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第七章　随机变量及其分布　单元测试
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
第一部分（选择题60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(2021黑龙江哈尔滨第三中学高三下第一次模拟)已知某种产品的合格率是，合格品中的一级品率是，则这种产品的一级品率为（　　　）
A． B． C． D．
2．(2021四川南充高三第三次模拟)随机变量X的分布列为
X 0 1 m
P n
若E(X)＝1.1，则D(X)＝（　　　）
A．0.49 B．0.69 C．1 D．2
3．(2020江西南昌新建第一中学高二开学考试)已知随机变量X～N(2，1)，其正态密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（　　　）
(附:若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)
A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
4．(2021辽宁锦州高三一模)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，则μ＝（　　　）
A．－1 B．1 C．－2 D．2
5．(2021湖南长郡十五校高三下第二次联考)十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图)，并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物．2021年春节前，该课外兴趣小组中的2名成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上(即牛的图案在最上面)，2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为（　　　）
A． B． C． D．
6．(2021福建南平高三二模)企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查，抽样结果如下：
A品牌设备的使用年限 2 3 4 5
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌设备的使用年限 2 3 4 5
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析，下列说法正确的是（　　　）
A．不更换设备 B．更换为A品牌设备
C．更换为B品牌设备 D．更换为A或B品牌设备均可
7．(2021广东汕头高三三模)现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（　　　）
A． B． C． D．
8．(2021浙江绍兴高三下适应性考试)设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表所示，则（　　　）
X 0 1 2
P a a b
A．E(X)有最大值，D(X)有最大值 B．E(X)有最大值，D(X)无最大值
C．E(X)无最大值，D(X)有最大值 D．E(X)无最大值，D(X)无最大值
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．(2021吉林松原高三5月联考)已知＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（　　　）
X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)＜P(X＝1)
C．E(X)随着概率p的增大而减小
D．E(X)随着概率p的增大而增大
10．(2021辽宁沈阳郊联体高二上期末)已知随机变量X服从正态分布N(3，4)，则以下说法正确的是（　　　）
(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)
A．X的均值为3 B．X的标准差为4
C．P(X≤3)＝ D．P(－1≤X≤7)≈0.682 7
11．(2021江苏苏州昆山、太仓、苏州园三高二下期中联考)一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号分别为7，8，9，10，下列结论中正确的是（　　　）
A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布
B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布
C．若一次性地摸取4个球，则取到2个白球的概率为
D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球个数大于黑球个数的概率为
12．(2021河北唐山高三三模)下列说法正确的是（　　　）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成
功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
第二部分（非选择题90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为_______　　　　．
14．(2021山东德州高三二模)若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥5)＝P(X≤－1)＝0.2，则P(－1＜X＜2)＝___________．
15．(2021天津南大奥宇培训学校高三下学期高考模拟)1个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为　　　　；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　．
16．(2021重庆南开中学高三下学期3月第五次质量检测)李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题参与测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为_________．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分) (2021陕西高三下学期教学质量检测)某同学参加篮球投篮测试,罚球位上定位投篮投中的概率为，三步上篮投中的概率为，测试时罚球位上定位投篮投中得2分，三步上篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次．
（1）求“该同学罚球位上定位投篮投中且三步上篮投中1次”的概率；
（2）求该同学的总得分X的分布列和数学期望．
18．(本小题满分12分) 假设有3箱同种型号的零件，里面分别装有50件、30件和40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：
（1）先取出的零件是一等品的概率；
（2）两次取出的零件均为一等品的概率．
19．(本小题满分12分) (2021湖南永州高三下三模)某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1 000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表：
零件的尺寸 (2，2.03] (2.03，2.06] (2.06，2.09] 2.09以上
零件的个数 4 36 56 4
（1）将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06 mm的零件个数为随机变量X，求X的数学期望；
（2）假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069，0.012)．根据A公司长期的使用经验，
该厂提供的每批该零件中，Y＞m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品．请估计m的值(结果保留三位小数)．
附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝，则Z～N(0，1)，且P(Z≤1.28)≈0.9．
20．(本小题满分12分) (2021北京门头沟高三二模)京西某地到北京西站有莲石和阜石两条路，且到达西站所用时间互不影响．下表是该地区经这两条路抵达西站所用时长的频率分布表：
时长(分钟) [10，20] (20，30] (30，40] (40，50] (50，60]
莲石路(L1)的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
阜石路(L2)的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
已知甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间赶往西站(将频率视为概率)．
（1）甲、乙两人应如何选择各自的路径？
（2）按照（1）的方案，用X表示甲、乙两人按时抵达西站的人数，求X的分布列和数学期望．
21．(本小题满分12分) (2021河南九师联盟高三下联考)张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试．根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率都为，假设回答各个问题正确与否互不干扰．
（1）求张先生通过面试的概率；
（2）记本次面试张先生回答问题的个数为X，求X的分布列及数学期望．
22．(本小题满分12分) (2021湖南高三下联考)2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议．对此，中国外交部发言人表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺、不可违．某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄频率分布直方图如图所示．
（1）求这100名受访群众年龄的平均数和方差s2(同一组数据用该组区间的中点值代替)；
（2）由频率分布直方图可以认为，受访群众的年龄X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为，σ2近似为s2．
①求P(33.2≤X≤46.6)；
②从年龄在[45，55)，[65，75)的受访群众中，按分层抽样的方法，抽出7人参加访谈节目录制，再从这7人中随机抽出3人作为代表发言，设这3位发言人的年龄落在[45，55)内的人数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望．
参考数据：取≈13.4，若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．
参考答案
一、单项选择题
1．A；2．A；3．A；4．D；5．C；6．C；7．C；8．C．
二、多项选择题
9．BD；10．AC；11．ABD；12．AC．
三、填空题
13．0.2；14．0.3；15．5，；16．．
四、解答题
17．（1）设“该同学罚球位上定位投篮投中”为事件A，“三步上篮投中”为事件B，“该同学罚球位上定位投篮投中且三步上篮投中1次”为事件C，
则P(A)＝，P(B)＝，
所以P(C)＝×××＝．
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(X＝0)＝×××＝；
P(X＝1)＝×××＝＝；
P(X＝2)＝×××＋×××＝；
P(X＝3)＝×××＝＝；
P(X＝4)＝×××＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝3.1，
则该同学总得分的数学期望是3.1分．
18．（1）记事件Ai＝“任取的一箱为第i箱零件(i＝1，2，3)”，
记事件Bj＝“第j次取出的零件是一等品(j＝1，2)”，
由题意知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，P(B1|A3)＝＝0.6，
由全概率公式得P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＋P(A3)P(B1|A3)＝×(0.4＋0.4＋0.6)＝．
（2）P(B1B2|A1)＝＝，P(B1B2|A2)＝＝，P(B1B2|A3)＝＝．
由全概率公式得P(B1B2)＝P(A1)P(B1B2|A1)＋P(A2)P(B1B2|A2)＋P(A3)×P(B1B2|A3)＝×≈0.22．
19．（1）依题意可得，P(尺寸不大于2.06 mm)＝0.4，
所以X～B(1 000，0.4)，
所以E(X)＝1 000×0.4＝400．
（2）由题意得P(Y≤m)≈0.9，
令Z＝，则Y＝0.01Z＋2.069，
所以P(Y≤m)＝P(0.01Z＋2.069≤m)≈0.9，
所以P≈0.9，
又P(Z≤1.28)≈0.9，
所以＝1.28，
所以m≈2.082．
故m约为2.082．
20．（1）记Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内(包括40分钟)赶到西站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内(包括50分钟)赶到西站”，i＝1，2，
则有P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择路径L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择路径L2．
（2）用A，B分别表示按照（1）的选择方案，甲、乙两人在各自的时间内到达西站，
由（1）知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，且A，B相互独立，
易知X的可能取值是0，1，2，
P(X＝0)＝P ()＝0.4×0.1＝0.04，
P(X＝1)＝P (＋)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
P(X＝2)＝P(AB)＝0.6×0.9＝0.54，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
所以E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5．
21．（1）记张先生第i次答对面试官提出的问题为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，则P(Ai)＝，张先生前三个问题均回答正确为事件B，前三个问题回答正确两个且第四个问题回答正确为事件C，前四个问题回答正确两个且第五个问题回答正确为事件D，张先生通过面试为事件M，则M＝B＋C＋D．
根据题意，得P(B)＝＝，P(C)＝××＝，
P(D)＝××＝，
因为事件B，C，D两两互斥，所以P(M)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＝，
即张先生通过面试的概率为．
（2）根据题意知X的可能取值为3，4，5，
X＝3表明前面三个问题均回答错误(淘汰)或均回答正确(通过)，
所以P(X＝3)＝＋＝，
X＝4表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题回答错误(淘汰)，或前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确(通过)，
所以P(X＝4)＝×××＋××＝，
X＝5表明前面四个问题中有两个回答错误、两个回答正确，
所以P(X＝5)＝××＝．
所以X的分布列为
X 3 4 5
P
故E(X)＝3×＋4×＋5×＝．
22．（1）＝30×0.05＋40×0.1＋50×0.15＋60×0.35＋70×0.2＋80×0.15＝60，
s2＝(－30)2×0.05＋(－20)2×0.1＋(－10)2×0.15＋102×0.2＋202×0.15＝180．
（2）①由（1）知X～N(60，180)，
所以P(33.2≤X≤46.6)＝P(μ－2σ≤X≤μ－σ)≈＝0.135 9．
②按分层抽样抽取的7人中，年龄在[45，55)，[65，75)内的分别有3人，4人．
所以Y的可能取值为0，1，2，3，
则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
故Y的数学期望E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．

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