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第 11 讲 相似三角形综合
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
位似图形 例 1-例 3
位似
位似作图 例 4
“A”字模型 例 5
“A”字、“8”字模型 “8”字模型 例 6
相似三角形的判定与性质 例 7、例 8
相似三角形的应用 相似三角形的应用 例 9、例 10
第 11讲 相似三角形综合
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模块 1 位似
【知识梳理】
一、位似图形
如图，如果一个图形上的点 A，B，…，P，…和另一个图形上的点 A ， B ，…，P ，…分别
对应，并且它们的连线 AA ， BB ，…， PP ，…都经过同一点 O，
OA OB OP
，那么这两个图形叫做位似图形，点 O 是位似中心．
OA OB OP
对于两个多边形，如果它们的对应点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比
例，那么这两个多边形就是位似多边形．
【想一想】位似图形有那些性质？
1．位似图形是特殊的相似图形．
2．两个位似图形上的每一对对应点所在的直线都经过同一个点——位似中心．
3．两个位似图形相似，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
4．位似多边形的对应边平行或共线．
【经典例题】
【例1】
（互动 1）下列图形中不是位似图形的为（ ）
A． B．
C． D．
第 11讲 相似三角形综合
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【解答】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D 三个图形中的两个图形都是位似图形；
B 中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边互相平行，故不是位似图形．
故选：B．
【例2】
（互动 2）如图，△ABC和△A1B1C1为位似图形，点 O 是它们的位似中心，点 A 为线段 OA1的中
点，
若 S△ABC＝2，则 S△A1B1C1＝（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵△ABC 和△A1B1C1为位似图形，点 O是它们的位似中心，点 A 为线段 OA1的中
点，
△ 1 1 2
∴ =（ ）2= = ，
4 △ 1 1 1 2 △ 1 1 1
∴S△A1B1C1＝8．
故选：D．
第 11讲 相似三角形综合
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【例3】
（互动 3）在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以 O为位似中
1
心，相似比为 ，把△ABO 缩小，得到△A1B1O，则点 A 的对应点 A1 的坐标为（ ）
2
A．（2，1） B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
1
【解答】解：点 A为（4，2），以 O 为位似中心，相似比为 ，把△ABO 缩小，得到△A1B1O，
2
1 1 1 1
则点 A 的对应点 A1的坐标为（4× ，2× ）或（﹣4× ，﹣2× ），即（2，1）或（﹣2，﹣2 2 2 2
1），
故选：D．
【例4】
在如图的方格中，△OAB 的顶点坐标分别为 O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），
△O1A1B1与△OAB 是关于点 P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心 P的位置，并写出点的坐标及△O1A1B1与△OAB 的相似比；
（2）以原点 O 为位似中心，在 y 轴的左侧画出△OAB 的一个位似△OA2B2，使它与△OAB 的位
似比为 2：1，并写出点 B 的对应点 B2的坐标；
（3）在（2）条件下，若点 M（a，b）是△OAB 边上一点（不与顶点重合），写出 M 在△OA2B2
中的对应点 M2的坐标．
【解答】解：（1）如图，点 P的坐标为（﹣5，﹣1），
△O1A1B1与△OAB 的相似比为 2：1；
（2）如图，△OA2B2为所求，B2的坐标为（﹣2，﹣6）；
（3）M2的坐标为（2a，2b）．
第 11讲 相似三角形综合
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第 11讲 相似三角形综合
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模块 2 “A”字、“8”字模型
【知识梳理】
一、相似三角形的判定定理
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理 1：三边成比例的两个三角形相似.
判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
判定定理 3：两角分别相等的两个三角形相似.
二、“A”字、“8”字模型
名称 图示 结论
A
D E △ADE∽△ABC
B C
“A”字模型
A
D
△AED∽△ABC
E
B C
A B
△ABO∽△DCO
O
C D
“8”字模型 A
B
△ABO∽△CDO
O
D
C
第 11讲 相似三角形综合
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【经典例题】
【例5】
1．（互动 4）如图，在△ABC 中，已知点 D 在 BC边上，连接 AD，点 F在线段 AD 上，EF∥
BD，且交 AB于点 E，FH∥AC，且交 CD 于点 H，则下列结论一定正确的是（ ）

A． = B． = C． = D． =

【解答】解：∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，

∴ = ，故 A错误；


= ，


= ．

∵FH∥AC，
∴△DHF∽△DCA，

∴ = ，故 B错误；


= ，


= ，


∴ ≠ ，故 C 错误；


= ，故 D 正确．

故选：D．
2．（互动 5）如图，△ABC 中，点 D，E分别是边 AB，AC 上的点，DE∥BC，点 H 是边 BC 上的
点，连接 AH 交线段 DE 于点 G，且 BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，则 S 四边形 BCED＝
（ ）
第 11讲 相似三角形综合
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A．24 B．22.5 C．20 D．25
【解答】解：如图所示：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，

又∵BH＝DE＝12，DG＝8，
12×12
∴ = = = 18，
8
又∵DE＝DG+GE，
∴GE＝12﹣8＝4，
又∵△ADG 与△AGE 的高相等，
△
∴ = ，
△
又∵S△ADG＝12，
4
∴ △ = = × 12 = 6， △ 8
又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE，
∴S△ADE＝12+6＝18，
△
又∵ = ( )2，
△
18 81
∴ △ = 18 × ( )
2 = ，
12 2
又∵S 四边形 BCED＝S△ABC﹣S△ADE，
81
∴ 四边形 = 18 = 22.5， 2
故选：B．
第 11讲 相似三角形综合
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【例6】
1．（互动 6）已知平行四边形 ABCD，点 E 是 DA 延长线上一点，则（ ）

A． = B． = C． = D． =

【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△AEM∽△DEC，

∴ = ，故 A错误；

∵AM∥CD，

∴ = ，故 B正确；

∵BM∥CD，
∴△BMF∽△DCF，

∴ = ，故 C 错误，

∵ED∥BC，
∴△EFD∽△CFB，

∴ = ，

∵AB∥CD，
∴△BFM∽△DFC，

∴ = ，


∴ = ，故 D错误．

故选：B．
2．（互动 7）如图，在矩形 ABCD中，点H 为边BC 的中点，点G 为线段DH 上一点，且
BGC 90 ，延长 BG 交 CD 于点 E，延长 CG 交 AD 于点 F，当 CD＝4，DE＝1 时，则 DF的
长为（ ）
第 11讲 相似三角形综合
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3 9
A．2 B． C．√5 D．
2 5
【解答】解：如图，延长 AD，BE 相交于点 M，
∵DF∥CH，
∴△DFG∽△HCG，

∴ = ，

∵DM∥BH，
∴△DMG∽△HBG，

∴ = ，

∵CH＝BH，
∴DF＝DM，
又∵△MDE∽△CDF，

∴ = ，


∴ = ，

∴DF2＝DE CD＝1×4＝4，
∴ = √4 = 2．
故选：A．
【例7】
如图，已知△ABC 中，AB＝AC= 2√5，BC＝4．线段 AB 的垂直平分线 DF分别交边 AB、AC、BC
所在的直线于点 D、E、F．
（1）求线段 BF的长；
（2）求 AE：EC 的值．
第 11讲 相似三角形综合
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【解答】解：（1）作 AH⊥BC 于 H，如图，
∵AB＝AC= 2√5，
1
∴BH＝CH= BC＝2，
2
在 Rt△ABH中，AH= √(2√5)2 22 =4，
∵DF垂直平分 AB，
∴BD= √5，∠BDF＝90°
∵∠ABH＝∠FBD，
∴Rt△FBD∽Rt△ABH，
√5
∴ = = ，即 = = ，
2√5 2 4
∴BF＝5，DF＝2√5；
（2）作 CG∥AB交 DF于 G，如图，
∵BF＝5，BC＝4，
∴CF＝1，
∵CG∥BD，
1
∴ = = ，
5
∵CG∥AD，

∴ = = =5．

【例8】
如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，M 为 AD 的中点，连接 BM，交 AC 于 E，在 CB上取一点
F，使得 CF＝AE，连接 AF，交 BM 于 G，连接 CG．
（1）求∠BGF的度数；
第 11讲 相似三角形综合
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（2）求 的值；

（3）求证：BG⊥CG．
【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC 都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠ACF＝60°，
∵AE＝CF，
∴△BAE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠CAF，
∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝∠CAF+∠BAG＝∠BAC＝60°．
（2）∵∠BAG+∠ABG＝∠ABG+∠CBM＝60°，
∴∠BAG＝∠CBM，
∵AD∥CB，
∴∠AMB＝∠CBM，
∴∠BAG＝∠BMA，
∵∠ABG＝∠ABM，
∴△BAG∽△BMA，

∴ = ，


∴ = ，

1 1
∵AM＝MD= AD= AB，
2 2
1
∴ = ．
2
（3）设 AM＝DM＝x，连接 CM，
∵△ACD 是等边三角形，
∴CM⊥AD，
∴CM= √3AM= √3x，
第 11讲 相似三角形综合
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∵AD∥CB，
∴CM⊥BC，
∴∠BCM＝90°，
∵AD＝BC＝2x，
∴BM= √ 2 + 2 = √7x，
∵△BAG∽△BMA，

∴ = ，

2 √7
∴ = ，
2
4√7
∴BG= x，
7
2√7
∴ = = ，
7
∵∠CBG＝∠CBM，
∴△CBG∽△MBC，
∴∠BGC＝∠BCM＝90°，
∴BG⊥CG．
第 11讲 相似三角形综合
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模块 3 相似三角形的应用
【知识梳理】
一、相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等．
2．相似三角形对应线段的比等于相似比．
3．相似三角形的面积比等于相似比的平方．
二、相似三角形的实际应用
利用三角形的相似，可以解决一些测量问题；如：测量河宽、塔高等．
【经典例题】
【例9】
1．（互动 8）如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆 25m的地方，手臂向前
伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上 14cm 的长度恰好遮住电线杆．已知臂长为 70cm，则电线
杆的高是（ ）
A．5m B．6m C．125m D．4m
【解答】解：作 AN⊥EF于 N，交 BC 于 M，
∵BC∥EF，
∴AM⊥BC 于 M，
∴△ABC∽△AEF，

∴ = ，

∵AM＝0.7m，AN＝25m，BC＝0.14m，
× 0.14×25
∴EF= = =5（m）．
0.7
故选：A．
第 11讲 相似三角形综合
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2．如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 AB⊥
BC，CD⊥BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上．若测得 BE＝10m，EC＝5m，
CD＝8m，则河的宽度 AB长为 16 m．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，

∴ = ，

10
即 = ，
8 5
解得 AB＝16m．
故答案为：16．
【例10】
“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树 AB 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大
树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者
站在点 F处，将镜子放在点 M 处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走 2.8米，到达点
D 处，将镜子放在点 N 处时，刚好看到大树的顶端（点 F，M，D，N，B 在同一条直线
上）．若测得 FM＝1.5米，DN＝1.1 米，测量者眼睛到地面的距离为 1.6米，求大树 AB 的高
度．
【解答】解：设 NB 的长为 x 米，则 MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
第 11讲 相似三角形综合
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∴ = ．

同理，△EMF∽△AMB，

∴ = ．

∵EF＝CD，
1.1 1.5
∴ = ，即 = ．
+2.4
解得 x＝6.6，

∵ = ，

1.6 1.1
∴ = ．
6.6
解得 AB＝9.6．
答：大树 AB 的高度为 9.6 米．
第 11讲 相似三角形综合
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备选题
【备1】
如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求 CE的长．
（2）在△ABC 中，点 D，E，Q分别是 AB，AC，BC上，且 DE∥BC，AQ 交 DE于点 P．小明

认为 = ，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．

【解答】解：（1）由 DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，

∴ = ，
+ +
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，
∴CE＝6．
（2）结论正确，理由如下，
在△ABQ 中，由于 DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，

∴ = ，


同理可得： = ，


∴ =

第 11讲 相似三角形综合
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挑战极限

如图，过△ABC 内一点 M做各边的平行线与各边分别交于 D，E，F，G，L，N 各点．则： +


+ =————————．

A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
【解答】证明：根据题意，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC

∴ = ；

∵△BFG∽△BAC

∴ = ；（3 分）

∵AFML 是平行四边形，
∴LM＝AF；同理，MN＝BD；
+ + + + 2
则 = ，∴ + + = = =2．

第 11讲 相似三角形综合
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巩固练习
【练习1】
1．1．如图，△ABO 中， ABO 90 ，过 AO 边的三等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点
P、Q．若四边形 MNQP的面积为 3，则△ABO 的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【解答】解：
∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N 是 OA的三等分点，
1 1
∴ = ， = ，
2 3
△ 1
∴ = ，
△ 4
∵四边形 MNQP的面积为 3，
△ 1
∴ = ，
3+ △ 4
∴S△ANQ＝1，
1 1
∵ =（ ）2= ，
9△
∴S△AOB＝9，
故选：A．
2．如图，D、E分别是△ABC 边 AB，AC上的点，∠AED＝∠B，若 AD＝1，BD＝AC＝3，则 AE
的长是（ ）
第 11讲 相似三角形综合
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3 4
A．1 B． C． D．2
2 3
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，

∴ = ，

∵AD＝1，BD＝AC＝3，
∴AB＝1+3＝4，
1
∴ = ，
4 3
4
∴AE= ，
3
故选：C．
【练习2】
如图，在平行四边形 ABCD中，E是 BA延长线上一点，CE 分别与 AD，BD 交于点 G，F．下列结

论：① = ② = ；③ = ；④CF2＝GF EF，其中正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵AE∥CD，
∴△AEG∽△DCG，

∴ = ，结论①正确；

②∵BE∥CD，
∴△BEF∽△DCF，

∴ = ，结论②正确；

③∵BC∥DG，
∴△BCF∽△DGF，

∴ = ，结论③正确；


④∵ = ， = ，


∴ = ，

第 11讲 相似三角形综合
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∴CF2＝GF EF，结论④正确．
∴正确的结论有 4 个．
故选：D．
【练习3】
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 和△A'B'C位似，位似中心为原点 O，点 A（﹣1，2）、
点 A'（2，﹣4），若△ABC的面积为 4，则△A'B'C′的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵△ABC 和△A'B'C 位似，位似中心为原点 O，点 A（﹣1，2）、点 A'（2，﹣
4），
∴△ABC 和△A'B'C的相似比为：1：2，
∵△ABC 的面积为 4，
∴△A'B'C的面积是：16．
故选：D．
第 11讲 相似三角形综合
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【练习4】
如图，已知在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（5，2）．
（1）画图：以 A 点为位似中心向右侧放大两倍；
（2）△ABC内有一点 p（a，b）求放大后对应点的坐标 （2a﹣2，2b﹣1） ．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）把 A点向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位与原点重合，
点 P（a，b）向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位的对应点 P1的坐标为（a﹣2，b﹣1），
点 P1（a﹣2，b﹣1）以原点为位似中心向右侧放大两倍的对应点 P2的坐标为（2a﹣4，2b﹣
2），
把点 P2（2a﹣4，2b﹣2）向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位的对应点 P′的坐标为（2a﹣2，
2b﹣1）．
故答案为（2a﹣2，2b﹣1）．
第 11讲 相似三角形综合
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【练习5】
已知：如图，△ABC是等边三角形，点 D、E 分别在 BC，AC 且 BD＝CE，AD、BE 相交于点 M，
求证：
（1）△AME∽△BAE；
（2）BD2＝AD×DM．
【解答】证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°．
=
在△ABD 和△BCE 中，{∠ = ∠ ，
=
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠BAD，
∴∠EAM＝∠EBA．
又∵∠AEM＝∠BEA，
∴△AME∽△BAE．
（2）∵△AME∽△BAE，
∴∠AME＝∠BAE＝60°，
∴∠BMD＝60°．
又∵∠ABD＝60°，∠BDM＝∠ADB，
∴△ABD∽△BMD，
∴BD2＝AD×DM．
第 11讲 相似三角形综合
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