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第2课时　离散型随机变量的概率分布
学习目标　1.通过具体实例，理解离散型随机变量的概率分布.2.掌握离散型随机变量概率分布的表示方法和性质.3.理解两点分布．
导语
对于随机试验我们引入了随机变量的概念，这样，了解随机试验的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值，以及随机变量取各个值的概率．了解了上述两点，我们就可以说了解了这个随机试验的规律．这就是我们这节课所研究的内容．
一、离散型随机变量的概率分布
问题　掷一枚骰子的随机试验中，X 表示向上的点数，X的取值有哪些？X取每个值的概率分别是多少？
提示　列成表的形式
X 1 2 3 4 5 6
P
知识梳理
1．随机变量X的概率分布
一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
2．概率分布表
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表．
随机变量X的概率分布列、概率分布表都叫作随机变量X的概率分布．
注意点：
(1)概率分布表中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.
(2)随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的．
例1　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
解　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”的事件为A，
则P(A)＝＝，
即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.故X的概率分布为
X 0 1 2
P
反思感悟　求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
跟踪训练1　一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大号码，求X的概率分布．
解　由题意知，随机变量X所有可能取值为2,3,4.
且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.因此X的概率分布为
X 2 3 4
P
二、概率分布的性质
知识梳理
在随机变量的分布列中，pi满足：
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
例2　设随机变量X的概率分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
解　由题意知，所给概率分布为
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由概率分布的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
(2)方法一　P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
方法二　P＝1－P＝1－
＝.
延伸探究　本例条件不变，求P.
解　∵∴P＝P＋P＋P
＝＋＋＝.
反思感悟　概率分布的性质及其应用
(1)利用概率分布表中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据概率分布表，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
跟踪训练2　设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求：(1)2X＋1的概率分布；
(2)|X－1|的概率分布．
解　由概率分布的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
∴m＝0.3.
首先列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个概率分布为
(1)2X＋1的概率分布
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的概率分布
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
三、0－1分布(两点分布)
知识梳理
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布，此处“～”表示“服从”．
注意点：
(1)两点分布有且只有两个对应结果，且互为对立．
(2)其随机变量的取值只能是0和1，故又称0－1分布．
(3)其中p＝P(X＝1)，称为成功概率．
(4)两点分布可应用于彩票中奖、新生儿性别、投篮是否命中等．
例3　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的概率分布．
解　由题设可知X服从两点分布．
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.
∴X的概率分布为
X 0 1
P
反思感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布
(1)看取值：随机变量只取两个值0和1.
(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．
跟踪训练3　已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布．
解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，
所以P(X＝1)＝1－＝.
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1
P
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的概率分布的概念及表示．
(2)离散型随机变量的概率分布的性质．
(3)两点分布．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区： 随机变量的取值不明确导致分布列求解错误．
1．(多选)下列表格中，是某个随机变量的概率分布表的是(　　)
A.
X 0 1 2
P 0.7 0.15 0.15
B.
X －2 0 2 4
P 0.5 0.2 0.3 0
C.
X 1 2 3
P －
D.
X 1 2 3
P lg 1 lg 2 lg 5
答案　ABD
解析　C项中，P(X＝1)<0不符合P(X＝xi)≥0的特点，也不符合P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1的特点．所以C项不是随机变量的概率分布表．
2．某射手射击一次命中环数X的概率分布为
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则P(X>7)等于(　　)
A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51
答案　C
解析　根据X的概率分布知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
3．若随机变量X～0－1分布，P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝3a，则a＝________.
答案　
解析　依题意可得2a＋3a＝5a＝1，∴a＝.
4．已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．
答案　0,1,2
解析　由题意Y＝X且X∈{0,2,4}，
得Y∈{0,1,2}．
课时对点练
1．(多选)已知随机变量X的概率分布如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是(　　)
A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
答案　ABD
解析　由0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，得a＝0.1，
故A正确；
P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确；
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，
故C错误；
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.3，故D正确．
2．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知，{ξ＝0}表示“一次试验失败”，{ξ＝1}表示“一次试验成功”．
设一次试验失败率为p，则成功率为2p，
所以p＋2p＝1，所以p＝，所以P(ξ＝1)＝.
3．设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
答案　A
解析　由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，
得m＝0.3.
所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.
4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)
A．n＝3 B．n＝4
C．n＝10 D．n＝9
答案　C
解析　由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
5．若随机变量η的概率分布如下：
η －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(ηA．x≤1 B．1≤x≤2
C．1答案　C
解析　由概率分布知，
P(η＝－2)＋P(η＝－1)＋P(η＝0)＋P(η＝1)
＝0.1＋0.2＋0.2＋0.3＝0.8，
∴P(η<2)＝0.8，故16．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20
则P等于(　　)
A．0.25 B．0.35
C．0.45 D．0.55
答案　B
解析　根据概率分布的性质，知随机变量的所有取值的概率之和为1，可解得x＝2，y＝5，
故P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.35.
7．若随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3，则P(X≤2)＝________.
答案　
解析　由题意知，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
8．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的概率分布为
X 0 1
P a b
则a＝________，b＝________.
答案　　
解析　X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.
9．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的概率分布．
解　由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝＝，
P(ξ＝6)＝＝.
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的概率分布为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
10.若离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1
P 9c2－c 3－8c
试求出离散型随机变量X的概率分布．
解　由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝>0，
3－8c＝3－＝>0；
当c＝时，9c2－c＝9×2－>1，
3－8c＝3－<0(不适合，舍去)．故c＝.
故所求概率分布为
X 0 1
P
11．已知随机变量X的概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P m
则P(X＝10)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　P(X＝10)＝1－－…－＝.
12．(多选)随机变量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X 2 4 6
P a b c
则(　　)
A．a＋b＋c＝1 B．a＝
C．b＝ D．c＝
答案　ABD
解析　由概率分布的性质，得a＋b＋c＝1.
由
解得
13．设随机变量X的概率分布如下表，则P(|X－2|＝1)＝________.
X 1 2 3 4
P m
答案　
解析　根据＋＋m＋＝1，
解得m＝，
解|X－2|＝1得X＝1或X＝3.
故所求概率为P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝.
14．若随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3
P a b
则a2＋b2的最小值为________．
答案　
解析　由概率分布的性质，知a＋b＝，而
a2＋b2≥＝(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
15．(多选)已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，其中a是常数，则(　　)
A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1
B．a＝
C．P(0≤X＜2)＝
D．以上均不正确
答案　ABC
解析　根据题意，随机变量X的概率分布为
P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，
则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＋＝1，
解得a＝，
则P(0≤X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
16．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中原有的白球的个数；
(2)求随机变量ξ的概率分布；
(3)求甲取到白球的概率．
解　(1)设袋中原有n个白球，由题意知
＝＝＝，
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意得，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的概率分布如表所示：
ξ 1 2 3 4 5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.

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