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第3课时　二项式系数的性质
学习目标　1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法”．
导语
被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服．而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a＋b)n的展开式在n＝1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡整整早发现了500年左右．
一、二项式系数表
问题1　根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
提示　1,7,21,35,35,21,7,1.
知识梳理
二项式系数表
此表的规律如下：
(1)每一行中的二项式系数都是“对称”的．
(2)每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
(3)每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．
(4)第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．
解　由题意及二项式系数表的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)
＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)
＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…＋9)
＝C＋
＝164.
反思感悟　解决与杨辉三角有关问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于(　　)
A．20 B．21 C．22 D．23
答案　C
解析　由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.
二、二项式系数的对称性、增减性、最值
问题2　怎样找二项展开式中的二项式系数的最大值？
提示　当r<时，要证明C同理，当r>时，C知识梳理
二项式系数的对称性、增减性、最值
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
(1)C＝C；
(2)C＋C＝C；
(3)当r＜时，C＜C；
当r＞时，C＜C.
例2　(1＋2x)n展开式第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．
解　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，所以C25＝C26，
解得n＝8.二项式系数最大项T5＝C(2x)4＝1 120x4.
反思感悟　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2　(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A．第n－1项
B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项
D．第n项与第n＋1项
答案　D
解析　由二项式系数的性质得，二项式系数最大为 分别为第n，n＋1项．
三、二项展开式的系数和问题
问题3　在二项展开式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
提示　C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
知识梳理
二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
例3　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
解　(1)令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tr＋1＝C(－1)r·25－r·x5－r，
知a1，a3，a5为负值，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
延伸探究　在本例条件下，求下列各式的值：
(1)a0＋a2＋a4；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.
解　(1)因为a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.
所以a0＋a2＋a4＝＝122.
(2)因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，
所以a0＝25＝32.
又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
(3)因为(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，
所以两边求导数得
10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.
令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.
反思感悟　二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可，对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
跟踪训练3　已知(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20.
(1)求a2的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a19的值；
(3)求a0＋a2＋a4＋…＋a20的值．
解　∵(x2－2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a20(x－1)20，令x－1＝t，
展开式化为(t2－4)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a20t20.
(1)a2＝C(－4)9＝－49×10.
(2)令t＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a20＝310，
令t＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a20＝310，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a19＝0.
(3)由(2)得a0＋a2＋a4＋…＋a20＝310.
1．知识清单：
(1)二项式系数表．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法，整体运算．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
答案　B
解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
所以4＋a＝10，得a＝6.
2．在(a－b)20的展开式中，与第6项二项式系数相同的项是(　　)
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
答案　B
解析　第6项的二项式系数为C，与它相等的为C，即第16项．
3．(多选)11的展开式中二项式系数最大的项是(　　)
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
答案　BC
解析　由于n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．
4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．
答案　1　64
解析　令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64.
课时对点练
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
答案　D
解析　第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相等．
2．已知(1＋x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的奇数项的二项式系数之和为(　　)
A．212 B．211 C．210 D．29
答案　D
解析　∵展开式中只有第6项的二项式系数最大，
∴n＝10，
∵奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，
∴展开式中奇数项的二项式系数之和为＝29.
3．(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式中各项系数之和为(　　)
A．2n＋1 B．2n－1
C．2n＋1－1 D．2n＋1－2
答案　D
解析　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.
4．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．第6项 B．第5项
C．第5,6项 D．第6,7项
答案　A
解析　由题意知，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
5．(多选)关于(a－b)11的说法，正确的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为2 048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最大
答案　AC
解析　(a－b)11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系数为负数，不是最大值，故D不正确．
6．(多选)已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则(　　)
A．n＝7
B．所有项的系数和为0
C．偶数项的系数和为－64
D．展开式的中间项为－35x3和35x4
答案　ABC
解析　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4·(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3·(－1)4＝35x3，故选ABC.
7．若n展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
答案　10
解析　C＋C＋…＋C＝2n＝32，
故n＝5.
Tr＋1＝C(x2)5－rr＝Cx10－2r－3r＝Cx10－5r，
令10－5r＝0，得r＝2.
故展开式中的常数项为T3＝C＝10.
8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.
答案　34
解析　由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.
9．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
解　(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
令x＝0，得(0－3)4＝a0，
所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0
＝(2－3)4－81＝－80.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1，得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1，得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
(3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，
由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，
由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，
所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4
＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0
＝313＋312－81＝544.
10．已知(1＋m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
解　(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为Tr＋1＝Cmr，
∴含x项的系数为Cm2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为
C＋C＋C＋C＝28－1＝128.
(3)∵(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8，
∴含x2项的系数为C24－C22＝1 008.
11．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　)
A．10 B．45 C．－9 D．－45
答案　B
解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45.
12．若(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．0
C．－2 D．－1
答案　D
解析　(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝0，得a0＝1，令x＝，
得2 022＝a0＋＋＋…＋＝0，
所以＋＋…＋＝－1.
13．在n的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是(　　)
A．462 B．400
C．390 D．300
答案　A
解析　n展开式的各项系数为其二项式系数．
∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，
∴n＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C＝C＝462.
14．(多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形，设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝8，则(　　)
A．f(x)的展开式中的常数项是56
B．f(x)的展开式中的各项系数之和为0
C．f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70
D．f(i)＝－16，其中i为虚数单位
答案　BC
解析　设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，
∴m＝＝，n＝＝，
则＝1，∴f(x)＝8.
对于A，f(x)展开式通项公式为
Tr＋1＝Cx24－3r·r＝(－1)rCx24－4r，
令24－4r＝0，解得r＝6，
∴f(x)展开式的常数项为(－1)6C＝28，A错误；
对于B，f(1)＝0，即f(x)展开式的各项系数之和为0，B正确；
对于C，f(x)展开式中二项式系数最大值为C＝70，C正确；
对于D，f(i)＝8＝(－i＋i)8＝0，D错误．
15．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n(n≥3)行第3个数字是________．
答案　(n∈N*，n≥3)
解析　杨辉三角形中的每一个数C都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，
∵杨辉三角形中第n(n≥3)行第3个数字是C，则“莱布尼茨调和三角形”第n(n≥3)行第3个数字是＝.
16．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
(1)求第20行中从左到右的第4个数；
(2)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．
试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．
解　(1)C＝1 140.
(2)C＋C＋…＋C＝C.
证明如下：
左边＝C＋C＋…＋C
＝C＋C＋…＋C
＝…＝C＋C
＝C
＝右边．

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