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第 9 讲 圆的切线定理
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
切线的判定与性质 例 1、例 2
切线的判定与性质
切线的判定与性质综合 例 3、例 4
切线长定理 切线长定理应用 例 5
圆中的动态问题 圆中的动态相切 例 6、例 7
弧长与扇形面积 例 8、例 9
弧长与扇形面积
圆锥 例 10、例 11
第 9讲 圆的切线定理
\ 1 /
模块 1 切线的判定与性质
【知识梳理】
一、切线
1．定义：当直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，公共点叫切点．
2．性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
O
l
A
3．判定：
（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【大招环节】
证明圆的切线的两种方法：
方法一：连半径，证垂直
方法二：作垂直，证半径
发现：“垂直”+“半径”缺一不可
【经典例题】
【例 1】
（互 动 1）平面直角坐标系中， M 点坐标为 ( 2,3)，以 2 为半径画 M ，则以下结论正确的是 (
)
A9．0（M） 与 x轴相交，与 y 轴相切 B． M 与 x轴相切，与 y 轴相离
C． M 与 x轴相离，与 y 轴相交 D． M 与 x轴相离，与 y 轴相切
【解答】解： M 点坐标为 ( 2,3)，
点 M 到 x轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，
P的半径为 2，
圆心M 到 x轴的距离大于半径，到 y 轴的距离等于半径，
故 M 与 x轴相离，与 y 轴相切，
第 9讲 圆的切线定理
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故选：D ．
【例2】
1．（互动 2）如图， AB 与 O 相切于点 B ，连结 AO 并延长交 O 于点 C ，连结 BC ．若
C 34 ，则 A的度数是 ( )
A．17 B． 22 C．34 D．56
【解答】解：如图，连接OB ，
AB 与 O 相切于点 B ，
ABO 90 ，
OB OC ，
OBC C 34 ，
AOB OBC C 68 ，
A 180 ABO AOB 180 90 68 22 ，
故选： B ．
2．（互动 3）如图，已知 O 的弦 AB 8，以 AB 为一边作正方形 ABCD，CD边与 O 相切，切
点为
E ，则 O 半径为 ( )
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】MC：切线的性质；M 2 ：垂径定理； LE ：正方形的性质；KQ ：勾股定理
【解答】解：连接EO并延长交 AB 于 F ，
CD边与 O 相切，
第 9讲 圆的切线定理
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OE CD，
四边形 ABCD是正方形，
AB / /CD， AD AB 8，
EF AB ，
1
四边形 AFED 是矩形， AF AB 4，
2
EF AD 8，
连接OA，
OA OE ，
OF 8 OA，
OA2 AF 2 OF 2，
OA2 42 (8 OA)2 ，
解得：OA 5，
O半径为 5，
故选：D ．
【例3】
（互动 4）在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 3 ， B 30 ．点O 为边 AB 上一点（不与 A 重
合） O 是以点O为圆心， AO为半径的圆．当 O 与三角形边的交点个数为 3 时，则OA的范围 (
)
A． 0 OA 2或3 OA 6 B． 0 OA 2或OA 3
C．OA 3 D．OA 3或 2
【解答】解：如右图所示，
故选： B ．
第 9讲 圆的切线定理
\ 4 /
【例4】
如图， AD 是 O 的直径， AB 为 O 的弦，OE AD，OE 与 AB 的延长线交于点 E ，点C 在OE
上，满足 CBE ADB．
（1）求证：BC 是 O 的切线；
（2）若 CBE ADB 30 ，OA 3，求线段CE 的长．
【解答】（1）证明：连接OB ，如图，
AD是 O 的直径，
ABD 90 ，
A ADB 90 ，
OA OB，
A OBA，
CBE ADB ，
OBA CBE 90 ，
OBC 180 90 90 ，
BC OB，
BC 是 O 的切线；
（2） AD是 O 的直径，
ABD 90 ，
A 60 ，
OE AD，
AOE 90 ，
E 30 ，
CBE 30 ，
CBE E 30 ，
CE CB，
BCO 60 ，
OBC 90 ，OB OA 3，
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3
BC OB 3 ，
3
CE 3 ．
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\ 6 /
模块 2 切线长定理
【知识梳理】
一、切线长
1．定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切
线的夹角．
A
O P
B
PA=PB， OPA= OPB
【经典例题】
【例5】
1．（互动 5）如图， PQ、 PB 、QC 是 O 的切线，切点分别为 A 、 B 、C ，点D 在 BC 上，若
D 100 ，则 P与 Q 的度数之和是 ( )
A．160 B．140 C．120 D．100
【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理
【解答】解：连接OA，OB ，OC ， AB ， AC ，
D 100 ，
BAC 180 D 80 ，
BOC 2 BAC 160 ，
AOB AOC 360 160 200 ，
PQ 、 PB 、QC 是 O 的切线，
PBO PAO QAO QCO 90 ，
P Q 2 360 PBO PAO QAO QCO AOB AOC 720 4 90 200 160 ，
第 9讲 圆的切线定理
\ 7 /
故选： A ．
2．（互动 6）如图，直线 PA ， PB ， MN 分别与 O 相切于点 A ， B ，D ， PA PB 8cm，则
PMN的周长为 ( )
A．8cm B．8 3cm C．16cm D．16 3cm
【考点】MC：切线的性质
【解答】解： 直线 PA ， PB ，MN 分别与 O 相切于点 A ， B ， D ，
AM MD， BN DN ，
PA PB 8cm，
PMN 的周长 PM MN PN
PM MD ND PN
PM AM BN PN
PA PB
8cm 8cm
16cm，
故选：C ．
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模块 3 圆中的动态问题
【经典例题】
【例6】
3
如图，直线 y x 2 3与 x 轴、 y 轴分别相交于 A 、 B 两点，圆心 P 的坐标为 ( 2,0) ， P 与
3
y 轴相切于点O．若将 P 沿 x轴向右移动，当 P 与该直线相交时，满足横坐标为整数的点 P
的个数是 ( )
A．3 B．4 C．5 D．7
【考点】MC：切线的性质；Q3：坐标与图形变化 平移；F8：一次函数图象上点的坐标特征
3
【解答】解：当 x 0时， y x 2 3 2 3 ，
3
OB 2 3 ，点 B 的坐标为 (0 ， 2 3)；
3
当 y 0 时， x 2 3 0，
3
解得： x 6，
OA 6，点 A 的坐标为 (6,0) ．
在Rt AOB中，OA 6，OB 2 3 ，
AB OA2 OB2 4 3 ，
1
OB AB ，
2
OAB 30 ．
当 P与直线 AB 相切时，设切点为 E ，如图所示．
在Rt PAE， PE 2， PAE 30 ，
PA 2PE 4，
OP OA PA 2或OP OA PA 10 ．
当 P与该直线相交时，点 P 的横坐标 x的取值范围为2 x 10．
10 2 1 7 ，
第 9讲 圆的切线定理
\ 9 /
当 P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点 P 有 7 个．
故选：D ．
【例7】
（互动 7）如图，点 A 的坐标为 ( 3, 2) ， A的半径为 1， P 为 x 轴上一动点， PQ 切 A于点
Q，则当 PQ最小值时，点 P 的坐标为 ( )
A． ( 4,0) B． ( 2,0)
C． ( 4,0) 或 ( 2,0) D． ( 3,0)
【考点】D5：坐标与图形性质；MC：切线的性质
【解答】解：连接 AQ ， AP ．
根据切线的性质定理，得 AQ PQ；
要使 PQ最小，只需 AP 最小，
根据垂线段最短，可知当 AP x轴时， AP 最短，
P点的坐标是 ( 3,0)．
故选：D ．
第 9讲 圆的切线定理
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模块 4 弧长与扇形面积
【知识梳理】
一、圆中的计算常用公式
（1）扇形中常用公式：
设 O的半径为 R，n°圆心角所对弧长为 l．
R n°
l
n R
①弧长公式： l ；
180
n R2 1
②扇形面积公式： S lR扇形 ；
360 2
（2）圆锥中常用公式：
设圆锥的底面半径为 R，母线长为 l，圆锥的高为 h．
l h
R
①圆锥的侧面积： S Rl ； 侧
②圆锥的全面积： S表 S侧+S Rl R
2 ．
底
（3）圆柱中常用公式：
设圆柱的底面半径为 R，圆柱的高为 h．
h
R
2
圆柱体表面积： S 2 R 2 Rh．
二、常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
①公式法； ②割补法； ③拼凑法； ④等积变换法．
第 9讲 圆的切线定理
\ 11 /
【经典例题】
【例8】
（互动 8）如图， AB 为 O 的直径，点C 为 O 上点， AO 4， BC 4 3 ，则劣弧BC 的长度为
( )
8 4 2
A． B． 2 C． D．
3 3 3
【解答】解：连接OC ，
AB 为 O 的直径，
ACB 90 ，
AO 4，
AB 8，
BC 4 3 ，
BC 4 3 3
sin A ，
AB 8 2
A 60 ，
BOC 2 A 120 ，
120 4 8
劣弧 BC 的长度 ，
180 3
故选： A ．
【例9】
1．如图，正方形 ABCD的边长为 2，O为对角线的交点，点 E 、 F 分别为 BC 、 AD 的中点．以
C 为圆心，2 为半径作圆弧 BD，再分别以 E 、F 为圆心，1 为半径作圆弧BO、OD ，则图中阴影
部分的面积为 ( )
第 9讲 圆的切线定理
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A． 1 B． 2 C． 3 D．4
【考点】 LE ：正方形的性质；MO ：扇形面积的计算
【解答】解：由题意可得，
1 1 1
阴影部分的面积是： 22 12 2(1 1 12 ) 2，
4 2 4
故选： B ．
2．如图，在Rt ABC中， BCA 90 ， BAC 30 ， BC 4，将Rt ABC绕 A 点顺时针旋转90
得到Rt ADE ，则 BC 扫过的阴影面积为 4 ．
【解答】解： BCA 90 ， BAC 30 ，
AB 2BC 8， AC 3BC 4 3 ，
Rt ABC绕 A 点顺时针旋转90 得到Rt ADE ，
CAE BAD 90 ，
BC 扫过的阴影面积 S扇形 SBAD CAE
90 82 90 (4 3)2

360 360
4 ．
故答案为 4 ．
【例10】
（互动 9）1．若一个圆锥的底面半径为 2cm，高为 4 2cm ，则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数
为 ( )
A．80 B．100 C．120 D．150
【解答】解：设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为 n ，
圆锥的母线长为 22 (4 2)2 6 ，
第 9讲 圆的切线定理
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n 6
所以 2 2 ，解得 n 120，
180
即圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为120 ．
故选：C ．
【笔记区】
r
n 360
R
2．90如（）图 物体由两个圆锥组成．其主视图中， A 90 ， ABC 105 ，则上下两圆锥的侧面积之
比为 ( )
A．1: 2 B．1: 3 C． 2 :3 D．1: 2
【考点】MP：圆锥的计算
【解答】解：设 BD 2r ，
AB AD ， A 90 ，
AB 2r ，
ABC 105 ，
CBD 60 ，
BC BD 2r ，
1 1
上下两圆锥的侧面积之比 ( 2 r 2r) : ( 2 r 2r) 1: 2 ．
2 2
故选：D ．
【例11】
已知，如图，圆锥的底面圆的半径为 3cm，母线长为 9cm，C 为母线 PB 的中点，一只蚂蚁欲从点
9
A 处沿圆锥的侧面爬到C 处，则它爬行最短距离为 3cm ． ．
2
第 9讲 圆的切线定理
\ 14 /
【考点】MP：圆锥的计算
n 9
【解答】解：圆锥的底面周长是6 ，则 6
180
n 120 ，
即圆锥侧面展开图的圆心角是 120 度．
APB 60
则在圆锥侧面展开图中 AP 9， PC 4.5， ACP 90 度．
9
在圆锥侧面展开图中 AC AP2 PC2 3cm．
2
9
故答案为 3cm．
2
备选题
【备1】
如图， O 内切于正方形 ABCD，O为圆心，作 MON 90 ，其两边分别交 BC ，CD于点 N ，
M ，若CM CN 4，则 O 的面积为 ( )
A． B． 2 C． 4 D．0.5
【考点】MG ：切线长定理；M 4 ：圆心角、弧、弦的关系； LE ：正方形的性质
【解答】解：设 O 于正方形 ABCD的边CD切于 E ，与 BC 切于F ，
第 9讲 圆的切线定理
\ 15 /
连接OE ，OF ，
则四边形OECF 是正方形，
CF CE OE OF ， OEM OFN EOF 90 ，
MON 90 ，
EOM FON ，
OEM OFN(ASA)，
EM NF ，
CM CN CE CF 4，
OE 2，
O的面积为 4 ，
故选：C ．
第 9讲 圆的切线定理
\ 16 /
挑战极限
已知：点 P 为图形 M 上任意一点，点Q 为图形 N 上任意一点，若点 P 与点Q 之间的距离 PQ 始终
满足 PQ 0，则称图形M 与图形 N 相离．
设直线 y 3x 3、直线 y 3x 3及直线 y 2围成的图形为W ， T 的半径为 1，圆心T 的坐
标为 (t,0) ，直接写出 T 与图形W 相离的 t 的取值范围_________________．
5 3 5 3
A． t B． t
3 3
3 3 5 3 5 3 3 3
C． t D． t 或 t 或 t
3 3 3 3 3 3
答案：D
【解答】解：
①如图 1，图形W 为 ABC ，直线 y 3x 3与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于点D ，
第 9讲 圆的切线定理
\ 17 /
令 x 0， y 3，令 y 0 ， x 3 ，
OA 3，OD 3 ，
OAD 30 ， ADO 60 ，
当 T 位于直线 AC 右侧，且与直线 AC 相切于点H ，连接TH ，
TH DH ，
TDH ADO 60 ，
TH 1，
2
DT 3 ，
3
2 3 5 3
OT OD DT 3 ，
3 3
5
T ( 3 ， 0) ，
3
5 3
当 t 时， T 与图形W 相离，
3
②如图 2，当 T 位于直线 y 3x 3左侧，且与直线 AB 相切于点H ，连接TH ，
直线 AB 与 x 轴交于点 E ，
第 9讲 圆的切线定理
\ 18 /
2 3
同理可得，TE ，OE 3 ，
3
5 3
OT ，
3
5
T ( 3 ， 0) ，
3
5 3
当 t 时， T 与图形W 相离，
3
③如图 3，当 T 位于直线 AC 左侧，且与直线 AC 相切时，
2 3
同理可得TD ，OD 3 ，
3
2 3 3
OT OD TD 3 ，
3 3
3
T ( ， 0) ，
3
第 9讲 圆的切线定理
\ 19 /
当 T 与 AB 相切，且位于直线 AB 的右侧时，
3
T ( ， 0) ，
3
3 3
当 t 时， T 与图形W 相离．
3 3
5 3 5 3 3 3
综合以上可得， T 与图形W 相离时 t 的取值范围是： t 或 t 或 t ．
3 3 3 3
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第 9讲 圆的切线定理
\ 20 /
巩固练习
【练习1】
1．如图， AB 是 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上， PA AO ， PD 与 O 相切于点 D ，
BC AB交 PD的延长线于点C ，若 O 的半径为 1，则BC 的长是 ( )
A．1.5 B．2 C． 2 D． 3
【解答】解：连接OD，
PC 切 O 于D ，
ODP 90 ，
O的半径为 1，PA AO， AB 是 O 的直径，
PO 1 1 2， PB 1 1 1 3，OD 1，
由勾股定理得： PD OP2 OD2 22 12 3 ，
BC AB， AB 过O，
BC 切 O 于 B ，
PC 切 O 于D ，
CD BC ，
设CD CB x，
在Rt PBC中，由勾股定理得：PC2 PB2 BC2 ，
即 ( 3 x)2 32 x2 ，
解得： x 3 ，
即 BC 3 ，
故选：D ．
2．如图， 以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 AB 是小圆的切线， 点 P 为切
点 ． 若大圆半径为 2 ，小圆半径为 1 ，则 AB的长为 ( )
第 9讲 圆的切线定理
\ 21 /
A ． 2 3 B ． 2 2 C ． 5 D ． 2
【解答】解： 如图： 连接OP， AO
AB是 O 切线
OP AB，
1
AP PB AB
2
在Rt APO中， AP AO 2 OP 2 3
AB 2 3
故选： A．
【练习2】
1．如图， O 是四边形 ABCD的内切圆，连接 OA 、 OB 、 OC 、 OD ．若 AOB 108 ，则
COD的度数是 72 ．
【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，
DO DO
在Rt DEO和Rt DFO中 ，
DE DF
Rt DEO Rt DFO(HL) ，
1 2，
同理可得：Rt AFO Rt AMO ，Rt BMO Rt BNO，Rt CEO Rt CNO ，
3 4， 5 7 ， 6 8，
第 9讲 圆的切线定理
\ 22 /
5 6 7 8 108 ，
2 2 2 3 360 2 108 ，
2 3 DOC 72 ．
故答案为：72 ．
2．如图，直线 PA 、 PB 、 MN 分别与 O 相切于点 A 、 B 、 D ，△PMN 的周长是 20，则
PA ．
【解答】10．
【练习3】
1．用一个圆心角为120 ，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 ( )
A． 35 B． 4 2 C．3 3 D．2 5
【解答】解：设此圆锥的底面半径为 r ，由题意，得
120 6
2 r ，
180
解得 r 2cm，
所以圆锥的高为 62 22 4 2cm ，
故选： B ．
2．如图所示，菱形 ABCD边长为 2， ABC 60 ，则阴影部分的面积为 ( )
第 9讲 圆的切线定理
\ 23 /
2 2
A． 2 3 B． 2 3 C． 3 D． 3
3 3 3 3
【解答】解：连接 BD， AC 交于O，
四边形 ABCD是菱形，
AC 2AO， BD 2BO， AC BD，
ABC 60 ，
ABO 30 ，
AB 2，
1 3
AO AB 1， BO AB 3，
2 2
AC 2， BD 2 3 ，
1 60 22 2
阴影部分的面积 S S扇形 2 2 3 2 3 菱形ABCD ABC
2 360 3
故选： A ．
【练习4】
15
将面积为 225cm2 的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底面直径为 cm （结果保留

)．
【解答】解：由面积为 225cm2 的正方形可知正方形的边长 225 15cm ，即是圆柱底面的周长，
15
所以用这硬纸片围成圆柱的侧面的直径 cm，

15
故答案为： ．

【练习5】
如图，在 ABCD中， B 45 ，点C 恰好在以 AB 为直径的 O 上．
（1）求证：CD是 O 的切线；
（2）连接 BD，若 AB 8，求 BD的长．
第 9讲 圆的切线定理
\ 24 /
【解答】（1）证明：连接OC ．
OB OC ， B 45 ，
BCO B 45 ．
BOC 90 ，
四边形 ABCD是平行四边形，
AB / /DC ．
OCD BOC 90 ，
OC CD ，
CD是 O 的切线．
（2）解：连接 AC ， BD交于点 E ．
AB 是直径， AB 8，
ACB 90 ．
BC AC 4 2 ，
四边形 ABCD是平行四边形，
1
CE AC 2 2 ，
2
BE BC 2 CE2 40 2 10 ，
BD 2BE 4 10 ．
声明：试题解析著作权属所有，未 经书面同意，不得复制发布
日期：2020/ 7/ 2 14: 53: 47；用户：北京文渊佳科技有限公司；邮箱： wyj kj 02@ ；学号：28655872
第 9讲 圆的切线定理
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