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第 15讲 期末复习
【知识结构】
知识模块 具体考法 对应例题
一元二次方程的判别式 例 1
一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系 例 2
二次函数的图系关系 例 3
二次函数 二次函数与实际问题 例 4
二次函数与几何综合 例 5
圆的相关定理 例 6
圆
圆与相似三角形的综合 例 7
相似模型 例 8
相似三角形
相似三角形的综合 例 9
锐角三角函数 解直角三角形及其应用 例 10
第 15讲 期末复习
\ 1 /
模块 1 一元二次方程
【知识梳理】
一、一元二次方程
1．一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最
高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般式： ax2 bx c 0 a 0 ．其中ax2 为二次项，a 是二次项系数；
bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3．一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元
二次方程的解就是一元二次方程的根．如果 m 是一元二次方程
ax2 bx c 0 a 0 的根，则有am2 bm c 0 a 0 ．
二、一元二次方程的解法
配方法、公式法、因式分解法
三、一元二次方程的判别式
设一元二次方程为 ax2 bx c 0(a 0) ，其根的判别式为： b2 4ac，则：
b b2 4ac
（1） 0 方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个不相等的实数根 x ． 1,2
2a
b
（2） 0 方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两个相等的实数根 x1 x ． 2
2a
（3） 0 方程 ax2 bx c 0(a 0) 没有实数根．
四、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
b
x1 x2
2 a若 x ， x 是一元二次方程 ax bx c 0 (a 0)1 2 的两个根，则有： ．
cx1x2 a
【经典例题】
【例1】
互动 11．已知关于 x的一元二次方程 k 2 x2 2x 1 0 有两个不相等的实数根，则 k的取值范
围是（ ）
A．k 2 B． k 3 C． k 2且 k 0 D．k 3且 k 2
【解答】解：∵关于 x的一元二次方程 k 2 x2 2x 1 0 有两个不相等的实数根，
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\ 2 /
k 2 0
∴ ，
( 2)2 4 k 2 0
解得：k 3且 k 2．
故选：D．
x22．已知关于 x的一元二次方程 mx m 1 0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为负数，求 m的取值范围．
2 2
【解答】解：（1）由题意可知：△ m 4 m 1 m 2
2
∵ m 2 0 ，
∴方程总有两个实数根．
（2）由题意可知： x m 1或 x 1
∵方程有一个根为负数，
∴m 1 0．
∴m 1．
【例2】
2
若方程 x 4x 2 0的两个根为 x ， x ，则 x 1 x x 的值为___． 1 2 1 2 2
【解答】解：根据题意 x1 x2 4， x1 x2 2，
∴ x1 1 x2 x 2
x1 x2 x1 x2
4 2
6．
故答案为：6．
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模块 2 二次函数
【知识梳理】
2
一、二次函数 y ax bx c a 0 的图象与性质
y ax2 bx c a 0
a 0 a 0
图象
开口方向 向上 向下
b b
对称轴 直线 x 直线 x
2a 2a
b 4ac b2 b 4ac b2
顶点 , ,
2a 4a 2a 4a
4ac b2 4ac b2
最值 最小值 最大值
4a 4a
b b
x 时， y 随 x 的增大而增大； x 时， y 随 x 的增大而减小；
2a 2a
增减性
b b
x 时， y 随 x 的增大而减小. x 时， y 随 x 的增大而增大.
2a 2a
二、二次函数与方程和不等式
1．二次函数与一元二次方程：二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x轴交点的横坐标是一元二
次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根，可以根据方程的判别式来判断交点个数．
2
2．二次函数与不等式：抛物线 y ax bx c a 0 在 x 轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的 x
的取值范围就是不等式 ax2 bx c 0 的解集；在 x轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的 x的取值
范围就是不等式 ax2 bx c 0 的解集．
笔记区：
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\ 4 /
【经典例题】
【例3】
互动 2 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，下列结论：
① b2 4ac 0 ；② abc 0；③ 4a b 0 ；④4a 2b c 0．
其中正确结论的个数是 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由图象知，抛物线与 x 轴有两个交点，
方程 ax2 bx c 0 有两个不相等的实数根，
b2 4ac 0，故①正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为 x 2，
b
2 ，
2a
4a b 0，故③正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
a 0，
4a b 0，
b 0，而抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，
c 0 ，
abc 0，故②正确，
由图象知，当 x 2时， y 0，
4a 2b c 0，故④错误，
即正确的结论有 3 个，
故选： B ．
【例4】
黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进 3件甲商品和 2件乙商品，需 60元；购进 2件甲商
品和 3 件乙商品，需 65 元．
互动 3（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是（ ）元 / 件
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A．10、15 B．10、12 C．8、15 D．8、12
（2）设甲商品的销售单价为 x （单位：元/件），在销售过程中发现：当11 x 19时，甲商品的日
销售量 y （单位：件）与销售单价 x 之间存在一次函数关系， x 、 y 之间的部分数值对应关系如
表：
销售单价 x （元 /件） 11 19
日销售量 y （件 ) 18 2
请写出当11 x 19时， y 与 x 之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 w 元，当甲商品的销售单价 x （元 / 件）定为多
少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是 a、b 元 / 件，由题意得：
3a 2b 60
，
2a 3b 65
a 10
解得： ．
b 15
甲、乙两种商品的进货单价分别是 10、15元 /件．A．
（2）设 y 与 x之间的函数关系式为 y k1x b1 ，将 (11,18)， (19,2)代入得：
11k1 b1 18 k 2
，解得：
1
．
19k1 b1 2 b1 40
y与 x之间的函数关系式为 y 2x 40(11 x 19)．
（3）由题意得：
w ( 2x 40)(x 10)
2x2 60x 400
2(x 15)2 50(11 x 19)．
当 x 15时，w取得最大值 50．
当甲商品的销售单价定为 15 元 /件时，日销售利润最大，最大利润是 50 元．
【例5】
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y ax2 bx 6(a 0) 与 x 轴交于 A( 2,0) ， B(3,0) 两点，
与 y 轴交于点C ，连接BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D 的坐标为 ；
（3）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE 和 BE ，求△BCE 面积的最大值及此时点 E 的
坐标；
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（4）若点 M 是对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点 N ，使以点 B 、C 、M 、 N 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 A( 2,0) ， B(3,0) ，代入解析式即可确定抛物线解析式；
1
（2） 求 出 D 点 的 横 坐 标 为 ， 当 点 B 、 D 、 C 在 同 一 直 线 上 时 ，
2
C A C D A C A D C D A C B D C最D小 ，再A 求C出直B线CBC 的解析式，即可求 D 点坐
标；
（3）过点 E 作 EG x 轴于点G ，交直线 BC 与点 F ，设 E(t ， t2 t 6)(0 t 3) ，则 F(t, 2t 6)，
3 27
求出当 t 时， BCE 面积最大为 ，即可求 E 点坐标；
2 8
（ ）设 N (n, n2
1
4 n 6)， M 点的横坐标为 ，利用平行四边形对角线互相平分，分三种情况求解：
2
7 n 7 n
①当 BC / /MN ， BC MN 时， B 、 M 的横坐标为 ，C 、 N 的中点的横坐标为 ， ；②当
4 2 4 2
n 3 1
BC / /NM ， BC NM 时， B 、 N 的中点的横坐标为 ， C 、 M 的中点的横坐标为 ，
2 4
n 3 1 3
；③当 BN / /CM ， BN CM 时， B 、C 的中点横坐标为 ， M 、 N 的中点横坐标为
2 4 2
1 1
n n
2 3， 2 ，分别求出 n即可求 N 点坐标．
2 2 2
【解答】解：（1） 抛物线 y ax2 bx 6(a 0) 过点 A( 2,0) ，B(3,0) ，
4a 2b 6 0 a 1
解得： ，
9a 3b 6 0 b 1
抛物线解析式为 y x2 x 6 ．
（2） 当 y 0 时， x2 x 6 0 ，解得： x1 2 ， x2 3，
2 3 1
B(3,0)，抛物线对称轴为直线 x ，
2 2
1 1
点 D 在直线 x 上，点 A， B 关于直线 x 对称，
2 2
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1
x ， AD BD ， D
2
当点 B 、 D 、C 在同一直线上时，C ACD AC AD CD AC BD CD AC BC 最小，
设直线BC 解析式为 y kx 6，
3k 6 0，解得： k 2，
直线 BC : y 2x 6，
1
yD 2 6 5，
2
1
D( , 5) ，
2
1
故答案为： ( , 5)；
2
（3）过点 E 作 EG x 轴于点G ，交直线BC 与点F ，
设 E(t ， t2 t 6)(0 t 3)，则 F(t,2t 6) ，
EF 2t 6 (t2 t 6) t2 3t ，
1 1 1 1 1 3 3 27
S BCE S BEF S CEF EF BG EF OG EF(BG OG) EF OB 3 ( t
2 3t) (t )2 ，
2 2 2 2 2 2 2 8
3 27
当 t 时， BCE 面积最大为 ，
2 8
3 3 21
yE ( )
2 6 ，
2 2 4
3 21
此时点 E 坐标为 ( , )；
2 4
（4）存在点 N ，使以点 B 、C 、 M 、 N 为顶点的四边形是平行四边形，
设 N (n,n2
1
n 6) ，M 点的横坐标为 ，
2
B(3,0)，C(0, 6)，
①当 BC / /MN ， BC MN 时，
7 n
B 、 M 的横坐标为 ，C 、 N 的中点的横坐标为 ，
4 2
7 n
，
4 2
7
n ，
2
7 11
N ( , )；
2 4
②当BC / /NM ， BC NM 时，
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\ 8 /
n 3 1
B 、 N 的中点的横坐标为 ，C 、 M 的中点的横坐标为 ，
2 4
n 3 1
，
2 4
5
n ，
2
5 11
N( , )；
2 4
③当 BN / /CM ， BN CM 时，
1
n
3
B 、C 的中点横坐标为 ， M 、N 的中点横坐标为 2 ，
2 2
1
n
3
2 ，
2 2
5
n ，
2
5 9
N( , ) ；
2 4
7 11 5 11 5 9
综上所述：点 N 坐标为 ( , ) ， ( , )， ( , ) ．
2 4 2 4 2 4
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模块 3 圆
【知识梳理】
一、垂径定理
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2．垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
二、弧、弦、圆心角的关系
1．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
三、圆周角定理
1．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．圆周角定理的推论
（1）推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
（2）推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
四、切线
1．切线：直线与圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线．
2．切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3．切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
4．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
5．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角．
【经典例题】
【例6】
互动 4已知， AB 是 O 的直径，C 、 D 是 O 上的两点，且 AC CD．连接BC ， BD ．如图，若
CBD 20 ，则 A的大小为_________．
A．50 B． 60 C． 70 D．80
【解答】解： AC CD ，
AC CD ，
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ABC CBD 20 ，
AB是 O 的直径，
ACB 90 ，
A 90 20 70 ．
故答案为 70．C．
【例7】
声明：试题解析著作权属所有，未 经书面同意，不得复制发布
日期：2020/ 7/ 17 18: 24: 27；用户：北京文渊佳科技有限公司；邮箱：wyj kj 07@ ；学号：29722184
互动 5 如图，Rt△ABC 的斜边 AB 与⊙O 相切于点 B，直角顶点 C在⊙O 上，若 AC＝2 2 ，BC＝
4，则⊙O 的半径是（ ）
A．3 B． 2 3 C．4 D．2 6
【解答】解：连接 BO并延长 BO交⊙O于 D，连接 CD，
∵BD是⊙O的直径，
∴ DCB＝90 ，
又∵ ACB＝90 ，
∴点 A，C，D在一条直线上，
∵AB切⊙O于 D，
∴BD⊥AB，
∵ A＝ A，
∴△ABD∽△ACB，
AC AB
∴ ，
AB AD
∵Rt△ABC，AC＝2 2 ，BC＝4，
∴AB＝2 6 ，
第 15讲 期末复习
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2 2 2 6
∴ ，
2 6 AD
解得：AD＝6 2 ，
∴DC＝6 2 2 2 4 2 ，
∴ BD DC2 BC2 4 3，
∴⊙O的半径是2 3．
故选：B．
第 15讲 期末复习
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模块 4 相似三角形
【知识梳理】
一、相似三角形
1．相似三角形：三个角分别相等、三条边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．
2．相似三角形的性质
（1）相似三角形的对应角相等．
（2）相似三角形对应线段的比等于相似比．
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．
3．相似三角形的判定定理
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
（2）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角相等，那么这两个三角形相似．
（3）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边成比例，且夹角相等，那么这两个三
角形相似．
（4）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形相似．
二、相似三角形的常见模型
模型 如图 描述
A
A字 BC∥DF ，
则△ABC∽△ADF ．
B C
D F
反 A字 A字模型A 图 1 中：△ADE∽△ACB．
图 2 中：△ADC∽△ACB ，
D 则 AC
2 AD AB．
E
B C
图 1
A
D
B C
图 2
第 15讲 期末复习
\ 13 /
A B
8 字 AB∥CD，
则△ABO∽△DCO．
O
C D
反 8 字 D 8字模型 C ∠A ∠B 或∠C ∠D ，
则△ADO∽△BCO．
O
A
B
一线三垂直 A △ABD∽△BCE ．
C
D
E
A
D E
B B C
2
射影定理 A AC CD CB ；
AD2 CD BD ；
AB2 BD BC ．
C
D B
【经典例题】
【例8】
互动6矩形 ABCD中，边长 AB 4 ，边 BC 2， M 、N 分别是边BC 、CD上的两个动点，且始
终保持 AM MN ．则CN 的最大值为 ( )
1 1
A．1 B． C． D．2
2 4
【解答】解：设CN y，CM x，则BM 2 x，
四边形 ABCD是矩形，
B C 90 ，
AMN 90 ，
第 15讲 期末复习
\ 14 /
BAM AMB NMC AMB 90 ，
BAM NMC，
ABM∽ MCN ，
AB BM
，
CM CN
4 2 x
即 ，
x y
1 1
y x2 x ，
4 2
1
a 0，
4
1
y有最大值， y ， 最大
4
1
CN 的最大值 ．
4
故选：C ．
【例9】
（1）如图①，在△ABC中， AB CD， BAD BDA，AE是 BD边的中线．探究 AC与 AE的
数量关系并证明．
（2）如图②，在△ABC 中， AB k AD， BAD BDA ，AE 是 BD 边的中线，且
EAD C．探究 AC与 AE的数量关系并证明．
【解答】（1）答： AC 2AE ．
证明：在△ACD中，作 AC边上的中线 DF，
∵ BAD BDA，
∴△ABD为等腰三角形，
∴ AB BD CD，于是 D为 BC边上的中点，
1 1
∴DF为△ABC的中位线，DF AB BD， FDC B，
2 2
∵AE是△ABD的中线，
∴ ED DF ，
由于 BDA ADF FDC 180 ，
第 15讲 期末复习
\ 15 /
在△ABD中， B BAD BDA 180 ，
FDC B， BAD BDA，
∴ ADF BDA，
在△ADF和△ADE中，
AD AD

ADE ADE ，

ED FD
∴△ADF≌△ADE，
∴ AE AF ，
∴ AC 2AE．
（2）解：∵ EAD C， AED CEA，
∴△ACE∽△DAE，
AC AE
∴ ，
AD ED
AC AD
即 ，
AE ED
AC 2AD 2AD 2AD 2AD 2
∴ ．
AE 2ED BD AB kAD k
第 15讲 期末复习
\ 16 /
模块 5 锐角三角函数
【知识梳理】
一、锐角三角函数
1．锐角三角函数的概念
在Rt△ABC 中， C 90 ， AB c， BC a， AC b．
A的对边
（1）正弦： sin A ；
斜边
A的邻边
（2）余弦： cos A ；
斜边
A的对边
（3）正切： tan A .
A的邻边
2．特殊角的锐角三角函数
特殊角 正弦 余弦 正切
1 3 3
30°
2 2 3
2 2
45° 1
2 2
3 1
60° 3
2 2
【经典例题】
【例10】
如图，学校一幢教学楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD，已知CD 3米，小宏在 A 点测
得 D 点的仰角为 30 ，再向教学楼前进 9 米到达 B 点，测得 C 点的仰角为 45 ，若测倾器的高
AM BN 3米，不考虑其它因素，求教学楼DF 的高度（结果保留根号）．
第 15讲 期末复习
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【解答】解：连接 AB 并延长交DF 于 E ，
AM MF ， BN MF ，
AM / /BN ，
AM BN ，
四边形 ABNM 是矩形，
AB / /MN ，
AE CF ，
设 DE xm，
CE (3 x) ，
在Rt BCE 中，
CBE 45 ，
BE CE 3 x，
AE 9 3 x 12 x，
DE x 3
在Rt AED中， tan DAE ，
AE 12 x 3
x 6 3 6，
DF 6 3 9，
答：教学楼DF 的高度是 (6 3 9) 米．
第 15讲 期末复习
\ 18 /
备选题
【备1】
1．如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR FG 于点 R ，
再过点C 作 PQ CR 分别交边 DE ， BH 于点 P ，Q ．若QH 2PE， PQ 15 ，则CR 的长为 (
)
A．14 B．15 C．8 3 D．6 5
【解答】解：如图，连接EC ，CH ．设 AB 交CR于 J ．
四边形 ACDE ，四边形BCJHD 都是正方形，
ACE BCH 45 ，
ACB 90 ， BCI 90 ，
ACE ACB BCH 180 ， ACB BCI 90
B，C ，D 共线， A，C ， I 共线，
DE / /AI / /BH ，
CEP CHQ，
ECP QCH ，
ECP∽ HCQ，
PC CE EP 1
，
CQ CH HQ 2
PQ 15 ，
PC 5，CQ 10，
第 15讲 期末复习
\ 19 /
EC :CH 1: 2，
AC : BC 1: 2，设 AC a， BC 2a，
PQ CR，CR AB，
CQ / /AB，
AC / /BQ，CQ / /AB ，
四边形 ABQC 是平行四边形，
AB CQ 10，
AC2 BC2 AB2 ，
5a2 100 ，
a 2 5 （负根已经舍弃），
AC 2 5 ， BC 4 5 ，
1 1
AC BC AB CJ ，
2 2
2 5 4 5
CJ 4，
10
JR AF AB 10，
CR CJ JR 14，
故选： A．
第 15讲 期末复习
\ 20 /
挑战极限
如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 AB 上， BE 1， DAM 45 ，点 F 在射线 AM 上，
且 AF 2 ，过点 F 作 AD 的平行线交 BA 的延长线于点 H ，CF 与 AD 相交于点G ，连接 EC 、
17
EG 、 EF ．下列结论：①△ 2 2 2ECF 的面积为 ；②△AEG的周长为 8；③EG DG BE ；其中
2
正确的是 ( )
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【解答】解：如图，在正方形 ABCD中， AD / /BC ， AB BC AD 4， B BAD 90 ，
HAD 90 ，
HF / /AD，
H 90 ，
HAF 90 DAM 45 ，
AFH HAF ．
AF 2 ，
AH HF 1 BE ．
EH AE AH AB BE AH 4 BC ， EHF CBE(SAS)，
EF EC， HEF BCE，
BCE BEC 90 ，
HEF BEC 90 ，
FEC 90 ， CEF 是等腰直角三角形，
在Rt CBE 中， BE 1， BC 4，
EC2 BE2 BC2 17，
1 1 17
S EF EC EC2 ，故①正确； ECF
2 2 2
过点 F 作 FQ BC 于Q，交 AD 于 P ， APF 90 H HAD，
四边形 APFH 是矩形，
第 15讲 期末复习
\ 21 /
AH HF ，
矩形 AHFP 是正方形，
AP PH AH 1，
同理：四边形 ABQP 是矩形，
PQ AB 4， BQ AP1，FQ FP PQ 5，CQ BC BQ 3，
AD / /BC ， FPG∽ FQC ，
FP PG 1 PG 3 8
， ， PG ， AG AP PG ，
FQ CQ 5 3 5 5
17
在 2 2Rt EAG中，根据勾股定理得， EG AG AE ，
5
8 17
AEG的周长为 AG EG AE 3 8，故②正确；
5 5
AD 4，
12
DG AD AG ，
5
2 144 169 DG BE2 1 ，
25 25
2 17 2 289 169EG ( ) ，
5 25 25
EG2 DG2 BE2 ，故③错误，
正确的有①②，
故选：C ．
第 15讲 期末复习
\ 22 /
巩固练习
【练习1】
抛物线 y ax2 bx c的对称轴是直线 x 2 ．抛物线与 x 轴的一个交点在点 ( 4,0) 和点 ( 3,0)之
间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）
① 4a b 0；② c 3a；③关于 x 的方程 ax2 bx c 2有两个不相等实数根；④b2 2b 4ac ．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
b
【解答】解： 抛物线的对称轴为直线 x 2，
2a
4a b 0，所以①正确；
与 x轴的一个交点在 ( 3,0)和 ( 4,0) 之间，
由抛物线的对称性知，另一个交点在 ( 1,0)和 (0,0) 之间，
x 1时 y 0 ，且b 4a，
即 a b c a 4a c 3a c 0，
c 3a ，所以②错误；
抛物线与 x轴有两个交点，且顶点为 ( 2,3)，
抛物线与直线 y 2 有两个交点，
关于 x的方程 ax2 bx c 2有两个不相等实数根，所以③正确；
抛物线的顶点坐标为 ( 2,3)，
4ac b2
3，
4a
b2 12a 4ac，
4a b 0，
b 4a ，
b2 3b 4ac ，
a 0，
b 4a 0，
b2 2b 4ac ，所以④正确；故选：C ．
第 15讲 期末复习
\ 23 /
【练习2】
去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天的营业额是
前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”
这七天的总营业额与 9月份的营业额相等．求该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率．
【解答】解：（1） 450 450 12% 504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504万元．
（2）设该商店去年 8、9 月份营业额的月增长率为 x ，
依题意，得：350(1 x)2 504 ，
解得： x1 0.2 20% ， x 2.2 （不合题意，舍去）． 2
答：该商店去年 8、9月份营业额的月增长率为20%．
【练习3】
如图， AD 是 O 的直径， AB 为 O 的弦，OE AD ，OE 与 AB 的延长线交于点 E ，点C 在OE
上，满足 CBE ADB．
（1）求证：BC 是 O 的切线；
（2）若 CBE ADB 30 ，OA 3，求线段CE 的长．
【解答】（1）证明：连接OB ，如图，
AD是 O 的直径，
ABD 90 ，
A ADB 90 ，
OA OB，
A OBA，
CBE ADB ，
OBA CBE 90 ，
第 15讲 期末复习
\ 24 /
OBC 180 90 90 ，
BC OB，
BC 是 O 的切线；
（2） AD是 O 的直径，
ABD 90 ，
A 60 ，
OE AD，
AOE 90 ，
E 30 ，
CBE 30 ，
CBE E 30 ，
CE CB，
BCO 60 ，
OBC 90 ，OB OA 3，
3
BC OB 3 ，
3
CE 3 ．
【练习4】
如图，在正方形 ABCD中，点 E 在 BC 边上，连接 AE ， DAE 的平分线 AG 与CD边交于点G ，
CE
与 BC 的延长线交于点 F ，设 ( 0) ．
EB
（1）若 AB 2 ， 1，求线段CF 的长．
（2）连接 EG ，若EG AF ，
①求证：点G 为CD边的中点．
②求 的值．
第 15讲 期末复习
\ 25 /
【解答】解：（1） 在正方形 ABCD中， AD / /BC ，
DAG F ，
又 AG平分 DAE ，
DAG EAG，
EAG F ，
EA EF ，
AB 2， B 90 ，点 E 为 BC 的中点，
BE EC 1，
AE AB2 BE2 5 ，
EF 5 ，
CF EF EC 5 1；
（2）①证明： EA EF ， EG AF ，
AG FG ，
在 ADG和 FCG 中
D GCF

AGD FGC ，

AG FG
ADG FCG(AAS)，
DG CG，
即点G 为CD的中点；
②设CD 2a，则CG a ，
由①知，CF DA 2a，
EG AF ， GDF 90 ，
EGC CGF 90 ， F CGF 90 ， ECG GCF 90 ，
EGC F ，
EGC∽ GFC ，
EC GC
，
GC FC
GC a， FC 2a，
第 15讲 期末复习
\ 26 /
GC 1
，
FC 2
EC 1
，
GC 2
1 1 3
EC a ， BE BC EC 2a a a ，
2 2 2
1
a
CE 1
2 ．
EB 3 3
a
2
【练习5】
1 3
如图，抛物线 y x2 x 2与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C ，点D 与点C 关于 x 轴对称．
2 2
（1）求点 A、 B 、C 的坐标．
（2）求直线 BD的解析式．
（3）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在一点 P ，使△PBD的面积最大？若存在，求出点 P 的坐
标；若不存在，请说明理由．
1
【解答】解：（1）解方程 x2
3
x 2 0，得 x1 1， x2 4，
2 2
A点坐标为 ( 1,0)， B 点坐标为 (4,0)．
当 x 0时， y 2，
C 点坐标为 (0, 2) ．
第 15讲 期末复习
\ 27 /
（2） 点 D 与点C 关于 x轴对称， D点坐标为 (0,2)．
0 4k b
设直线 BD的解析式为 y kx b，则 ，
2 0k b
1
k
解得 2 ，

b 2
1
直线 BD的解析式为 y x 2．
2
（3）如图，
1 3 1
作 PE / / y 轴交 BD于 E ，设P(m, m2 m 2) ，则 E(m, m 2)
2 2 2
1 1
PE m 2 ( m2
3 1
m 2) m2 m 4，
2 2 2 2
1 1 1
S PBD PE (xB xD ) ( m
2 m 4) 4 m2 2m 8 (m 1)2 9，
2 2 2
1 0，
m 1时， PBD 的面积最大，面积的最大值为 9．
P(1, 3)．
第 15讲 期末复习
\ 28 /

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