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章末复习课
一、条件概率与全概率公式
1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率．
2．掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
例1　采购员要购买10个一包的电器元件．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，而其余包中各含1个次品．求：
(1)采购员拒绝购买的概率；
(2)在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的概率．
解　B1＝{取到的是含4个次品的包}，
B2＝{取到的是含1个次品的包}，
A＝{采购员拒绝购买}，
P(B1)＝，P(B2)＝.
P(A|B1)＝1－＝，
P(A|B2)＝1－＝.
(1)由全概率公式得到
P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)
＝×＋×＝.
(2)P(B1|A)＝＝＝.
反思感悟　条件概率的计算要注意以下三点：
(1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率．
(2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的互化．
(3)理解全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想．
跟踪训练1　某小组有20名射手，其中1,2,3,4级射手分别为2,6,9,3名．又若选1,2,3,4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85,0.64,0.45,0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为(　　)
A．0.542 2 B．0.612 3
C．0.527 5 D．0.324 5
答案　C
解析　设B表示“该小组比赛中射中目标”，
Ai(i＝1,2,3,4)表示“选i级射手参加比赛”，
则P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
＝×0.85＋×0.64＋×0.45＋×0.32＝0.527 5.
二、离散型随机变量的概率分布、均值和方差
1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛．
2．通过求离散型随机变量的概率分布，培养数学运算、逻辑推理等核心素养．
角度1　均值、方差的计算
例2　某学院为了调查本校学生4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图如图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；
(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的概率分布及均值E(Y)．
解　(1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.
(2)随机变量Y的所有可能取值为0,1,2，
且Y服从超几何分布．
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
所以Y的概率分布为
Y 0 1 2
P
所以Y的均值E(Y)＝1×＋2×＝.
反思感悟　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤
角度2　均值、方差在决策中的应用
例3　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？
解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”．
∵P(X＝5)＝×＝，
∴P(A)＝1－P(X＝5)＝，
∴这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)，
由已知，X1～B，X2～B，
∴E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.
∴E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
E(2X1)>E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大．
反思感悟　若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
跟踪训练2　甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.
(1)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
(2)用ξ表示乙投篮10次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及均值E(ξ)和方差D(ξ)；
(3)若η＝4ξ＋1.求E(η)和D(η)．
解　(1)记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.
则P(A1)＝，P(A2)＝，
P(A3)＝，
所以P(A)＝P(123)
＝P(1)·P(2)·P(3)
＝[1－P(A1)]·[1－P(A2)]·[1－P(A3)]
＝＝.
(2)根据题意ξ～B，其概率分布为P(ξ＝k)＝C·k·10－k(k＝0,1,2，…，10)，
E(ξ)＝10×＝4，
D(ξ)＝10××＝.
(3)E(η)＝4E(ξ)＋1＝4×4＋1＝17，
D(η)＝16·D(ξ)＝16×＝.
三、正态分布
1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用．
2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养．
例4　为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X服从正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．
(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值；
(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．
(参考数据：≈4.38，≈4.63，≈5.16，0.841 57≈0.298 8,0.841 56≈0.355 1,0.158 53≈0.004 0，0.158 54≈0.000 6，P(μ－σ解　(1)μ＝0.1×2＋0.2×6＋0.4×10＋0.2×14＋0.1×18＝10，
σ2＝s2＝2×(82×0.1＋42×0.2)＋(10－10)2×0.4＝19.2.
(2)由(1)知σ≈4.38，
∴μ＋σ＝10＋4.38＝14.38，
P(X>14.38)＝≈0.158 5，
设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A，
P(A)＝C×(0.158 5)3×(0.841 5)7≈0.143>0.003，
准点率正常．
反思感悟　利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题，并注意借助(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率值求解．并注意正态曲线与频率分布直方图的结合．
跟踪训练3　某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．
(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；
(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．
参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解　(1)因为学生的普通话测试成绩Y服从正态分布N(69,49)，所以μ＝69，σ＝7，
所以P(62≈＝0.84.
(2)因为总体平均分为μ＝69，
所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，
所以X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(3－1)2×＝.
1．投掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A表示“两次的点数均为奇数”，事件B表示“两次的点数之和为4”，则P(B|A)等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意知事件A包含的样本点是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点是(1,3)，(3,1)，共2个，所以P(B|A)＝.
2．设随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P
若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　　)
A．－ B.
C．2 D．4
答案　C
解析　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝0，D(X)＝(－1－0)2×＋(0－0)2×＋(1－0)2×＝，D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝2.
3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案　1.96
解析　由题意得X～B(100,0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.
4．下列命题中，正确的命题序号为________．
①已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝；
②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝－p；
④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大．
答案　②③④
解析　根据二项分布的均值和方差的公式，
可得E(X)＝np＝30，D(X)＝np(1－p)＝20，
解得p＝，所以①错误；
根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②正确；
由正态分布的图象的对称性可得P(－1<ξ≤0)＝＝＝－p，所以③正确；
由n重伯努利试验的概率的计算公式可得P(X＝8)＝C·(0.8)8(1－0.8)2，
由组合数的公式，可得当X＝8时取得最大值，所以④正确．

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