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8.2.3　二项分布
第1课时　二项分布
学习目标　1.理解n重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布的概率表达形式.3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
导语
某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上．那么这个学生的运气如何呢？
一、n重伯努利试验
问题1　观察下面试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．
提示　①相同条件下的试验：5次、10次、6次；
②每次试验相互独立；
③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p.
知识梳理
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
解　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验．
反思感悟　n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
答案　ABC
解析　A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．
二、二项分布的推导
问题2　(1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
提示　连续掷一枚图钉3次，就是做3重伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
(2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
提示　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3，
P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝3q2p＝Cp1q2，
P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0，
规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
知识梳理
二项分布
(1)若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
(2)当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ＝.
注意点：
(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.
(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．
例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
解　(1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝.
延伸探究
1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．
解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝，
所以甲、乙均击中目标1次的概率为
P(A3B3)＝×＝.
2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．
解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C×2＝，P(B4)＝C×2＝，所以甲未击中，乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝.
反思感悟　n重伯努利试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率．
解　(1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
则P(Ak)＝C·k4－k.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C×2×2＝.
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.
由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为.
三、二项分布的简单应用
例3　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布．
解　(1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
则P(X＝3)＝C×3×2＝，
P(X＝4)＝C×4×＝，
P(X＝5)＝C×5×0＝，
所以至少有3次发芽成功的概率为
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝2×＝，
P(ξ＝4)＝3×＝，
P(ξ＝5)＝4×1＝.
所以ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4 5
P
反思感悟　利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布．
解　由题意可知X～B，
∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
2．方法归纳：数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．若随机变量X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A.2×3 B.2×3
C．C×2×3 D．C×2×3
答案　D
解析　∵随机变量X～B，
∴P(X＝2)＝C×2×3.
2．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为＝.从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B，
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)
＝C×2×＋C×3＋C×3＝.
3．在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　事件A在一次试验中发生的概率为p，
由题意得1－Cp0(1－p)4＝，
所以1－p＝，p＝.
4．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
答案　0.048 6
解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.
课时对点练
1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　P＝C×2×3＝.
2．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于(　　)
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
答案　A
解析　P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
3．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为C×2×＝，
有三天出现大潮概率为C×3＝，
所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝.
4．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0A．(1－p)n B．1－pn
C．pn D．1－(1－p)n
答案　D
解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
5．(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有(　　)
A．每次出现正面向上的概率为0.5
B．第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25
C．出现n次正面向上的概率为C0.510
D．出现n次正面向上的概率为C0.5n
答案　BD
解析　对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确；
对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误；
对于C，出现n次正面向上的概率为C×0.5n×0.510－n＝C0.510，故C正确，D错误．
6．(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是(　　)
A．P1＝P2＝P3＝P4
B．P3＝2P1
C．P1＋P2＋P3＋P4＝1
D．P4＝3P2
答案　CD
解析　由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，
则P1＝3＝，
P2＝3＝，
P3＝C×2×＝，
P4＝C××2＝，
P1＝P2P3＝3P1，故B错误；
P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确；
P4＝3P2，故D正确．
7．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________．
答案　4
解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4.
8．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
答案　
解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝.
9．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
解　(1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8，
5次预报相当于5重伯努利试验．
“恰有2次准确”的概率为
P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”．
其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72.
所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
10．两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是.
(1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
(3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%
解　(1)共三种情况：
乙中靶甲不中靶，概率为×＝；
甲中靶乙不中靶，概率为×＝；
甲、乙全中靶，概率为×＝.
故所求概率是＋＋＝.
(2)共两类情况：
共中靶3次，概率为
C20×C11＋C11×C20＝ ；
共中靶4次，概率为
C20×C20＝，
故所求概率为＋＝.
(3)两人总共中靶至少1次的概率为1－C5×
C5＝1－＝＞0.99.所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%.
11．(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是(　　)
A．他三次都击中目标的概率是0.93
B．他第三次击中目标的概率是0.9
C．他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1
D．他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12
答案　ABD
解析　A正确；由每次射击击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为C×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C×0.9×0.12，D正确．
12．在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．[0.4,1) B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
答案　A
解析　由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，
解得p≥0.4，又∵013．(多选)若随机变量X～B，则P(X＝k)最大时，k的值可以为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　AB
解析　依题意得P(X＝k)＝C×k×5－k，
k＝0,1,2,3,4,5.
则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，P(X＝5)＝.
故当k＝1或2时，P(X＝k)最大．
14．某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________．
答案　
解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C×3×＝.
15．规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀．现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果．例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀：“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀．经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是(　　)
101 111 011 101 010 100 100 011 111 001
A. B.
C. D.
答案　B
解析　模拟实验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P＝＝，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C02＝.
16．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．
(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；
(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布．
解　(1)设“甲至多命中1个球”为事件A，
“乙至少命中1个球”为事件B，
由题意得，
P(A)＝4＋C13＝＋＝，
P(B)＝1－4＝1－＝，
∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12，
则P(η＝－4)＝4＝，
P(η＝0)＝C13＝，
P(η＝4)＝C22＝＝，
P(η＝8)＝C31＝，
P(η＝12)＝4＝.
故η的概率分布为
η －4 0 4 8 12
P

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