资源简介

第 14讲 圆综合
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
圆与相似模型 例 1、例 2
圆与相似的综合
圆与相似三角形的综合 例 3~例 5
圆与解直角三角形 例 6
圆与锐角三角函数的综合 圆与动态问题 例 7
圆与锐角三角函数综合 例 8、例 9
第 14讲 圆综合
\ 1 /
模块 1 圆与相似的综合
【知识梳理】
一、圆的切线
1．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
2．切线的证明：
①定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②距离法：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线．
二、相似三角形的常见模型
模型 如图 描述
A
BC∥DF ，
A字
B C 则：△ABC∽△ADF
D F
A字模型
A
D
△ADE∽△ACB
E
B C
反 A字
A
△ADC∽△ACB ，
则： AC2 AD AB
D
B C
A B
AB∥CD，
8 字 O
则：△ABO∽△DCO
C D
8字模型
∠A ∠B 或∠C ∠D，
反 8 字
则：△ADO∽△BCO
第 14讲 圆综合
\ 2 /
三垂直 △ABD∽△BCE
AC2 CD CB
2
射影定理 AD CD BD
AB2 BD BC
【经典例题】
【例1】
如图， AB 是 O 的直径， BC 是 O 的弦，直线MN 与 O 相切于点C ，过点 B 作 BD MN 于点
D ．若 BC 4 5 ，CD 4，则 O 的半径是___________．
【分析】连接OC ，由切线的性质可得OC MN ，即可证得OC / /BD ，由平行线的性质和等腰三
角形的性质可得 CBD BCO ABC ，即可证得结论；
连接 AC ，由勾股定理求得 BD，然后通过证得 ABC∽ CBD，求得直径 AB ，从而求得半径．
【解答】证明：连接OC ，
MN 为 O 的切线，
OC MN ，
BD MN ，
OC / /BD，
CBD BCO．
又 OC OB ，
BCO ABC，
CBD ABC．
连接 AC ，
在Rt BCD中， BC 4 5 ，CD 4，
第 14讲 圆综合
\ 3 /
BD BC 2 CD2 8，
AB 是 O 的直径，
ACB 90 ，
ACB CDB 90 ，
又 ABC CBD，
ABC∽ CBD，
AB CB AB 4 5
，即 ，
BC BD 4 5 8
AB 10，
O的半径是 5，
故答案为 5．
【例2】
互动 1 如图， AB 是 O 的直径，直线DE 与 O 相切于点C ，过 A ， B 分别作 AD DE ，
BE DE ，垂足为点D ， E ，连接 AC ，BC ，若 AD 3 ，CE 3，则 AC 的长为 ( )
2 3 3 3 2 3
A． B． C． D．
3 3 2 3
【分析】根据圆周角定理求得 ACB 90 ，进而证得 ADC∽ CEB，求得 ABC 30 ，根据切
线的性质求得 ACD 30 ，解直角三角形求得半径，根据圆周角定理求得 AOC 60 ，根据弧长
公式求得即可．
【解答】解：连接OC ，
AB 是 O 的直径，
ACB 90 ，
ACD BCE 90 ，
第 14讲 圆综合
\ 4 /
AD DE ， BE DE ，
DAC ACD 90 ，
DAC ECB，
ADC CEB 90 ，
ADC∽ CEB，
AC AD AC 3
，即 ，
BC CE BC 3
AC 3
tan ABC ，
BC 3
ABC 30 ，
AB 2AC ， AOC 60 ，
直线DE 与 O 相切于点C ，
ACD ABC 30 ，
AC 2AD 2 3 ，
AB 4 3 ，
O的半径为 2 3 ，
60 2 3 2 3
AC 的长为： ，
180 3
故选： D ．
【例3】
如图， O 的半径OA 6，过点 A 作 O 的切线 AP ，且 AP 8，连接PO并延长，与 O 交于点
B 、 D ，过点 B 作 BC∥OA，并与 O 交于点C ，连接 AC 、CD．
（1）求证：DC∥AP ；
互动 2（2）求 AC 的长．
24 5 24 3 24 5 24 3
A． B． C． D．
5 3 3 3
【分析】（1）根据切线的性质得到 OAP 90 ，根据圆周角定理得到 BCD 90 ，根据平行线
的性质和判定定理即可得到结论；
第 14讲 圆综合
\ 5 /
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明： AP 是 O 的切线，
OAP 90 ，
BD 是 O 的直径，
BCD 90 ，
OA / /CB，
AOP DBC ，
BDC APO，
DC / /AP；
（2）解： AO / /BC ，OD OB，
延长 AO交 DC于点 E ，
1 1
则 AE DC，OE BC ，CE CD ，
2 2
在Rt AOP中，OP 62 82 10 ，
由（1）知， AOP∽ CBD，
DB BC DC
，
OP OA AP
12 BC DC
即 ，
10 6 8
36 48
BC ， DC ，
5 5
18 24
OE ，CE ，
5 5
2 2 18在 中， AC AE CE (6 )2
24 24 5
Rt AEC ( )
2 ．A．
5 5 5
【例4】
如图，△ABC 中， AB AC，以 AC 为直径的 O 交 BC 于点 D ，点 E 为 AC 延长线上一点，且
1
∠CDE ∠BAC ．
2
（1）求证：DE 是 O 的切线；
第 14讲 圆综合
\ 6 /
（2）若 AB 3BD ，CE 2，求 O 的半径．
【分析】（1）根据圆周角定理得出 ADC 90 ，按照等腰三角形的性质和已知的 2 倍角关系，证
明 ODE 为直角即可；
（2）通过证得 CDE∽ DAE ，根据相似三角形的性质即可求得．
【解答】解：（1）如图，连接OD， AD，
AC 是直径，
ADC 90 ，
AD BC ，
AB AC ，
1
CAD BAD BAC ，
2
1
CDE BAC ．
2
CDE CAD ，
OA OD，
CAD ADO ，
ADO ODC 90 ，
ODC CDE 90
ODE 90
又 OD是 O的半径
DE 是 O的切线；
（2）解： AB AC ， AD BC，
BD CD，
AB 3BD，
AC 3DC，
设 DC x ，则 AC 3x，
AD AC 2 DC 2 2 2x ，
CDE CAD， DEC AED，
第 14讲 圆综合
\ 7 /
CDE∽ DAE ，
CE DC DE 2 x DE
，即
DE AD AE DE 2 2x 3x 2
14
DE 4 2 ， x ，
3
AC 3x 14，
O的半径为 7．
【例5】
如图， △ABC 内接于 O ， CBG A ， CD 为直径， OC 与 AB 相交于点 E ，过点 E 作
EF BC ，垂足为 F ，延长CD交GB 的延长线于点 P ，连接 BD．
（1）求证： PG 与 O 相切；
EF 5 BE
（2）若 ，求 的值；
AC 8 OC
互动 3（3）在（2）的条件下，若 O 的半径为 8， PD OD，求OE 的长．
A． 2 15 2 B． 2 13 2 C． 2 15 4 D．2 13 4
【解答】解：（1）如图，连接OB ，则OB OD，
第 14讲 圆综合
\ 8 /
BDC DBO，
BAC BDC 、 BDC GBC，
GBC BDC ，
CD是 O 的直径，
DBO OBC 90 ，
GBC OBC 90 ，
GBO 90 ，
PG与 O 相切；
（2）过点O作OM AC 于点M ，连接OA，
1
则 AOM COM AOC ，
2
AC AC ，
1
ABC AOC ，
2
又 EFB OMA 90 ，
BEF∽ OAM ，
EF BE
，
AM OA
1
AM AC ，OA OC ，
2
EF BE
，
1 OC
AC
2
EF 5
又 ，
AC 8
BE EF 5 5
2 2 ；
OC AC 8 4
（3） PD OD， PBO 90 ，
BD OD 8，
在Rt DBC中， BC DC 2 BD2 8 3 ，
又 OD OB，
DOB是等边三角形，
DOB 60 ，
DOB OBC OCB，OB OC，
OCB 30 ，
第 14讲 圆综合
\ 9 /
EF 1 FC
， 3 ，
CE 2 EF
可设EF x，则 EC 2x 、 FC 3x，
BF 8 3 3x，
BE 5
，且OC 8，
OC 4
BE 10，
在 中，BE2 EF 2 BF 2Rt BEF ，
100 x2 (8 3 3x)2 ，
解得： x 6 13 ，
6 13 8，舍去，
x 6 13 ，
EC 12 2 13 ，
OE 8 (12 2 13) 2 13 4．
D． 2 13 4
第 14讲 圆综合
\ 10 /
模块 2 圆与锐角三角函数的综合
【知识梳理】
一、锐角三角函数
在Rt△ABC 中， C 90 ， A、 B、 C所对三角形的边分别为 a 、b 、 c ．
a
1．正弦：把∠A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A ；
c
b
2．余弦：把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A ；
c
a
3．正切：把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 tan A ．
b
B
c
a
A C
b
二、直角三角形的边角关系
1．三边之间的关系： a2 b2 c2．（勾股定理）
2．锐角之间的关系： A B 90
a b a
3．边角之间的关系： sin A ，cos A ，tan A ．
c c b
B
c
a
A C
b
【经典例题】
【例6】
3
互动 41．如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的 A，已知：BC 10， cos BCD ，
5
BCE 30 ，则线段DE 的长是 ( )
A． 89 B． 7 3 C． 4 3 3 D．3 4 3
第 14讲 圆综合
\ 11 /
【分析】在Rt CDB和Rt CBE 中，通过解直角三角形易求得BD、 BE 的长．
过 B 作 BF DE 于 F ，由圆周角定理知 BCE BDE ， BED BCD．
根据这些角的三角函数值以及 BD、 BE 的长，即可求得DF 、EF 的值，从而得到DE 的长．
【解答】解：过 B 作 BF DE 于 F ．
3
在Rt CBD中，BC 10， cos BCD ，
5
BD 8．
在Rt BCE 中，BC 10， BCE 30 ，
BE 5．
在Rt BDF中， BDF BCE 30 ， BD 8，
DF BD cos30 4 3 ．
3
在Rt BEF中， BEF BCD，即 cos BEF cos BCD ，BE 5，
5
EF BE cos BEF 3．
DE DF EF 3 4 3，
故选：D ．
互动 52．如图，四边形 ABCD内接于半圆O， AB 为直径， AB 4 ， AD DC 1，则BC 的长为
( )
7 7
A． B． 15 C． 2 3 D．
2 4
【分析】根据勾股定理即可求得 BD的长，求得 cos CAD的值，进而求 AC 的值，根据勾股定理即
可求得BC 的值，即可解题．
【解答】解：如图，连 AC 、 BD，过 D 作DE AC于 E ．
ADB ACB 90 ， ABD CAD．
BD 42 12 15 ．
第 14讲 圆综合
\ 12 /
15
cos CAD cos ABD ．
4
15
AE AD cos CAD ，
4
15
AC 2AE ，
2
2 15 7 BC 4 ( )2 ．
2 2
故选： A ．
【例7】
互动 6 如图，在平面直角坐标系中， O 的半径为 1，且与 y 轴交于点 B ，过点 B 作直线BC 平行
于 x 轴，点M (a,1)在直线 BC 上，若在 O 上存在点 N ，使得 OMN 45 ，则 a 的取值范围是
( )
1 1 2 2
A． 1 a 1 B． a C． 2 a 2 D． a
2 2 2 2
【解答】解： 点M (a,1)在直线BC 上，
OB 1，
BC / /x轴，
BC y轴，
OBM 90 ，
当 BM OB 1时， OBM 是等腰直角三角形，
则 OMN 45 ，
此时 a 1；
当 BM OB 时， OMN 45 ，
第 14讲 圆综合
\ 13 /
a 的取值范围是 1 a 1；
故选： A ．
【例8】
如图， AB 是 O 的直径，C 为 O 上一点，连接 AC ，CE AB于点 E ， D 是直径 AB 延长线上
一点，且 BCE BCD．
（1）求证：CD是 O 的切线；
1
（2）若 AD 8， tan BCE ，求CD的长．
2
【解答】（1）证明：连接OC ，
AB 是 O 的直径，
ACB 90 ，
CE AB ，
CEB 90 ，
ECB ABC ABC CAB 90 ，
A ECB，
BCE BCD，
A BCD，
OC OA，
A ACO，
ACO BCD，
ACO BCO BCO BCD 90 ，
DCO 90 ，
CD是 O 的切线；
（2）解： A BCE ，
BC BE 1
tan A tan BCE ，
AC CE 2
设 BC k， AC 2k ，
D D， A BCD ，
第 14讲 圆综合
\ 14 /
ACD∽ CBD，
BC CD 1
，
AC AD 2
AD 8，
CD 4．
【例9】
已知：如图， AB 是 O 的直径，C 是 O 上一点，OD BC于点 D ，过点C 作 O 的切线，交
OD的延长线于点 E ，连接 BE ．
（1）求证： BE 与 O 相切；
2
（2）连接 AD 并延长交 BE 于点 F ，若OB 9， sin ABC ，求BF 的长．
3
【解答】证明：（1）连接OC ，
OD BC，
COE BOE，
在 OCE 和 OBE中，
OC OB

COE BOE ，

OE OE
OCE OBE，
第 14讲 圆综合
\ 15 /
OBE OCE 90 ，即OB BE，
OB是 O 半径，
BE 与 O 相切．
（2）过点D 作 DH AB，连接 AD 并延长交BE 于点F ，
DOH BOD， DHO BDO 90 ，
ODH∽ OBD，
OD OH DH

OB OD BD
2
又 sin ABC ，OB 9，
3
OD 6，
易得 ABC ODH ，
2 OH 2
sin ODH ，即 ，
3 OD 3
OH 4，
DH OD2 OH 2 2 5 ，
又 ADH∽ AFB，
AH DH 13 2 5
， ，
AB FB 18 FB
36 5
FB ．
13
第 14讲 圆综合
\ 16 /
备选题
【备1】
如图，在△ABC ， AB AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 AC 、 BC 于点 D 、 E ，点 F 在 AC 的延
1
长线上，且 CBF CAB．
2
（1）求证：直线 BF 是 O 的切线；
5
（2）若 AB 5， sin CBF ，求BC 和 BF 的长．
5
【解答】（1）证明：连接 AE ，
AB 是 O 的直径，
AEB 90 ，
1 2 90 ．
AB AC ，
1
1 CAB．
2
1
CBF CAB ，
2
1 CBF
CBF 2 90
即 ABF 90
AB 是 O 的直径，
直线 BF 是 O 的切线．
（2）解：过点C 作CG AB于G ．
5
sin CBF ， 1 CBF ，
5
5
sin 1 ，
5
在Rt AEB中， AEB 90 ， AB 5，
BE AB sin 1 5 ，
第 14讲 圆综合
\ 17 /
AB AC ， AEB 90 ，
BC 2BE 2 5 ，
在 2 2Rt ABE中，由勾股定理得 AE AB BE 2 5 ，
AE 2 5 CG BE 5 BG
sin 2 ， cos 2 ，
AB 5 BC AB 5 BC
在Rt CBG中，可求得GC 4，GB 2，
AG 3，
GC / /BF ，
AGC∽ ABF ，
GC AG

BF AB
GC AB 20
BF
AG 3
第 14讲 圆综合
\ 18 /
挑战极限
如图， O 与△ABC 的 AC 边相切于点C ，与 AB 、 BC 边分别交于点D 、 E ， DE∥OA，CE 是
O 的直径．若 BD 4，CE 6，则 AC 的长为（ ）
A．6 B． 6 6 C． 6 3 D．7 3
【解答】解：连接OD，
OD OE，
OED ODE ，
DE / /OA，
ODE AOD， DEO AOC ，
AOD AOC，
AC是切线，
ACB 90 ，
在 AOD和 AOC中
OD OC

AOD AOC

OA OA
AOD AOC(SAS) ，
ADO ACB 90 ，
OD是半径，
AB是 O的切线；
连接OD，CD，
BD 是 O切线，
ODB 90 ， BDE ODE 90 ，
CE 是 O的直径，
CDE 90 ， ODC ODE 90 ，
第 14讲 圆综合
\ 19 /
BDE ODC，
OC OD，
OCD ODC ， BDE OCD，
B B ，
BDE∽ BCD，
BD BE

BC BD
BD2 BE BC ，
设 BE x ，
BD 4 ， EC 6，
42 x(x 6) ，
解得 x 2或 x 8（舍去），
BE 2， BC BE EC 8，
AD、 AC 是 O的切线，
AD AC ，
设 AD AC y ，
在Rt ABC中， AB2 AC2 BC2 ，
(4 y)2 y2 82 ，解得 y 6 ，
AC 6，故 AC 的长为 6．故选 A．
第 14讲 圆综合
\ 20 /
巩固练习
【练习1】
如图，已知 AB是⊙O的直径，点 P在 B的延长线上，PD与⊙O相切于点 D，过点 B作 PD的垂
线交 PD的延长线于点 C．若⊙O的半径为 6．BC 9，则 PA的长为（ ）
A．8 B． 4 3 C．6 D．5
【解答】解：连接 DO，
∵PD与⊙O相切于点 D，
∴ PDO 90 ，
∵BC⊥PC，
∴ C 90 ，
∴ PDO C，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
DO PO 6 2
∴ ，
BC PB 9 3
x 6 2
设 PA x ，则 ，
x 12 3
解得： x 6，
故 PA 6．
故选：C．
【练习2】
如图，O为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以OC 为半径的 O 与斜边 AB 相切于点 D ，交OA于点
E ，已知 BC 3， AC 3．则图中阴影部分的面积是_________．
第 14讲 圆综合
\ 21 /
【解答】解：在Rt△ABC 中， BC 3 ， AC 3．
AB AC2 BC2 2 3 ，
BC OC，
BC 是圆的切线，
O与斜边 AB 相切于点 D ，
BD BC ，
AD AB BD 2 3 3 3 ；
BC 3 1
在Rt△ABC 中， sin A ，
AB 2 3 2
A 30 ，
O与斜边 AB 相切于点 D ，
OD AB，
AOD 90 A 60 ，
OD
tan A tan30 ，
AD
OD 3
，
3 3
OD 1，
60 12
S阴影 ．
360 6

故答案是： ．
6
第 14讲 圆综合
\ 22 /
【练习3】
如图， Rt△ABC 中， C 90 ， AC 12 ，点 D 在边 BC 上，CD 5， BD 13．点 P 是线段 AD
上一动点，当半径为 6的 P与△ABC 的一边相切时， AP 的长为 ．
【分析】根据勾股定理得到 AB 122 182 6 13 ， AD AC2 CD2 13 ，当 P 于 BC 相切时，
点 P 到 BC 的距离 6，过 P 作 PH BC 于 H ，则 PH 6，当 P于 AB 相切时，点 P 到 AB 的距
离 6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解： 在Rt ABC中， C 90 ， AC 12 ， BD CD 18，
AB 122 182 6 13 ，
在Rt ADC中， C 90 ， AC 12 ，CD 5，
AD AC 2 CD2 13，
当 P于BC 相切时，点 P 到 BC 的距离 6，
过 P 作PH BC 于 H ，
则 PH 6，
C 90 ，
AC BC，
PH / /AC ，
DPH∽ DAC，
PD PH
，
DA AC
PD 6
，
13 12
PD 6.5，
AP 6.5；
当 P于 AB 相切时，点 P 到 AB的距离 6，
过 P 作 PG AB于G ，
则 PG 6，
AD BD 13，
PAG B，
AGP C 90 ，
第 14讲 圆综合
\ 23 /
AGP∽ BCA，
AP PG
，
AB AC
AP 6
，
6 13 12
AP 3 13，
CD 5 6，
半径为 6 的 P不与 ABC 的 AC边相切，
综上所述， AP 的长为 6.5或 3 13，
故答案为：6.5或 3 13．
【练习4】
如图， AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上一点， CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D ，过点 D 作
DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E ．
（1）求证：DE 是 O 的切线；
（2）过点 D 作 DF AB 于点 F ，连接BD．若OF 1， BF 2 ，求BD的长度．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
OA OD，
第 14讲 圆综合
\ 24 /
OAD ADO，
AD平分 CAB，
DAE OAD，
ADO DAE，
OD / /AE ，
DE / /BC ，
E 90 ，
ODE 180 E 90 ，
DE 是 O 的切线；
（2） AB 是 O 的直径，
ADB 90 ，
OF 1， BF 2 ，
OB 3，
AF 4 ， BA 6．
DF AB，
DFB 90 ，
ADB DFB ，
又 DBF ABD ，
DBF∽ ABD ，
BD BF
，
BA BD
BD2 BF BA 2 6 12．
BD 2 3 ．
【练习5】
如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点 E，点 F是 AB
延长线上一点，CF EF ．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
1
（2）若CF 5， tan A ，求⊙O半径的长．
2
第 14讲 圆综合
\ 25 /
【解答】（1）证明：如图，连接 OD．
∵点 D是半圆的中点，
∴ AOD BOD 90 ，
∴ ODC OED 90 ，
∵OD OC ，
∴ ODC OCD．
又∵CF EF ，
∴ FCE FEC ．
∵ FEC OED，
∴ FCE OED．
∴ FCE OCD OED ODC 90 ，
即 FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；
1
（2）解：∵ tanA ，
2
BC 1
∴在 Rt△ABC中， ，
AC 2
∵ ACB OCF 90 ，
∴ ACO BCF A，
∵△ACF∽△CBF，
BF CF BC 1
∴ ．
CF AF AC 2
∴ AF 10，
∴CF 2 BF AF ．
5
∴ BF ．
2
AF BF 15
∴ AO ．
2 4
第 14讲 圆综合
\ 26 /
第 14讲 圆综合
\ 27 /

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