资源简介

第12讲相似模型
【知识结构】
知识模块
具体考法
对应例题
射影定理
例1
射影定理
斜射影
例2
射影定理的综合
例3
三垂直
例4
一线三等角模型
一线三等角
例5
角平分线
例6
其它模型
直角三角形内接矩形
例7
旋转相似
例8、例9
第12讲相似模型
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模块1射影定理
【知识梳理】
一、射影定理
如图1：AB2=BD·BC,AC2=CD.CB,AD2=BD.CD
如图2：射影定理的推广得：AB2=BD.BC:实际是反A字模型，
A
C
D
C
D
图1
图2
【经典例题】
【例1】
1.如图，Rt△ABC中，AD⊥BC于D,AC=3,AB=4,则CD=
BD=
AD=
.CO-
【解答】解：AD=5,BD-16
5
2.（互动1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为点D,如果CA=3
CACDB
AD=9,那么BC的长是()
D
B
A.4
B.6
C.213
D.310
【解答】解：，∠ACB=90°，
,∴.∠ACD+∠BCD=90°，
,'CD⊥AB
第12讲相似模型
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∴.∠A+∠ACD=90°，
∴.∠A=∠BCD,又∠ADC=∠CDB,
∴.△ADC∽△CDB,
..AD_CDC40cAD
·CDBD'CcDB
CD
CD2即93
..AD3
CD2'
解得，CD=6,
9=6
6 BD
解得，BD=4,
∴.BC=VCD2+BD2=V62+42=213,
故选：C.
【例2】
(互动2)如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB=120°，
则下列结论中错误的是()
D
B
A.AC2=AD·AB
B.BC2=BE·AB
C.DE2=AD.BE
D.AC.BC AE.BD
【解答】解：如图所示：
D
B
,△CDE是等边三角形，
∴.∠CDE=60°，
又，∠ADC+∠CDE=180°，
.∠ADC=120°，
又，∠ACB=120°，
∴.∠ADC=∠ACB,
在△ADC和△ACB中，
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∠A=∠A
∠ADC=∠ACB'
∴.△ADC∽△ACB(AA),
AB=AC
..AC2=ABAD,
即答案A正确：
同理可证：△CEB∽△ACB(AA),
BC BE
AB-BC
∴.BC2=ABBE,
即答案B正确：
,∠ACD=∠B,∠ADC=∠CEB=120°，
∴.△ACD∽△CEB(AA),
:C0、AD
·BE=CE
∴.CDCE=ADBE,
又.CD=DE=EC,
∴.DE2=ADBE,
即答案C正确；
,△ACE与△BDC不相似，
,'.AC·BC=AE·BD不成立，
即答案D错误.
故选：D
【例3】
如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF
⊥BE,垂足为F,连接OF,
(1)求证：△BOF∽△BED:
(2)若BE=2√10，求OF的长.
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