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第12课 功
1、了解自然界中存在的守恒量—能量的概念，知道什么是物体的动能，什么是物体的势能
2、知道功的概念及做功的两个要素
3、掌握功的量度、公式及单位，并能计算有关的实际问题
4、知道功是标量，知道正功和负功的区别
5、理解合外力做功、变力做功的计算方法
问题1：起重机竖直匀速提升重物时，起重机对重物施加力吗？方向如何？
问题2：这个力做功吗？如何计算？
问题3：当起重机水平方向匀速移动重物时，起重机对重物施加力吗？这个力做功了吗？
知识点01 功的理解
一、能量
1．伽利略斜面实验研究。实验现象：让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个对接斜面，没有摩擦时，hA=hB，如图所示。21教育网
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上.
(2)现象：小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同.
(3)结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能。
2．能量概念
（1）动能：物体由于运动而具有的能量。
（2）势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。
（3）能的转化：在伽利略的理想斜面实验中，小球的势能和动能可相互转化。
（4）能量是一个状态量，是标量，和物体所处的某一状态对应。
二、功
1、定义：一个物体受到力的作用，并且在这个力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2、做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移
3、公式：W＝Fcos（为F与的夹角）．其中F、、分别为力的大小、位移的大小力与位移方向的夹角。21cnjy.com
4、单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。
5、意义：功是能转化的量度，反映力对空间的积累效果。
6、说明
(1)公式只适用于恒力做功，位移是指力的作用点通过位移
(2)要分清“谁做功，对谁做功”。即：哪个力对哪个物体做功。
(3)做功过程是能量转化过程 ( http: / / www.21cnjy.com )，做功越多，能量转化得越多，因而功是能量转化的量度。能量是标量，相应功也是标量。功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。功是能量转化的量度，功是标量。【来源：21·世纪·教育·网】
(4)功大小只与F、、这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关。2-1-c-n-j-y
【典例1】
关于功，下列说法中正确的是( )
A．力和位移都是矢量，所以功也是矢量
B．功只有大小而无方向，所以功是标量
C．功的大小仅由力决定，力越大，做功越多
D．功的大小仅由位移决定，位移越大，做功越多
【典例2】
如图所示，质量分别为m1和m2的两个物 ( http: / / www.21cnjy.com )体，m1A. W1>W2 B. W1C. W1=W2 D. 条件不足，无法确定
【即学即练1】
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
【即学即练2】
如图所示的拖轮胎跑是一种体能训练活动。 ( http: / / www.21cnjy.com )某次训练中，轮胎的质量为5kg，与轮胎连接的拖绳与地面夹角为37°，轮胎与地面动摩擦因数是0.8。若运动员拖着轮胎以5m/s的速度匀速前进，则10s内运动员对轮胎做的功最接近的是(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)( )
A．500J B．750J C．1250J D．2000J
知识点02 正功和负功的判别和合力计算
一、力对物体做正功和负功的条件
由W＝Fcos可知
(1)当0≤<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当＝时，W＝0，力对物体不做功
二、正负功的物理意义
意义 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力对物体来说是动力 力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，向外输出能量（以消耗自身的能量为代价），即负功表示物体失去了能量
说明 不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反．功的正负既不表示大小也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功.
三、合外力做的功
当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法：21*cnjy*com
(1)先由W＝Fcos计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3……然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….【来源：21cnj*y.co*m】
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合cos计算总功，此时为F合的方向与的方向间的夹角.21*cnjy*com
注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1).
【典例1】
某人乘电梯从1楼到11楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是()21教育名师原创作品
A.始终做正功
B.加速时做正功，匀速和减速时做负功
C.加速和匀速时做正功，减速时做负功
D.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
【典例2】
下列说法正确的是( )（多选）
A.-10J的功小于+5J的功
B.功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C.一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D.功是矢量，正、负表示方向
【典例3】
关于各类恒力做功问题，下列说法正确的是( )
A.静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功
B.静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体做正功
C.作用力与反作用力所做的功一定大小相等，正负相反
D.一对平衡力可能同时做大小相等的正功
【即学即练1】
人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图中的a点运动到b点的过程中，以下说法正确的是( )
A.万有引力对卫星一直做正功
B.万有引力对卫星一直做负功
C.万有引力对卫星先做正功，再做负功
D.万有引力对卫星先做负功，再做正功
【即学即练2】
如图所示，系在轻绳上的A、B两球，从图示位置同时静止释放，两球向左摆过程中，下列说法中正确的是()
A.绳0A对A球做负功
B.绳OA对A球做正功
C.绳AB对A球做负功
D.绳AB对B球不做功
知识点03 变力做功的计算
1、等值法：
若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=Fcos计算21·cn·jy·com
2、微元法：
对于变力做功的求解也可以采用极限的思想和 ( http: / / www.21cnjy.com )微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因小段很小，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上的力也可视为不变的。那小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称元位移，力在元位移上的功称元功。这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和，即微元法求解变力做功。
比如，当物体在变力作用下做曲线运动时，若力 ( http: / / www.21cnjy.com )的方向与速度在同一直线上或与物体运动的切线方向成某一固定角度，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为每个小元段做功的代数和。如在圆形轨道上拉一物体，此时拉力方向与速度在一条直线上，求拉力所做的功；物体做曲线运动时，求滑动摩擦力做的功；物体做平抛运动时，求重力做的功；通过定滑轮拉一物体，求拉力做的功时都可采用微元法。www.21-cn-jy.com
3、平均值法：
在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的()，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式求此力所做的功。
利用平均值法求功的思路：首先求在某一段位移始、末两时刻受到的力，求其平均值，再计算平均力所做的功，即为变力在这段位移内的功。2·1·c·n·j·y
4、图像法：
功是描写力对空间的积累作用的，它的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积。如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。www-2-1-cnjy-com
利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出图线；最后利用几何关系求出图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。
5、用求恒定功率下的变力做功
功率的定义式变形公式中没有要求恒力条件，所以利用此式只要给出功率与过程经历的时间都可以计算出功率保持不变的情况下变力所做的功。
这种方法通常用于求机械做功的问题，如汽车的运动等。汽车以额定功率起动时，力F是变力，求某段时间内汽车牵引力做的功可以根据来计算。
【典例1】
如图所示，光滑的定滑轮到滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F(恒定)，滑块沿水平面由A点前进s至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功为 ___________
【典例2】
如图1所示，木板OA水平放置，长为 ( http: / / www.21cnjy.com )L，在A处放置一个质量为m的物体，现绕O点缓慢抬高A端，直到当木板转到与水平面成α角时停止转动(位置A′)．这时物体受到一个微小的干扰便开始缓慢匀速下滑，物体回到O点，在整个过程中(　　)
A．支持力对物体做的总功为0
B．摩擦力对物体做的总功为零
C．木板对物体做的总功为零
D．木板对物体做的总功为正功
【即学即练1】
以前机械化生产水平较低，人们经常通 ( http: / / www.21cnjy.com )过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为( )
A. 0
B. 500J
C. 500πJ
D. 1000πJ
【即学即练2】
如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0 B．FR
C．πFR D．2πFR
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，某段滑雪雪道倾角为，总质量的滑雪运动员从距底端高为处的雪道上由静止开始匀加速下滑，所受阻力为，g取，运动员从上向下滑到底端的过程中， 重力所做的功为（　　）
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A．4500 J B．5500 J C．5000 J D．6000 J
2．下列关于摩擦力做功的说法正确的是（　　）
A．静摩擦力发生在相对静止的物体之间，所以静摩擦力对物体一定不做功
B．滑动摩擦力对物体可能做负功，也可能做正功，但不可能不做功
C．一对相互作用的静摩擦力，若一个做正功，则另一个一定做负功
D．一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和总为零
3．关于功的正负，下列说法正确的是（　　）
A．功的正负表示功的方向 B．功的正负表示功的大小
C．功的正负表示物体运动方向 D．功的正负由力与位移的夹角决定
4．把一个物体竖直向上抛出去，该 ( http: / / www.21cnjy.com )物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为Ff，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中（　　）
A．重力所做的功为mgh
B．空气阻力所做的功为零
C．空气阻力做的功为2Ffh
D．物体克服空气阻力做的功为2Ffh
二、多选题
5．如图，在月球附近圆轨道上运行的“嫦娥二号”，到A点时变为椭圆轨道，B点是近月点，则（　　 ）
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A．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”受到月球的引力增大
B．从A点运动到B点过程中，月球对“嫦娥二号”的引力做负功
C．“嫦娥二号”在A点比在B点的速度小
D．“嫦娥二号”在A点比在B点的速度大
6．如图所示，小球质量为，悬线长为，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力的大小不变，重力加速度为，关于该过程，下列说法正确的是（　　）
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A．重力做的功为 B．悬线拉力做的功不为0
C．空气阻力做的功为 D．空气阻力做的功为
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s。质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为____________，因摩擦产生的热量为__________J。21世纪教育网版权所有
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8．—质量为m的物体从倾角为的固定长直斜面顶端由静止开始下滑，已知斜面与物体间的动摩擦因数与物体离开斜面顶端距离x之间满足（k为已知量），则物体刚下滑时加速度大小为_______________，从开始下滑到速度达到最大这一过程中摩擦力做功为________________，（重力加速度为g）
9．质量为m的物体（可视为质点）从地面上 ( http: / / www.21cnjy.com )方H高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为___________，重力势能___________（填“减少”或“增加”）了___________。
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10．如图所示，电梯由质量为1×103 ( http: / / www.21cnjy.com ) kg的轿厢、质量为8×102 kg的配重、定滑轮和钢缆组成，轿厢和配重分别系在绕过定滑轮的钢缆两端，定滑轮与钢缆的质量可忽略不计。在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，在轿厢由静止开始以2 m/s2的加速度向上运行1s的过程中，钢缆对轿厢的拉力所做的功为________J，电动机对电梯整体共做功________J。（取g=10 m/s2）【版权所有：21教育】
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11．用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉在进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同。已知击第一次时，钉子进入板内，则击第二次后，钉子进入木板的深度增加了___________。
12．质量为M的长木板放在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木块表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，则摩擦力对滑块做功为_____________，摩擦力对木块做功为_________。
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题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图1所示，蹦床比赛分成预备运 ( http: / / www.21cnjy.com )动和比赛动作最初运动员静止站在蹦床上在预备运动阶段，她经过若干次蹦跳逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。如图2所示，可以把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx（x为床面下沉的距离，k为常量）。运动员静止站在蹦床上时，床面下沉x0=0.10m；在比赛动作中，把该运动员视作质点。蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图3所示。设运动员在运动过程中不计空气阻力，g取10m/s2，结合图象，试分析下述问题:【出处：21教育名师】
（1）结合F-t图象，求蹦床运动员的质量；
（2）在比赛动作中，运动员离开蹦床面后上升的最大高度hm和运动员刚离开蹦床面时的速度大小；
（3））根据题中已知条件和F-t图象，求弹力大小公式F=kx中的k，并在图4中画出弹力F随形变量x变化的图象；
（4）物体做匀速直线运动时，物体的位移是x= ( http: / / www.21cnjy.com )vt，如图5所示是某物体做匀变速直线运动的v-t图象，根据图象的物理意义，它与横轴（时间轴）所围的梯形面积表示物体运动过程中发生的位移；同理，同学们在初中已经学过恒力做功的计算公式W=Fx，你能否从中得到启发，根据前面做出的F-x图象，求出从蹦床的压缩量为x1=1.0m到运动员刚好离开蹦床的过程中，蹦床对运动员所做的功
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14．如图所示，质量均为m=1. 0kg的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在水平地面上，B用轻绳通过光滑的定滑轮与静止在平台上的物块C相连（连接物块B的绳子竖直，连接物块C的绳子水平），物块C恰好能静止在平台上。已知物块C的质量M=2. 0kg，物块C与平台面间的动摩擦系数，弹簧的劲度系数k=100N/m。现用一水平向右的拉力F作用在物块C上，使物块C向右做匀加速直线运动，t=1s时A物块恰好离开地面. 已知重力加速度g=10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。 求：
（1）物块C做匀加速运动的加速度大小；
（2）A物块刚好离开地而前，拉力F所做的功。
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15．如图所示，平板A静置于水平地面上，物块B（可视为质点）置于平板最左端平板质量M=2kg，物块质量m=1kg，物块与平板间动摩擦因数μ1=0.5，平板与水平面间动摩擦因数2=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。t=0开始，物块B受到大小为10N的水平向右的力；t=1s时，力大小不变方向反向；t=1.5s时，撤去该力。整个过程中，物块始终未离开平板，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2求：
（1）t=1s时，物块和平板的速度大小；
（2）平板长度至少为多少？
（3）整个过程中，该力对物块所做的总功。
目标导航
知识精讲
F2
F1
θ
θ
m2
m1
能力拓展
分层提分
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第12课 功
1、了解自然界中存在的守恒量—能量的概念，知道什么是物体的动能，什么是物体的势能
2、知道功的概念及做功的两个要素
3、掌握功的量度、公式及单位，并能计算有关的实际问题
4、知道功是标量，知道正功和负功的区别
5、理解合外力做功、变力做功的计算方法
问题1：起重机竖直匀速提升重物时，起重机对重物施加力吗？方向如何？
问题2：这个力做功吗？如何计算？
问题3：当起重机水平方向匀速移动重物时，起重机对重物施加力吗？这个力做功了吗？
知识点01 功的理解
一、能量
1．伽利略斜面实验研究。实验现象：让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个对接斜面，没有摩擦时，hA=hB，如图所示。21世纪教育网版权所有
(1)过程：将小球由斜面A上某位置由静止释放，小球运动到斜面B上.
(2)现象：小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同.
(3)结论：这一事实说明某个量是守恒的，在物理学上我们把这个量叫作能量或者能。
2．能量概念
（1）动能：物体由于运动而具有的能量。
（2）势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。
（3）能的转化：在伽利略的理想斜面实验中，小球的势能和动能可相互转化。
（4）能量是一个状态量，是标量，和物体所处的某一状态对应。
二、功
1、定义：一个物体受到力的作用，并且在这个力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2、做功的两个必要因素：力和物体在力的方向上的位移
3、公式：W＝Fcos（为F与的夹角）．其中F、、分别为力的大小、位移的大小力与位移方向的夹角。21教育网
4、单位：国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J。
5、意义：功是能转化的量度，反映力对空间的积累效果。
6、说明
(1)公式只适用于恒力做功，位移是指力的作用点通过位移
(2)要分清“谁做功，对谁做功”。即：哪个力对哪个物体做功。
(3)做功过程是能量转化过程，做功越多，能 ( http: / / www.21cnjy.com )量转化得越多，因而功是能量转化的量度。能量是标量，相应功也是标量。功是描述力在空间位移上累积作用的物理量。功是能量转化的量度，功是标量。21cnjy.com
(4)功大小只与F、、这三个量有关．与物体是否还受其他力、物体运动的速度、加速度等其他因素无关。21·cn·jy·com
【典例1】
关于功，下列说法中正确的是( )
A．力和位移都是矢量，所以功也是矢量
B．功只有大小而无方向，所以功是标量
C．功的大小仅由力决定，力越大，做功越多
D．功的大小仅由位移决定，位移越大，做功越多
【解析】力和位移都是矢量，但是功 ( http: / / www.21cnjy.com )是标量，选项A错误；功只有大小而无方向，所以功是标量，选项B正确；功的大小由力、位移以及力和位移的夹角决定，力越大，做功不一定越多，位移越大，做功不一定越多，选项CD错误www.21-cn-jy.com
【答案】B
【典例2】
如图所示，质量分别为m1和m2的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个物体，m1A. W1>W2 B. W1C. W1=W2 D. 条件不足，无法确定
【解析】由题意可得F1和F2是恒力，物体移动的位移相同，并且力与位移的夹角相等，所以由功的公式可知，它们对物体做的功是相同的。【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】C
【即学即练1】
下面列举的哪几种情况下所做的功是零（ ）
A．卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功
B．平抛运动中，重力对物体做的功
C．举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功
D．木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功
【解析】A.卫星做匀速圆周运动，地球引力与卫星的运动方向垂直，所以对卫星做功为零，A不符合题意;
B.平抛运动中重力与运动方向的夹角小于90度，所以重力做正功，即不为零，B符合题意;
C.举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s的过程中，没有发生位移，所以做功为零，C不符合题意;
D.木块在粗糙水平面上滑动，支持力与运动方向垂直，即支撑力对木块不做功，即为零，D不符合题意。
【答案】B
【即学即练2】
如图所示的拖轮胎跑是一种体能训练活动。某次训 ( http: / / www.21cnjy.com )练中，轮胎的质量为5kg，与轮胎连接的拖绳与地面夹角为37°，轮胎与地面动摩擦因数是0.8。若运动员拖着轮胎以5m/s的速度匀速前进，则10s内运动员对轮胎做的功最接近的是(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2)( )
A．500J B．750J C．1250J D．2000J
【解析】对轮胎受力分析，如图，由平衡条件得：
得
代入数据解得：
10s内轮胎的位移为
10s内运动员对轮胎做功：
【答案】C
知识点02 正功和负功的判别和合力计算
一、力对物体做正功和负功的条件
由W＝Fcos可知
(1)当0≤<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当＝时，W＝0，力对物体不做功
二、正负功的物理意义
意义 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力对物体来说是动力 力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体获得了能量
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，向外输出能量（以消耗自身的能量为代价），即负功表示物体失去了能量
说明 不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方向与位移方向相反．功的正负既不表示大小也不表示方向，只表示是动力做功还是阻力做功.
三、合外力做的功
当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功的代数和.故计算合力的功有以下两种方法：21·世纪*教育网
(1)先由W＝Fcos计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3……然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋….www-2-1-cnjy-com
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合cos计算总功，此时为F合的方向与的方向间的夹角.21*cnjy*com
注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1).
【典例1】
某人乘电梯从1楼到11楼，在此过程中经历了先加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是()【版权所有：21教育】
A.始终做正功
B.加速时做正功，匀速和减速时做负功
C.加速和匀速时做正功，减速时做负功
D.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
【解析】支持力方向始终向上，运动方向始终向上，二者方向始终相同，所以支持力始终做正功
【答案】A
【典例2】
下列说法正确的是( )（多选）
A.-10J的功小于+5J的功
B.功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C.一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动
D.功是矢量，正、负表示方向
【解析】A.功的正负不代表大小，则-10J的功大于+5J的功，A错误;
BD.功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功，B正确，D错误;
C.一个力对物体做负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动，C正确。
【答案】BC.
【典例3】
关于各类恒力做功问题，下列说法正确的是( )
A.静摩擦力总是做正功，滑动摩擦力总是做负功
B.静摩擦力和滑动摩擦力都可能对物体做正功
C.作用力与反作用力所做的功一定大小相等，正负相反
D.一对平衡力可能同时做大小相等的正功
【解析】AB.静摩擦力和滑动摩擦力对物体均可做正功，也可做负功，也可以不做功，选项A错误，B正确;
C.作用力与反作用力可能对物体都做正功，选项C错误;
D.平衡力作用在同一个物体上，大小相等，方向相反，合力为零，所以一对平衡力在相同的时间内做的总功一定为零，即一2·1·c·n·j·y
对平衡力一定是做大小相等，正负相反的功，选项D错误。
【答案】B
【即学即练1】
人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由图中的a点运动到b点的过程中，以下说法正确的是( )
A.万有引力对卫星一直做正功
B.万有引力对卫星一直做负功
C.万有引力对卫星先做正功，再做负功
D.万有引力对卫星先做负功，再做正功
【解析】根据开普勒第二定律，近地点速度 ( http: / / www.21cnjy.com )大于远地点速度，由于图中万有引力与速度方向夹角先大于90，后小于90，故在此过程中万有引力对卫星先做负功，再做正功，所以D正确;ABC错误;2-1-c-n-j-y
【答案】C
【即学即练2】
如图所示，系在轻绳上的A、B两球，从图示位置同时静止释放，两球向左摆过程中，下列说法中正确的是()
A.绳0A对A球做负功
B.绳OA对A球做正功
C.绳AB对A球做负功
D.绳AB对B球不做功
【解析】OA绳的拉力始终与A球的速度方向垂直，所以绳OA对A球不做功，AB错误;
假设让A球和0A绳组成一个单摆，B球和OB绳组成另一个单摆，让两个单摆同时从图中位置向下摆动，根据单摆的周期公式可知4摆的周期小于B摆的周期，说明图中A球运动比B球运动快，则AB绳对A球的拉力与A球的瞬时速度方向夹角为钝角，所以AB绳对A球做负功;AB绳对B球的拉力与B球的瞬时速度方向夹角为锐角，所以AB绳对B球做正功，C正确，D错误。【出处：21教育名师】
【答案】C
知识点03 变力做功的计算
1、等值法：
若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=Fcos计算21教育名师原创作品
2、微元法：
对于变力做功的求解也可以 ( http: / / www.21cnjy.com )采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因小段很小，每段可视为一方向不变的位移，在这小位移上的力也可视为不变的。那小位移为无穷小量，可认为与轨迹重合，称元位移，力在元位移上的功称元功。这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和，即微元法求解变力做功。
比如，当物体在变力作用下做曲线运动时，若力的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向与速度在同一直线上或与物体运动的切线方向成某一固定角度，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可以认为恒力做功，总功即为每个小元段做功的代数和。如在圆形轨道上拉一物体，此时拉力方向与速度在一条直线上，求拉力所做的功；物体做曲线运动时，求滑动摩擦力做的功；物体做平抛运动时，求重力做的功；通过定滑轮拉一物体，求拉力做的功时都可采用微元法。21*cnjy*com
3、平均值法：
在求解变力功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的()，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式求此力所做的功。
利用平均值法求功的思路：首先求在某一段位移始、末两时刻受到的力，求其平均值，再计算平均力所做的功，即为变力在这段位移内的功。
4、图像法：
功是描写力对空间的积累作用的，它的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积。如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出图线；最后利用几何关系求出图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。
5、用求恒定功率下的变力做功
功率的定义式变形公式中没有要求恒力条件，所以利用此式只要给出功率与过程经历的时间都可以计算出功率保持不变的情况下变力所做的功。
这种方法通常用于求机械做功的问题，如汽车的运动等。汽车以额定功率起动时，力F是变力，求某段时间内汽车牵引力做的功可以根据来计算。
【典例1】
如图所示，光滑的定滑轮到滑块的高度为h，已知细绳的拉力为F(恒定)，滑块沿水平面由A点前进s至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为和。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功为 ___________
【解析】设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W=Fxcos直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：　
【答案】
【典例2】
如图1所示，木板OA水平放置 ( http: / / www.21cnjy.com )，长为L，在A处放置一个质量为m的物体，现绕O点缓慢抬高A端，直到当木板转到与水平面成α角时停止转动(位置A′)．这时物体受到一个微小的干扰便开始缓慢匀速下滑，物体回到O点，在整个过程中(　　)
A．支持力对物体做的总功为0
B．摩擦力对物体做的总功为零
C．木板对物体做的总功为零
D．木板对物体做的总功为正功
【解析】物块在上升的过程中，能量守恒， ( http: / / www.21cnjy.com )动能不变。物块相对于木板并没有滑动，所以物块受到的摩擦力对物块做的功为零。支持力对物块做功即为W=Gh=mglsinα；在下滑过程中，支持力与运动方向垂直，故不做功，因此在整个过程中，支持力做功为mglsinα；故A错误；
B、在物块在上升的过程中，物块相对于木板并没有滑动，所以物块受到的摩擦力对物块做的功为零；在下滑过程中，摩擦力做负功，W=-mgsinαL，故B错误；
C、在整个过程中，木块受到重力做功和木板对其做功，而重力做功和动能变化量为零，故木板对物体做的总功也为零，C正确，D错误；
【答案】C
【即学即练1】
以前机械化生产水平较低，人们 ( http: / / www.21cnjy.com )经常通过驴拉磨的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的平均作用力大小为500N，运动的半径为1m，则驴拉磨转动一周所做的功为( )
A. 0
B. 500J
C. 500πJ
D. 1000πJ
【解析】驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长L=2R=2m所以拉力所做的功W=FL=5002J=1000J
【答案】C
【即学即练2】
如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0 B．FR
C．πFR D．2πFR
【解析】虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR+π，则拉力做的功为πFR，故C正确。
【答案】C
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示，某段滑雪雪道倾角为，总质量的滑雪运动员从距底端高为处的雪道上由静止开始匀加速下滑，所受阻力为，g取，运动员从上向下滑到底端的过程中， 重力所做的功为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．4500 J B．5500 J C．5000 J D．6000 J
【答案】C
【详解】
根据题意可知，重力所做的功为
故ABD错误C正确。
故选C。
2．下列关于摩擦力做功的说法正确的是（　　）
A．静摩擦力发生在相对静止的物体之间，所以静摩擦力对物体一定不做功
B．滑动摩擦力对物体可能做负功，也可能做正功，但不可能不做功
C．一对相互作用的静摩擦力，若一个做正功，则另一个一定做负功
D．一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和总为零
【答案】C
【详解】
A．静摩擦力可以做正功、负功、不做功，A错误；
B．相对地面没有发生位移的物体滑动摩擦力对其做功为零，B错误；
C．一对静摩擦力作用的物体间无相对滑动，故位移始终相等，而二力大小相等，方向相反，故一个做正功，则另一个就做负功，C正确；
D．一对相互作用的滑动摩擦力做的功的代数和总为负，D错误。
故选C。
3．关于功的正负，下列说法正确的是（　　）
A．功的正负表示功的方向 B．功的正负表示功的大小
C．功的正负表示物体运动方向 D．功的正负由力与位移的夹角决定
【答案】D
【详解】
功是物体受到的力与物体在力的方向上位移的乘积，其定义式为
当力F与物体对地位移l夹锐角时 ( http: / / www.21cnjy.com )W为正值，夹钝角时W为负值，所以功的正负由力与位移的夹角决定；功是标量，功的正负即不表示方向，也不表示大小，也不表示运动方向，只是反映力对物体的运动所起的作用效果，或者说反映了能量转化的方向，故ABC错误，D正确。
故选D。
4．把一个物体竖直向上抛 ( http: / / www.21cnjy.com )出去，该物体上升的最大高度是h，若物体的质量为m，所受的空气阻力大小恒为Ff，则在从物体被抛出到落回抛出点的全过程中（　　）
A．重力所做的功为mgh
B．空气阻力所做的功为零
C．空气阻力做的功为2Ffh
D．物体克服空气阻力做的功为2Ffh
【答案】D
【详解】
A．物体被抛出到落回抛出点的全过程中，初、末位置相同，高度差为零，所以重力做功为零，故A错误；
BCD．在上升的过程中，空气阻力做功 ( http: / / www.21cnjy.com )为－Ffh，在下降的过程中，空气阻力做功为－Ffh，则整个过程中空气阻力做功为－2Ffh，即物体克服空气阻力做的功为2Ffh，故BC错误，D正确。
故选D。
二、多选题
5．如图，在月球附近圆轨道上运行的“嫦娥二号”，到A点时变为椭圆轨道，B点是近月点，则（　　 ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”受到月球的引力增大
B．从A点运动到B点过程中，月球对“嫦娥二号”的引力做负功
C．“嫦娥二号”在A点比在B点的速度小
D．“嫦娥二号”在A点比在B点的速度大
【答案】AC
【详解】
A．从A点运动到B点过程中，“嫦娥二号”距离月球的距离逐渐减小，可知受到月球的引力增大，选项A正确；
B．从A点运动到B点过程中，月球对“嫦娥二号”的引力做正功，选项B错误；
CD．根据开普勒第二定律可知，“嫦娥二号”在A点比在B点的速度小，选项C正确，D错误。
故选AC。
6．如图所示，小球质量为，悬线长为，小球在位置A时悬线水平，放手后，小球运动到位置，悬线竖直。设在小球运动过程中空气阻力的大小不变，重力加速度为，关于该过程，下列说法正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．重力做的功为 B．悬线拉力做的功不为0
C．空气阻力做的功为 D．空气阻力做的功为
【答案】AD
【详解】
AB．如图所示，因为拉力T在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A、B两点高度差L，所以
故A正确，B错误；
( http: / / www.21cnjy.com )
CD．空气阻力所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和，即
故C错误，D正确。
故选AD。
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图，水平传送带顺时针匀速运转，速度大小为2m/s。质量为1.5kg的货箱无初速度放上传送带，经过0.5s时间，货箱与传送带恰好相对静止。取重力加速度，则货箱与传送带之间的动摩擦因数为____________，因摩擦产生的热量为__________J。【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 0.4 3
【详解】
[1]货箱在摩擦力的作用下加速运动，根据牛顿第二定律可得
又
代入数据，解得
[2]根据摩擦力产生热量的公式，即
又
代入数据，解得
故可得因摩擦产生的热量为
8．—质量为m的物体从倾角为的固定长直斜面顶端由静止开始下滑，已知斜面与物体间的动摩擦因数与物体离开斜面顶端距离x之间满足（k为已知量），则物体刚下滑时加速度大小为_______________，从开始下滑到速度达到最大这一过程中摩擦力做功为________________，（重力加速度为g）
【答案】
【详解】
[1]时，动摩擦因数为零，则物体不受摩擦力，所以加速度大小为
[2]速度最大时，加速度为零，有
此时
解得
此时摩擦力为
因为摩擦力的大小与位移成正比关系则摩擦力做的功为
9．质量为m的物体（可视为质点）从地面上方 ( http: / / www.21cnjy.com )H高处由静止释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图所示，重力加速度为g，在此过程中，重力对物体做功为___________，重力势能___________（填“减少”或“增加”）了___________。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 mg（H＋h） 减少 mg（H＋h）
10．如图所示，电梯由质量为1 ( http: / / www.21cnjy.com )×103 kg的轿厢、质量为8×102 kg的配重、定滑轮和钢缆组成，轿厢和配重分别系在绕过定滑轮的钢缆两端，定滑轮与钢缆的质量可忽略不计。在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，在轿厢由静止开始以2 m/s2的加速度向上运行1s的过程中，钢缆对轿厢的拉力所做的功为________J，电动机对电梯整体共做功________J。（取g=10 m/s2）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 1.2×104 5.6×103
【详解】
[1]对轿厢受力分析，受到重力和钢缆的拉力，根据牛顿第二定律可得
解得
1s内通过的位移为
钢缆对轿厢的拉力所做的功为
[2]对于质量为8×102kg的配重，牵引力做负功，其值为W′。根据牛顿第二定律得
解得
因此起重机对配重做负功
所以电动机对电梯共做功为
11．用锤击钉，设木板对钉子的阻力跟钉在进入木板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同。已知击第一次时，钉子进入板内，则击第二次后，钉子进入木板的深度增加了___________。
【答案】
【详解】
由题意可知，阻力F与深度d成正比，F-d图像如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
图像与坐标轴所形成图形的面积等于力所做的功，每次钉钉子时做功相同，如图所示可得：力与深度成正比，则
两次做功相同
解得
第二次钉子进入木板的深度
12．质量为M的长木板放在光滑的水平面上， ( http: / / www.21cnjy.com )一个质量为m的滑块以某一速度沿木块表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，如图所示。若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，则摩擦力对滑块做功为_____________，摩擦力对木块做功为_________。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】 μmgx
【详解】
[1]滑块受摩擦力的方向与运动方向相反，大小为
滑块与地面的相对位移为
所以摩擦力对滑块做的功为
[2]木板受到滑块的摩擦力向前了x距离，摩擦力对木板做的功为
题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图1所示，蹦床比赛分成预 ( http: / / www.21cnjy.com )备运动和比赛动作最初运动员静止站在蹦床上在预备运动阶段，她经过若干次蹦跳逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。如图2所示，可以把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx（x为床面下沉的距离，k为常量）。运动员静止站在蹦床上时，床面下沉x0=0.10m；在比赛动作中，把该运动员视作质点。蹦床对运动员的弹力F随时间t的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图3所示。设运动员在运动过程中不计空气阻力，g取10m/s2，结合图象，试分析下述问题:
（1）结合F-t图象，求蹦床运动员的质量；
（2）在比赛动作中，运动员离开蹦床面后上升的最大高度hm和运动员刚离开蹦床面时的速度大小；
（3））根据题中已知条件和F-t图象，求弹力大小公式F=kx中的k，并在图4中画出弹力F随形变量x变化的图象；
（4）物体做匀速直线运动 ( http: / / www.21cnjy.com )时，物体的位移是x=vt，如图5所示是某物体做匀变速直线运动的v-t图象，根据图象的物理意义，它与横轴（时间轴）所围的梯形面积表示物体运动过程中发生的位移；同理，同学们在初中已经学过恒力做功的计算公式W=Fx，你能否从中得到启发，根据前面做出的F-x图象，求出从蹦床的压缩量为x1=1.0m到运动员刚好离开蹦床的过程中，蹦床对运动员所做的功
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）50kg；（2）3.2m，；（3）， ( http: / / www.21cnjy.com )；（4）2500J
【详解】
（1）据F t图象得到运动员的重力为500N，故运动员的质量为50kg。
（2）运动员在空中运动的时间为t=1.6s
运动员刚离开蹦床面时的速度大小
（3）人处于静止状态时，根据平衡条件
解得
弹力F随形变量x变化的图象
( http: / / www.21cnjy.com )
（4）利用F-x图象可知，图线与横轴所包围的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积大小等于弹簧弹力做功的大小，从蹦床的压缩量为x1=1.0m到运动员刚好离开蹦床的过程中，蹦床对运动员所做的功为
14．如图所示，质量均为m=1. 0kg的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在水平地面上，B用轻绳通过光滑的定滑轮与静止在平台上的物块C相连（连接物块B的绳子竖直，连接物块C的绳子水平），物块C恰好能静止在平台上。已知物块C的质量M=2. 0kg，物块C与平台面间的动摩擦系数，弹簧的劲度系数k=100N/m。现用一水平向右的拉力F作用在物块C上，使物块C向右做匀加速直线运动，t=1s时A物块恰好离开地面. 已知重力加速度g=10m/s2，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。 求：
（1）物块C做匀加速运动的加速度大小；
（2）A物块刚好离开地而前，拉力F所做的功。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）开始时物块C恰好保持静止，则C受到绳子的拉力为
对物块B受力分析可知
解得
即弹簧压缩量为
A刚好离开地面时，对A受力分析有
解得
则在内，物块C做匀加速运动的位移
则由运动学公式知
解得
（2）把B、C看成整体，对B、C整体受力分析，由牛顿第二定律可知
整理可得
则与的关系图象如图所示
( http: / / www.21cnjy.com )
当时，
该过程拉力所做的功
.
15．如图所示，平板A静置于水平地面上，物块B（可视为质点）置于平板最左端平板质量M=2kg，物块质量m=1kg，物块与平板间动摩擦因数μ1=0.5，平板与水平面间动摩擦因数2=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。t=0开始，物块B受到大小为10N的水平向右的力；t=1s时，力大小不变方向反向；t=1.5s时，撤去该力。整个过程中，物块始终未离开平板，不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2求：
（1）t=1s时，物块和平板的速度大小；
（2）平板长度至少为多少？
（3）整个过程中，该力对物块所做的总功。
【答案】（1）5 m/s，1m/s；（2）2.5 m；（3）
【详解】
（1）物块的加速度大小为
解得
平板的加速度大小为
解得
所以t=1 s时，物块的速度大小为
平板的速度大小为
（2）0~1 s，物块相对于平板的位移大小为
第1 s末，力反向，大小不变
物块的加速度大小为
解得
平板的加速度不变，令经历t1时间两者共速。则
解得
共速时的速度大小为
物块相对平板的位移大小为
随后物块相对于平板向左运动，所以平板的长度至少为
（3）物块与平板达到共同速度v后，物块相对于平板向左运动。物块的加速度为
解得。令再经历t2时间，物块速度减为零，则
解得
即t=1.5 s刚撤去外力时，物块速度恰好减为零。
整个过程中，外力对物块所做的总功为
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θ
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