点旋转模型 P P Q Q
B C B C B C B C B C B C B C
A D A D
正方形共顶点 F E E △ABG≌△CBE
旋转模型
G B C F B C
G
第 7 讲 旋转模型
\ 1 /
【经典例题】
【例1】
（互动 1）如图， AB AE ， AF AC ， BAE CAF ，且 B、F、C共线，则对于结论：
① EAF BAC，② FAB EAB ，③ EF BC ，④△ABC≌△AEF ，其中正确的是 ( )
E
A
B F C
A．①② B．①③④ C．①②③④ D．①③
【解答】正确的是①③④，
故选： B ．
【例2】
问题：如图①，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且PA 2 ， PB 3 ， PC 1，求 BPC 的度数
和等边三角形 ABC 的边长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点 B逆时针旋转60 ，画出旋转后的图形（如图②），连接PP ，
可得△ P PB 是等边三角形，而△ PP A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得
AP B _____ ，所以 BPC AP B _____ ，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边
三角形 ABC的边长为_，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空： AP B _____ ， BPC AP B _____ ，等边三角形 ABC 的
边长为_．（互动 2）
A． 7 B．2 C．2.5 D． 5
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形 ABCD 内有一点 P，且PA 5 ， PB 2 ，
PC 1．求 BPC 的度数和正方形 ABCD的边长．
第 7 讲 旋转模型
\ 2 /
【解答】解：（1）根据旋转可知：
AP B 150 ， BPC AP B 150 ，
等边三角形 ABC 的边长为 7 ．
故答案为150 、150 、 7 ．
（2）解：将△BPC 绕点 B逆时针旋转90 ，得△ BP A ，则△BPC≌△ BP A ．
∴ AP PC 1， BP 'PB 2 ．
连接 PP ，如图．在 Rt△ BP P 中，
∵ PB BP ' 2 ， PBP 90 ，
∴ PP 2 ， BP P 45 ．
在△ AP P 中， AP 1， PP 2 ，PA 5 ，
2
∵12 22 5 ，
即 AP 2 PP 2 PA2 ，
∴△ AP P 是直角三角形，
即 AP P 90 ．
∴ AP B 135 ，
∴ BPC AP B 135 ．
过点 B 作 BE⊥ AP ，交 AP 的延长线于点 E，则△ BEP 是等腰直角三角形，
∴ EP B 45 ．
又∵ BP 2 ，
∴ EP BE 1，∴ AE 2 ．
在 Rt△ABE中，
∵ BE 1， AE 2 ，
∴由勾股定理，得 AB 5 ．
综上可得， BPC 135 ，正方形 ABCD的边长为 5 ．
答：∠BPC 的度数为 135°，正方形 ABCD 的边长为 5 ．
【例3】
第 7 讲 旋转模型
\ 3 /
如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一动点（不与点 B、C重合），连接 DE、点 C关于直线
DE 的对称点为C ，连接 AC 并延长交直线 DE于点 P，F是 AC 的中点，连接 DF．
（互动 3）（1）求 FDP的度数；
A．45° B．30° C．60° D．35°
（2）连接 BP，请用等式表示 AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接 AC，若正方形的边长为 2 ，请直接写出△ ACC 的面积最大值．
【解答】解：（1）由对称得：CD C D， CDE C DE ，
在正方形 ABCD 中， AD CD ， ADC 90 ，
∴ AD C D ，
∵F是 AC 的中点，
∴DF⊥ AC ， ADF C DF ，
1
∴ FDP FDC EDC ADC 45 ；
2
（2）结论： BP DP 2AP ，
理由是：如图，作 AP ⊥AP交 PD 的延长线于 P ，
∴ PAP 90 ，
在正方形 ABCD 中，DA BA， BAD 90 ，
∴ DAP BAP ，
由（1）可知： FDP 45
第 7 讲 旋转模型
\ 4 /
∵ DFP 90
∴ APD 45 ，
∴ P 45 ，
∴ AP AP ，
在△BAP和△DAP 中，
BA DA

∵ BAP DAP '，

AP AP
∴△BAP≌△DAP SAS ，
∴ BP DP ，
∴ DP BP PP 2AP ；
1
（3）如图，过C 作C G⊥AC 于 G，则 S△AC 'C AC C G ，
2
Rt△ABC 中， AB BC 2 ，
∴ AC ( 2)2 ( 2)2 2，即 AC 为定值，
当C G最大值，△ AC C 的面积最大，
连接 BD，交 AC 于 O，当C 在 BD 上时，C G 最大，此时 G与 O 重合，
1
∵CD C D 2 ，OD AC 1，
2
∴C G 2 1，
1 1
∴ S △ AC C G 2 2 1 2 1． AC 'C
2 2
【例4】
声明：试题解析著作权属所有，未 经书面同意，不得复制发布
以 ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰 Rt ACE， BAD CAE 90 ，
连接DE ， M 、 N 分别是BC 、 DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．
（1）如图①当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是 AM DE ，线段 AM 与 DE
的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt ABD绕点 A 沿逆时针方向旋转 (0 90) 后，如图②所示，（1）问中
第 7 讲 旋转模型
\ 5 /
得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
【解答】（1） ED 2AM ， AM ED ；
证明：延长 AM 到G ，使MG AM ，连 BG ，CG ，则 ABGC 是平行四边形，再延长MA交 DE 于
H ．
AC BG， ABG BAC 180
又 DAE BAC 180 ，
ABG DAE．
再证： DAE ABG
DE 2AM ， BAG EDA．
延长MA交 DE 于 H ，
BAG DAH 90 ，
HDA DAH 90 ．
AM ED．
（2）结论仍然成立．
证明：如图，延长CA至 F ，使FA AC， FA 交 DE 于点 P ，并连接BF ．
DA BA， EA AF ，
BAF 90 DAF EAD．
在 FAB 和 EAD 中，
FA AE

BAF EAD

BA DA
FAB EAD(SAS)
BF DE ， F AEN ，
FPD F APE AEN 90 ．
FB DE ．
又 CA AF ，CM MB．
第 7 讲 旋转模型
\ 6 /
1
AM / /FB ，且 AM FB ，
2
1
AM DE ， AM DE ．
2
模块 2 半角旋转模型
【知识梳理】
一、正方形的半角模型
图示 结论
A D
45°
N F ① EF BE DF
② AE、AF是△CEF 的外角平分线
③ C△CEF 2AB
M
④ BM 2 DN 2 MN 2G
H B E C
第 7 讲 旋转模型
\ 7 /
A D
45° H
EF DF BE
B C
E
F
二、特殊四边形的半角模型
图示 结论
A EF BE CF
F
E
B C
D
H
ABD ACD 180 ， BD DC
E EF BE CF
A
H
B C
F
D
ABD ACD 180 ， BD DC
【经典例题】
【例5】
请阅读下列材料：
已知：如图 1 在 Rt ABC中， BAC 90 ， AB AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若
DAE 45 ．探究线段 BD、DE 、 EC 三条线段之间的数量关系．
第 7 讲 旋转模型
\ 8 /
小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连接 E D ，使问题得到解决．请你
参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想 BD、 DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（互动 4）
A．DE2 BD2 EC2 B． DE BD EC C． 2DE BD EC D．无法确定
（2）当动点 E 在线段 BC 上，动点D 运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，（1）中
探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【解答】（1）猜想：DE2 BD2 EC2 ，
证明：根据 AEC 绕点 A 顺时针旋转90 得到 ABE ，
AEC ABE ，
BE EC ， AE AE ，
C ABE ， EAC E AB，
在Rt ABC中，
AB AC ，
ABC ACB 45 ，
ABC ABE 90 ，
即 E BD 90 ，
E B2 BD2 E D2 ，
又 DAE 45 ，
BAD EAC 45 ，
E AB BAD 45 ，
即 E AD 45 ，
△ AE D AED，
DE DE ，
DE2 BD2 EC2 ．
（ ）结论：关系式DE22 BD2 EC2 仍然成立．
证明：作 FAD BAD，且截取 AF AB ，连接DF ，连接FE ，
第 7 讲 旋转模型
\ 9 /
AFD ABD ，
AF AB， FD DB ，
FAD BAD， AFD ABD，
又 AB AC ，
AF AC，
FAE FAD DAE FAD 45 ，
EAC BAC BAE 90 ( DAE DAB) 45 DAB，
FAE EAC ，
又 AE AE ，
AFE ACE ，
FE EC ， AFE ACE 45 ，
AFD ABD 180 ABC 135 ，
DFE AFD AFE 135 45 90 ，
在Rt DFE中，
DF 2 FE2 DE2 ，
即 DE2 BD2 EC2 ．
【例6】
（1）如图①，在四边形 ABCD中， AB AD， B D 90 ， E 、 F 分别是边 BC 、CD上的点，
1
且 EAF BAD，求线段 EF 、 BE 、 FD 之间的数量关系小明提供了这样的思路：延长 EB 到
2
G ，使 BG DF ，连结 AG ，根据小明的思路，请直接写出线段 EF 、 BE 、 FD 之间的数量关系：
EF BE DF
（互动 5）
第 7 讲 旋转模型
\ 10 /
A． EF BE DF B． 2EF BE DF C． EF BE DF D．无法确定
（2）如图②，在四边形 ABCD中， AB AD， B D 180 ， E 、 F 分别是边 BC 、CD 上的
1
点，且 EAF BAD，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由；
2
（3）如图③，在四边形 ABCD中， AB AD， B ADC 180 ， E 、 F 分别是边 BC 、CD延
1
长线上的点，且 EAF BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请
2
写出它们之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图①中，延长 EB 到G ，使BG DF ，连接 AG．
ABG ABC D 90 ， AB AD，
ABG ADF(SAS)．
AG AF ， 1 2 ．
1
1 3 2 3 EAF BAD ．
2
GAE EAF ．
又 AE AE ，
AEG AEF(SAS)．
EG EF ．
EG BE BG ．
EF BE FD．
第 7 讲 旋转模型
\ 11 /
故答案为：EF BE BG．
（2）（1）中的结论 EF BE FD 仍然成立．
证明：如图②中，延长CB至 M ，使 BM DF ，连接 AM ．
ABC D 180 ， 1 ABC 180 ，
1 D ，
在 ABM 与 ADF 中，
AB AD

A D ，

BM DF
ABM ADF(SAS) ．
AF AM ， 2 3．
1
EAF BAD ，
2
1
2 4 BAD EAF ．
2
3 4 EAF ，即 MAE EAF ．
在 AME 与 AFE 中，
AM AF

MAE EAF ，

AE AE
AME AFE(SAS)．
EF ME ，即 EF BE BM ，
EF BE DF ．
（3）结论 EF BE FD 不成立，应当是 EF BE FD ．
证明：如图③中，在 BE 上截取 BG ，使BG DF ，连接 AG．
第 7 讲 旋转模型
\ 12 /
B ADC 180 ， ADF ADC 180 ，
B ADF ．
在 ABG与 ADF 中，
AB AD

ABG ADF ，

BG DF
ABG ADF(SAS)．
BAG DAF ， AG AF ．
1
BAG EAD DAF EAD EAF BAD ．
2
GAE EAF ．
AE AE ，
易证 AEG AEF ．
EG EF
EG BE BG
EF BE FD ．
【例7】
在等边△ABC 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为△ABC 外一点，且∠MDN＝
60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN
之间的数量关系及△AMN 的周长 Q 与等边△ABC的周长 L的关系．
第 7 讲 旋转模型
\ 13 /
（1）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC上，且 DM＝DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 MN
2
＝NC+BM ；此时 = ；（互动 6）
3
3 3 2
A． B． C． D．无法确定
4 5 3
（2）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM≠DN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
2
（3）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN＝x，则 Q＝ 2x+ L （用 x、
3
L 表示）．
【解答】解：（1）如图，BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC＝MN．
2
此时 = ．
3
（2）猜想：结论仍然成立．
证明：如图，延长 AC至 E，使 CE＝BM，连接 DE．
∵BD＝CD，且∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°．
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
=
在△MBD 与△ECD 中：{∠ = ∠
=
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE．
∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．
=
在△MDN 与△EDN 中：{∠ = ∠ ，
=
∴△MDN≌△EDN（SAS）．
第 7 讲 旋转模型
\ 14 /
∴MN＝NE＝NC+BM．
△AMN 的周长 Q＝AM+AN+MN
＝AM+AN+（NC+BM）
＝（AM+BM）+（AN+NC）
＝AB+AC
＝2AB．
而等边△ABC 的周长 L＝3AB．
2 2
∴ = = ．
3 3
（3）如图，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN＝x，
2
则 Q＝2x+ （用 x、L表示）．
3
备选题
【备1】
已知△ABC为等边三角形，点 D 为直线 BC上一动点（点 D 不与点 B，点 C 重合）．以 AD 为边作
等边三角形 ADE，连接 CE．
（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
第 7 讲 旋转模型
\ 15 /
②直接判断结论 BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出 BC，DC，CE 之间存在的
数量关系，并写出证明过程．
【解答】解：（1）①∵△ABC 和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD 和△ACE 中
=
{∠ = ∠ ，
=
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．
（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD 和△ACE 中
=
{∠ = ∠ ，
=
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
第 7 讲 旋转模型
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挑战极限
如图，P是菱形ABCD外的一点， 2 2 2 ABC 120 ，且线段 PA、PB、PC之间满足 PA 3PB PC ，
则 BPC _________________．
A D
C
B
P
【答案】60°
A D
C
B
P' P
巩固练习
【练习1】
如图， BAD CAE 90 ， AB AD， AE AC ， AF CB ，垂足为F ．
（1）求证： ABC ADE ；
（2）求 FAE 的度数；
（3）求证：CD 2BF DE ．
第 7 讲 旋转模型
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【解答】证明：（1） BAD CAE 90 ，
BAC CAD 90 ， CAD DAE 90 ，
BAC DAE ，
在 BAC 和 DAE 中，
AB AD

BAC DAE ，

AC AE
BAC DAE(SAS) ；
（2） CAE 90 ， AC AE ，
E 45 ，
由（1）知 BAC DAE ，
BCA E 45 ，
AF BC ，
CFA 90 ，
CAF 45 ，
FAE FAC CAE 45 90 135 ；
（3）延长 BF 到G ，使得FG FB ，
AF BG，
AFG AFB 90 ，
在 AFB 和 AFG中，
BF GF

AFB AFG ，

AF AF
AFB AFG(SAS)，
AB AG， ABF G，
BAC DAE，
AB AD ， CBA EDA，CB ED，
第 7 讲 旋转模型
\ 18 /
AG AD， ABF CDA，
G CDA，
GCA DCA 45 ，
在 CGA和 CDA中，
GCA DCA

CGA CDA，

AG AD
CGA CDA(AAS)，
CG CD，
CG CB BF FG CB 2BF DE 2BF ，
CD 2BF DE．
【练习2】
如图，在 ABC 和 ADE 中， AB AC， AD AE ， BAC DAE ，且点 B ， A ， D 在同一条
直线上，M ， N 分别为 BE ，CD的中点．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）判断 AMN 的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1） BAC DAE ，
BAC CAE DAE CAE ，即 BAE CAD，
在 ABE 和 ACD中，
AB AC

BAE CAD ，

AE AD
ABE ACD(SAS)；
第 7 讲 旋转模型
\ 19 /
（2） M 、 N 分别为 BE 、CD的中点，且BE CD ，
ME ND，
ABE ACD，
AEM ADC， AE AD ，
ME ND

在 AEM 和 ADN 中， AEM ADN ，

AE AD
AEM ADN(SAS)，
AM AN ，
即 AMN 为等腰三角形．
【练习3】
已知，如图 1，四边形 ABCD 是正方形，E、F分别在边 BC、CD 上，且∠EAF＝45°，我们把这种
模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．
（1）在图 1 中，连接 EF，为了证明结论“EF＝BE+DF”，小明将△ADF绕点 A顺时针旋转 90°
后解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
（2）如图 2，当∠EAF的两边分别与 CB、DC 的延长线交于点 E、F，连接 EF，试探究线段 EF、
BE、DF之间的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：
由旋转可得 GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
第 7 讲 旋转模型
\ 20 /
在△AGE 和△AFE中
=
{∠ = ∠
=
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（2）解：EF＝DF﹣BE，
证明如下：
如图，把△ABE绕点 A逆时针旋转 90°到 AD，交 CD 于点 G，
同（1）可证得△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF，且 DG＝BE，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE．
第 7 讲 旋转模型
\ 21 /

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