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习题课　二项分布、超几何分布、正态分布
学习目标　进一步掌握二项分布、超几何分布、正态分布．
一、二项分布及应用
例1　甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分(如图)，再将8个等分点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球，然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心O构造三角形．若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加．
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．
(1)求甲能参加音乐社团的概率；
(2)记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量X，求X的概率分布、均值和方差．
解　(1)从盒中随机摸出两个小球，即是从8个等分点中随机选取两个不同的分点，共有C＝28(种)，其中与圆心O构成直角三角形的取法有8种：A1A3O，A2A4O，A3A5O，A4A6O，A5A7O，A6A8O，A7A1O，A8A2O，与圆心O构成钝角三角形的取法有8种：A1A4O，A2A5O，A3A6O，A4A7O，A5A8O，A6A1O，A7A2O，A8A3O.
所以甲能参加音乐社团的概率为P＝＝.
(2)由题意可知，
X～B，X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
均值E(X)＝np＝3×＝，
方差D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
反思感悟　与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的且各事件是相互独立的．
(2)每次试验只有两种结果：发生或不发生．
(3)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数．
跟踪训练1　某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：
质量(g) [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55]
数量(只) 6 10 12 8 4
(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5,25)间的生蚝的个数为X，求X的概率分布及均值．
解　(1)由表格中的数据可估算出这批生蚝质量的平均数为
＝28.5(g)，
所以购进生蚝500 kg，
这批生蚝的数量为≈17544(只)．
(2)由表格中的数据可知，任意挑选一只，
质量在[5,25)的概率为＝，
由题意可知，X～B，
随机变量X的可能取值有0,1,2,3,4，
则P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，
P(X＝4)＝4＝.
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
因此随机变量X的均值为E(X)＝4×＝.
二、超几何分布及应用
例2　某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满500元的顾客，可以获得一次抽奖机会，有两种方案．方案一：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客一次性摸出2个球，规定摸到2个黑球奖励50元，1个黑球奖励20元，没有摸到黑球奖励15元．方案二：在抽奖的盒子中有除颜色外完全相同的2个黑球，3个白球，顾客不放回地每次摸出一个球，直到将所有黑球摸出则停止摸球，规定2次摸出所有黑球奖励50元，3次摸出所有黑球奖励30元，4次摸出所有黑球奖励20元，5次摸出所有黑球奖励10元．
(1)记X为1名顾客选择方案一时摸出黑球的个数，求随机变量X的均值；
(2)若你是1名要抽奖的顾客，你会选择哪种方案进行抽奖？并说明理由．
解　(1)方法一　易知X服从超几何分布，且N＝5，M＝2，n＝2，
故E(X)＝＝0.8.
方法二　X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
∴E(X)＝2×＋1×＋0×＝0.8.
(2)记Y为1名顾客选择方案一进行抽奖获得的奖金数额，则Y可取50,20,15.
P(Y＝50)＝＝，
P(Y＝20)＝＝，
P(Y＝15)＝＝，
∴E(Y)＝50×＋20×＋15×＝21.5.
记Z为1名顾客选择方案二进行抽奖获得的奖金数额，
则Z可取50,30,20,10.
P(Z＝50)＝＝，
P(Z＝30)＝＝，
P(Z＝20)＝＝，
P(Z＝10)＝＝.
∴E(Z)＝50×＋30×＋20×＋10×＝21.
E(Y)>E(Z)，
∴我会选择方案一进行抽奖．
反思感悟　超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
跟踪训练2　为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2 160度以下(含2 160度)，执行第一档电价0.565 3元/度；第二阶梯电量：年用电量2 161至4 200度(含4 200度)，执行第二档电价0.615 3元/度；第三阶梯电量：年用电量4 200度以上，执行第三档电价0.865 3元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，如表所示：
用户 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用 电量 (度) 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600
(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的概率分布．
解　(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4 600度，则该户本年度应交电费为4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4 200)×0.3＝2 822.38(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
故X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×
＝.
三、正态分布与二项分布的综合应用
例3　九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分．已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.
(1)计算联考成绩在137分以上的人数．(结果保留整数)
(2)从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.
①求成绩低于103分的概率．
②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的概率分布，并求出均值E(X)．
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　(1)设本次联考成绩为ξ，
由题意知ξ～N(μ，σ2)，其中σ＝12，μ＝113.
因为137＝μ＋2σ，
所以P(ξ>μ＋2σ)≈×(1－0.954)＝0.023，
故所求人数为0.023×5 000＝115.
(2)①P(ξ<103)＝P(ξ>123)＝1－0.8＝0.2.
②由题意可知X～B(5,0.2)，
故P(X＝0)＝0.85＝0.327 68，
P(X＝1)＝C×0.21×0.84＝0.409 6，
P(X＝2)＝C×0.22×0.83＝0.204 8，
P(X＝3)＝C×0.23×0.82＝0.051 2，
P(X＝4)＝C×0.24×0.81＝0.006 4，
P(X＝5)＝0.25＝0.000 32.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5
P 0.327 68 0.409 6 0.204 8 0.051 2 0.006 4 0.000 32
E(X)＝5×0.2＝1.
反思感悟　(1)利用正态分布的概率公式求得满足条件的概率，再乘以总人数，可得结果．
(2)利用正态分布的对称性求概率．
跟踪训练3　“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(38.45,50.4)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的概率分布和均值及方差．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ＝≈11.95；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　(1)根据频率分布直方图可得各组的频率为
(0,10]的频率为0.010×10＝0.1，
(10,20]的频率为0.020×10＝0.2，
(20,30]的频率为0.030×10＝0.3，
(30,40]的频率为0.025×10＝0.25，
(40,50]的频率为0.015×10＝0.15，
所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为
＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.
(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，
P(38.45＝[P(26.5－2×11.95P(26.5－11.95＝(0.954－0.683)÷2＝0.135 5，
∴Z落在(38.45,50.4)内的概率是0.135 5.
②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于(10,30)内的概率为0.2＋0.3＝0.5，
∴X～B，
X的可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝C4＝，
P(X＝1)＝C4＝，
P(X＝2)＝C4＝，
P(X＝3)＝C4＝，
P(X＝4)＝C4＝，
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
∴E(X)＝4×＝2，D(X)＝4××＝1.
1.知识清单：二项分布、超几何分布、正态分布.
2.方法归纳：转化化归、数形结合.
3.常见误区：注意区分超几何分布和二项分布.
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会都是p，则供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p) B．np
C．n D．p(1－p)
答案　B
解析　用电单位的个数X～B(n，p)，∴E(X)＝np.
2．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表所示：
使用时 间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率为概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由表可知元件使用寿命在30天以上的概率为＝，则所求概率为C2×＋3＝.
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于(　　)
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
答案　B
解析　∵P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，
∴μ＝＝4.
又P(2≤ξ≤6)＝1－P(ξ＜2)－P(ξ＞6)＝0.7，
∴P(2≤ξ＜4)＝＝0.35.
4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P(X＝4)＝________.(用数字表示)
答案　
解析　由题意得P(X＝4)＝＝.
课时对点练
1．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于(　　)
A．0.665 B．0.008 56
C．0.918 54 D．0.991 44
答案　D
解析　P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)
＝C×0.10×0.95＋C×0.1×0.94＋C×0.12×0.93
＝0.991 44.
2．已知随机变量X的概率分布为
X 0 1 2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×
＝，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝.
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于(　　)
A．C2× B．C2×
C.2× D.2×
答案　C
解析　P(X＝3)＝2×.
4．有8名学生，其中有5名男生，从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其均值E(X)等于(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
答案　B
解析　由题意可知X服从超几何分布，
∴E(X)＝＝2.5.
5．(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　)
A．P(X＝1)＝E(X)
B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4
D．D(X)＝
答案　AB
解析　随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，
∴P(X＝1)＝，
E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝2×＋2×＝，
对于A，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；
对于B，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝4，
故B正确；
对于C，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；
对于D，D(X)＝，故D错误．
6．若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是，则该随机变量的方差等于(　　)
A．10 B．100
C. D.
答案　C
解析　由正态分布密度曲线上的最高点为，
知＝，∴D(X)＝σ2＝.
7．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k，k＝0,1,2，…，300，则E(X)＝________.
答案　100
解析　由P(X＝k)＝C·k·300－k，
可知X～B，
∴E(X)＝300×＝100.
8．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为______．
答案　
解析　设抽取的两件产品中次品的件数为X，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2.
∴P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
9．已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
解　(1)由题意，得随机变量X的可能取值为0,1,2,3，
则X～B，
所以P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3，
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
10．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的均值．
解　取出4只球颜色及得分情况是
4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的概率分布为
X 5 6 7 8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
11．设随机变量ξ～N(μ，1)，函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，则P(0<ξ≤1)等于(　　)
附：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σP(μ－2σA．0.158 7 B．0.135 5
C．0.271 8 D．0.341 3
答案　B
解析　∵函数f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点，
∴二次方程x2＋2x－ξ＝0无实根，
∴Δ＝4－4(－ξ)<0，∴ξ<－1，
又∵f(x)＝x2＋2x－ξ没有零点的概率是0.5，
∴P(ξ<－1)＝0.5，
由正态曲线的对称性知μ＝－1，
∴ξ～N(－1,1)，∴μ＝－1，σ＝1，
∴μ－σ＝－2，μ＋σ＝0，μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝1，
∴P(－2<ξ<0)＝0.683，P(－3<ξ<1)＝0.954，
∴P(0<ξ≤1)＝[P(－3<ξ<1)－P(－2<ξ<0)]
＝(0.954－0.683)＝0.135 5.
12．在一次抽奖中，一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，其中有n个号码为中奖号码，若从中任意取出4个号码球，其中恰有1个中奖号码的概率为，则这10个小球中，中奖号码球的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　由题意，可得＝，
∴n(10－n)(9－n)(8－n)＝480，将选项中的值代入检验，知选C.
13．“石头、剪刀、布”又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　根据“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，
∴小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，比赛至第四局小军胜出，指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，
∴小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是P＝C×2××＝.
14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率为______．
答案　
解析　依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A，
则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A1；女生得2分男生得4分，设为事件A2；女生得4分男生得2分，设为事件A3，
则P(A1)＝×C3＝，
P(A2)＝×C2＝＝，
P(A3)＝×C2＝＝，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝.
15．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
答案　
解析　因为随机变量X～B(2，p)，且P(X≥1)＝，
所以P(X≥1)＝Cp(1－p)＋Cp2＝，
解得p＝或p＝(舍去)．
所以随机变量Y～B，
所以P(Y＝2)＝C2＝.
16．某市举办数学知识竞赛活动，共5 000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得0分，答对多选题得3分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩．
(1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩超过90分的人数；
(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题答对的概率为，多选题答对的概率为，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为Y，求Y的概率分布及均值．
附：P(μ－σ解　(1)∵学生初试成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，
其中μ＝66，σ2＝144，
∴μ＋2σ＝66＋2×12＝90，
∴P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)
≈×(1－0.954)＝0.023，
∴估计初试成绩超过90分的人数为0.023×5 000＝115.
(2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7，
则P(Y＝0)＝××＝，
P(Y＝2)＝C×××＝，
P(Y＝3)＝××＝，
P(Y＝4)＝××＝，
P(Y＝5)＝C×××＝，
P(Y＝7)＝××＝，
∴Y的概率分布为
Y 0 2 3 4 5 7
P
E(Y)＝0×＋2×＋3×＋4×＋5×＋7×＝.

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