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第6章　空间向量与立体几何 章末复习课
一、空间向量的线性运算与数量积
1．向量的线性运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．
2．利用数量积可以解决有关垂直、夹角、长度问题，解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义；二是利用坐标运算．
(1)a≠0，b≠0，a⊥b a·b＝0；
(2)|a|＝；
(3)cos〈a，b〉＝.
3．空间的运算，应注重提高逻辑推理、数学运算核心素养．
例1　(1)已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则x＝______，y＝________.
答案　1　
解析　由题意知＝＋＝＋＝＋(＋)，从而有x＝1，y＝.
(2)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
①求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
②求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
①证明　设＝p，＝q，＝r.
由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，
且p，q，r三向量两两夹角均为60°.
＝－＝(＋)－
＝(q＋r－p)，
∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)
＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.
∴⊥，
即MN⊥AB.
同理可证MN⊥CD.
②解　设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·
＝
＝
＝＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cos θ
＝a×a×cos θ＝.
∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为.
∴异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
反思感悟　空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件
(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．
(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y.
跟踪训练1　(1)在空间直角坐标系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足
||＝||，则P点坐标为(　　)
A．(3,0,0) B．(0,3,0)
C．(0,0,3) D．(0,0，－3)
答案　C
解析　设P(0,0，z)，则有
＝，解得z＝3.
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
①求的长；
②求与夹角的余弦值．
解　记＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
①||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝1＋1＋1＋2×＝6，∴||＝.
②＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos〈，〉＝＝.
二、利用空间向量证明位置关系
1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、利用向量的共线和垂直进行证明．
2．将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
例2　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：BC⊥平面BDE.
证明　(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，
B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．
∵M为EC的中点，
∴M(0,2,1)，
则＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，
∴＝＋，
故，，共面．
又BM 平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF.
(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，
∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.
又·＝0，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.
延伸探究　本例条件不变，如何证明平面BCE⊥平面BDE.
证明　由本例(2)知BC⊥平面BDE，又BC 平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.
反思感悟　利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要转化为其坐标运算，再借助于坐标的有关性质求解(证)．
跟踪训练2　如图，在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
证明　方法一　如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，
则＝(3,0,0)，＝(1,0,0)，
故＝3，∴PA∥FG.
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG 平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
方法二　同方法一，建立空间直角坐标系，
则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．
所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则
即令y＝1，得z＝－1，x＝0，
即n＝(0,1，－1)．
显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．
又n·＝0，
所以n⊥，
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，
所以平面EFG⊥平面PBC.
三、利用空间向量求空间角
1．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.
(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.
(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则二面角的平面角与这两个平面的法向量的夹角相等或互补．
2．通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，点E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：
(1)求异面直线AF和BE所成的角；
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值．
解　(1)由题意得A(2,0,0)，F，B(2,2,0)，E(1,1，)，C(0,2,0)．
∴＝，＝(－1，－1，)，
∴·＝1－2＋1＝0.
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)设平面BEC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(－2,0,0)，＝(－1，－1，)，则n·＝－2x＝0，n·＝－x－y＋z＝0，∴x＝0，取z＝1，则y＝，
∴平面BEC的一个法向量为n＝(0，，1)．
∴cos〈，n〉＝＝＝.
设直线AF和平面BEC所成的角为θ，则sin θ＝，即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
反思感悟　(1)在建立空间直角坐标系的过程中，一定要依据题目所给几何图形的特征，建立合理的空间直角坐标系，这样才会容易求得解题时需要的坐标．
(2)求直线和平面所成的角、二面角类问题有两种思路：转化为两条直线所成的角、利用平面的法向量．
跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．
若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
解　如图，作CF∥DA，交AB于点F，以C为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则C(0,0,0)，A(1,1,0)，
B(1，－1,0)．
设P(0,0，a)(a>0)，则E，
＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝，
取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，
所以m为平面PAC的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面EAC的一个法向量，则即
取x＝a，
可得n＝(a，－a，－2)，依题意得，
|cos〈m，n〉|＝＝＝，
则a＝1(负值舍去)．
于是n＝(1，－1，－2)，＝(1,1，－1)．
设直线PA与平面EAC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.
四、利用空间向量计算距离
1．空间距离的计算
(1)点到平面的距离d＝.
(2)点到直线的距离：公式①d＝；
公式②d＝||sin〈，e〉．
2．通过利用向量计算空间距离，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力．
例4　在三棱锥B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．
解　如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，
则A，B，C，D，
∴ ＝，
＝，＝，
设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，
则
∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)，
代入d＝，得d＝＝，
即点D到平面ABC的距离是.
反思感悟　利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可．
跟踪训练4　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　)
A.a B.a C.a D.a
答案　D
解析　方法一　连接BD，AC交于点O(图略)，
则D1O＝＝a为所求．
方法二　如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a,0)，D1(0，a,2a)，
则＝(－a,0,2a)，
＝(－a，－a,0)，
所以cos〈，〉＝，
sin〈，〉＝，
则点D1到直线AC的距离为
d＝||sin〈，〉＝a.
(2)在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，
C(0,4,0)，P(0,4,4)，
∴＝(0,4,4)，
＝(4,0,0)，
＝(0,0，－4)．
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝，则z＝－1，∴m＝(0，，－1)，
∴点C到平面PAB的距离为＝.
方法二　∵PC⊥底面ABC，
∴PC⊥AB，又AB⊥AC，
且PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA，
∵AC＝AB＝4，
∴BC＝4，
∴PC＝4，PB＝8，
在Rt△PAB中，PA＝＝4，
令点C到平面PAB的距离为d，
∵VP－ABC＝VC－PAB，
∴××4×4×4＝××4×4×d，
∴d＝.
1．知识清单：
(1)空间向量的概念及运算．
(2)利用空间向量证明位置关系．
(3)利用空间向量求空间角．
(4)利用空间向量求距离．
2．方法归纳：坐标法、转化化归．
3．常见误区：
(1)数量积运算时注意向量的夹角．
(2)注意直线所成的角与向量夹角的区别与联系．
1．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，则使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(　　)
A.，－6 B．－，6
C．－6， D．6，－
答案　A
解析　由a⊥b a·b＝－10＋3x＝0，得x＝，
由a∥b ＝，得x＝－6.
2．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则点P(1,2,2)到平面α的距离为(　　)
A. B.
C．2 D.
答案　D
解析　＝(－2,0，－1)，点P到平面α的距离为＝＝.
3.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为点D在平面Oyz内，
所以点D的横坐标为0，
又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，
所以点D的竖坐标z＝4·sin 30°·sin 60°＝，
纵坐标y＝－(2－4·sin 30°·cos 60°)＝－1，
所以D(0，－1，)．
所以AD＝||＝＝.
4．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
答案　
解析　如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，
设平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，
所以tan α＝.

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