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第14课 动能 动能定理
1、理解动能的概念，知道其表达式的确定过程；
2、理解动能定理物理意义及其推导过程；
3、知道动能定理的适用条件，学会动能定理的简单应用
( http: / / www.21cnjy.com )
问题1：动能与那些因素有关
问题2：动能是否可以为负值
问题3：动能
知识点01 动能的定义
一、探究动能的表达式。
设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒定外力F的作用下发生一段位移，速度由v1增加到v2，如何用m和v表示力F做的功。21*cnjy*com
根据牛顿第二定律
由运动学方程得
由物体位移和做功之间的关系
图 1
很可能是一个具有特定意义的物理量，因为这个量在过程终了与过程开始时的差，正好等于力对物体做的功，所以“”应该就是我们寻找的动能表达式。
上节的实验表明力对初速度为零的物体所做的功与物体的二次方成正比。只要将表达式中的就可以得到W＝，由于外力做功使物体得到动能，所以就是物体获得的动能，这样我们就得到了动能与质量和速度的定量关系：
用表示动能，则计算动能的公式为：。即物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半。
由以上推导过程可以看出，动能与功 ( http: / / www.21cnjy.com )一样，也是标量，不受速度方向的影响。它在国际单位制中的单位也是焦耳（J）。一个物体处于某一确定运动状态，它的动能也就对应于某一确定值，因此动能是状态量。【来源：21cnj*y.co*m】
说明：在此强调功是能量转化的量度，做功对应能的变化，力对物体做正功物体对应的能量增加，反之减小，做功对应的不是能而是能量的变化，做功的力很多，如：重力，弹力等。举例在前面的学习中我们已有所体会重力做功对应重力势能的变化即：,弹力做功对应弹性势能的变化即：。
下面通过一个简单的例子，加深同学对动能概念及公式的理解。
试比较下列每种情况下，甲、乙两物体的动能：（除下列点外，其他情况相同）
① 物体甲的速度是乙的两倍； ② 物体甲向北运动，乙向南运动；
③ 物体甲做直线运动，乙做曲线运动； ④ 物体甲的质量是乙的一半。
总结：动能是标量，与速度方向无关；动能与速度的平方成正比，因此速度对动能的影响更大。
【典例1】
多选一物体做变速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体加速度一定不为零
【典例2】
对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是__________
①速度在改变，动能也在改变
②速度改变，动能不变
③速度不变，动能改变
④动能、速度都不变
【即学即练1】
下列情况中,甲、乙两物体的动能不相等的是（ ）
A. 甲的质量是乙的2倍，速度是乙的1/2
B. 甲的质量是乙的4倍，速度是乙的1/2
C. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲作直线运动，乙作曲线运动
D. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲向上运动，乙向下运动
【即学即练2】
对于质量不变的同一物体,下述说法中正确的是
A. 动能相等时,速度必然相等
B. 动能不等时,速度必然相等
C. 速度相等时,动能必然相等
D. 速度不等时,动能必然不等
知识点02 动能定理
①动能定理的推导
将刚才推导动能公式的例子改动 ( http: / / www.21cnjy.com )一下：假设物体原来就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，经过一段位移s，速度达到v2，如图2，则此过程中，外力做功与动能间又存在什么关系呢？2-1-c-n-j-y
外力F做功：W1＝Fs
摩擦力f做功：W2＝－fs
外力做的总功为：
可见，外力对物体做的总功等于物体在这一运 ( http: / / www.21cnjy.com )动过程中动能的增量。其中F与物体运动同向，它做的功使物体动能增大；f与物体运动反向，它做的功使物体动能减少。它们共同作用的结果，导致了物体动能的变化。21教育名师原创作品
问：若物体同时受几个方向任意的外力作用，情况又如何呢？引导学生推导出正确结论并板书：
外力对物体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定理。
用表示外力对物体做的总功，用表示物体初态的动能，用表示末态动能，则动能定理表示为：
②对动能定理的理解
动能定理是学生新接触的力学中又一条重要规律
a．对外力对物体做的总功的理解
有的力促进物体运动，而有的力则阻碍物体运动。因此它们做的功就有正、负之分，总功指的是各外力做功的代数和；又因为＝W1+W2+…＝F1·s+F2·s+…＝·s，所以总功也可理解为合外力的功。
b．对该定理标量性的认识
因动能定理中各项均为标量，因此单 ( http: / / www.21cnjy.com )纯速度方向改变不影响动能大小。如匀速圆周运动过程中，合外力方向指向圆心，与位移方向始终保持垂直，所以合外力做功为零，动能变化亦为零，并不因速度方向改变而改变。
③.适用范围
（1）既适用于恒力做功也适用于变力做功过程；
（2）它的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的系统；
（3）它的研究过程既可以是单个过程也可以是多个过程。
④ 解题步骤
（1）明确研究对象及所研究的物理过程。
（2）对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功，求这些力的功的代数和。
（3）确定始、末态的动能。（未知量用符号表示），根据动能定理列出方程
（4）求解方程、分析结果
【典例1】
一架喷气式飞机，质量m=5×103 ( http: / / www.21cnjy.com )kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。
【典例2】
将质量m=2kg的一块石头 ( http: / / www.21cnjy.com )从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
【即学即练1】
一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）21cnjy.com
A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J
【即学即练2】
在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. B. C. D.
1、动能：物体做机械运动具有的能量。
2、动能影响因素：物体质量和相对速度大小
3、外力对物体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定理。
用表示外力对物体做的总功，用表示物体初态的动能，用表示末态动能，则动能定理表示为：
【典例1】
从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：21教育网
（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
（2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
【即学即练1】
一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧 ( http: / / www.21cnjy.com )接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．21·cn·jy·com
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示为某品牌的电动车，质量为60kg，电动车行驶时所受阻力大小为车和人总重力的0.05倍。一质量为40kg的人骑着该电动车在水平地面上由静止开始以额定功率行驶，5s内行驶了15m，速度达到5m/s。已知重力加速度为。该电动车以额定功率行驶能达到的最大速度为（　　）
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A．5m/s B．7m/s C．8m/s D．9m/s
2．2022年2月4日，第2 ( http: / / www.21cnjy.com )4届冬季奥林匹克运动会在我国首都北京开幕，北京成为历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。冬奥期间，越来越多的人参与到这场冰雪盛宴中。图示为某滑雪游乐园的项目之一，一滑雪爱好者（可视为质点）从离水平地面高为H的平台A处由静止滑下，从B处进入半径为R的圆弧轨道（斜面AB与圆弧BC平滑连接，圆弧BC所对应圆心角为45°）、再从C点滑出，刚好在D点落到斜面DE上。右侧平台高度和宽度均为h重力加速度为g，忽略所有阻力影响，则以下说法正确的是（　　）www.21-cn-jy.com
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A．滑雪爱好者在圆弧轨道上经过B点时对轨道的压力大小为
B．H=2h
C．滑雪爱好者在CD段运动的最小速度为
D．滑雪爱好者在CD段运动的时间为
3．如图所示，半球形容器固 ( http: / / www.21cnjy.com )定在水平面上，AB是其水平直径，O为球心，容器的半径为R，一个质量为m的小物块从A点由静止释放，第一次运动到P点时物块对容器的压力大小等于其重力，OP与水平方向的夹角为37°，重力加速度为g，则物块从A点第一次运动到P点克服摩擦力做功为（　　）
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A． B． C． D．
4．某人在竖直方向上高度不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )M、N两点先后水平抛出质量相同的两个小石块，两个小石块均经过地面上方的O点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）2·1·c·n·j·y
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A．在M点抛出的小石块飞行过程中加速度更大
B．在N点抛出小石块时对小石块做的功较大
C．在M点抛出的小石块飞行的时间更长
D．在N点抛出的小石块着地时所受重力的瞬时功率较大
二、多选题
5．如图甲，质量0.5kg的小物块 ( http: / / www.21cnjy.com )从右侧滑上匀速转动的水平传送带，其位移与时间的变化关系如图乙所示。图线的0~3s段为抛物线，3s~4.5s段为直线，下列说法正确的是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带速度大小为2m/s
C．物块刚滑上传送带时的速度大小为4m/s
D．0~4.5s内摩擦力对物块所做的功为J
6．如图甲所示，木板与水平面间的夹角可调，可视为质点的小物块从木板的底端以初速度沿木板向上运动。保持大小恒定，改变，小物块沿木板向上滑动的最大距离s随之改变，根据实验数据描绘出的“”曲线如图乙所示。若木板足够长且木板与物块之间的动摩擦因数为，取重力加速度，则（ ）21·世纪*教育网
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A．物块的初速度大小为6m/s
B．当物块沿木板上滑距离最短时，木板与水平面的夹角为53°
C．当物块沿木板上滑距离最短时，木板与水平面的夹角为60°
D．物块沿木板上滑的最短距离为
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，质量为m的 ( http: / / www.21cnjy.com )物块在水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则重力做功为______，恒力F做功为________，物块的末动能为________，物块克服摩擦力做功为________。【出处：21教育名师】
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8．质量为的滑块，以的初速度在光滑水平面上向左直线滑行，从某一时刻起在滑块上施加一水平向右的力．经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为，则在这段时间内力所做的功为__________。【版权所有：21教育】
9．质量的物体在水平面上滑行，其动能随位移变化的规律如图所示，则物体与水平面间的动摩擦因数为______。（g取）21*cnjy*com
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10．质量为m的汽车在平直公路上以速度匀速行驶，发动机的功率为，司机为合理进入限速区，减小了油门，使汽车功率立即减小为并保持该功率继续行驶，设汽车行驶过程中所受阻力大小不变，从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系如图所示，则在时间内，汽车的牵引力大小________（填“增大”、“减小”或“不变”），该过程中汽车行驶的位移为________。
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11．快递员驾驶电动车配送货物，人 ( http: / / www.21cnjy.com )和车的质量为250kg，货物的质量为50kg，送货和返回过程电动车的v-t图像如图所示，两过程中电动车都是先匀加速启动，后保持额定功率行驶。已知电动车受到的阻力与其总重力成正比，匀加速的最大速度均为2.4m/s，则电动车的额定功率为_________W；返回时电动车的最大速度为_________ m/s。（g取10m/s2）
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12．质量为0.1 kg的小球从高 ( http: / / www.21cnjy.com )处由静止落下，最初4s内小球动能Ek随时间的二次方t2变化的图像如图所示，g取10 m/s2.；根据图像可确定小球下落的运动______自由落体运动（选填“是”或“不是”），理由是_______。
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题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图所示，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量为m=1kg可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度．在平台的右端有一传送带，AB长为L=12m，与传送带相邻的粗糙水平面BC长为x=4m，物块与传送带及水平面BC间的动摩擦因数均为，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直半圆弧与BC平滑连接，在半圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来．若传送带以的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失．当弹簧储存的能量全部释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的E点（取g=10m/s2）．
（1）求滑块被弹簧弹出时的速度；
（2）求右侧圆弧的轨道半径R；
（3）若传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调范围．
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14．如图所示，质量m=0.1k ( http: / / www.21cnjy.com )g的小球从距地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁的右端圆弧切入，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上飞出……，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小球与槽壁口接触时的能量损失，（取g=10m/s2）。求：21世纪教育网版权所有
（1）小球第一次离槽上升的高度H1；
（2）小球最多能飞出槽外的次数。
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15．如图甲所示，一台起重 ( http: / / www.21cnjy.com )机将质量m=200kg的重物由静止开始竖直向上匀加速提升，4s末达到额定功率，之后保持该功率继续提升重物，5s末重物达到最大速度vm。整个过程中重物的v-t图像如图乙所示。取g=10m/s2，不计额外功率。试计算：www-2-1-cnjy-com
(1)起重机的额定功率P；
(2)重物的最大速度vm；
(3)前5s起重机的平均功率。
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知识精讲
h
H
2-7-2
能力拓展
2-7-6
分层提分
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第14课 动能 动能定理
1、理解动能的概念，知道其表达式的确定过程；
2、理解动能定理物理意义及其推导过程；
3、知道动能定理的适用条件，学会动能定理的简单应用
( http: / / www.21cnjy.com )
问题1：动能与那些因素有关
问题2：动能是否可以为负值
问题3：动能
知识点01 动能的定义
一、探究动能的表达式。
设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒定外力F的作用下发生一段位移，速度由v1增加到v2，如何用m和v表示力F做的功。2·1·c·n·j·y
根据牛顿第二定律
由运动学方程得
由物体位移和做功之间的关系
图 1
很可能是一个具有特定意义的物理量，因为这个量在过程终了与过程开始时的差，正好等于力对物体做的功，所以“”应该就是我们寻找的动能表达式。
上节的实验表明力对初速度为零的物体所做的功与物体的二次方成正比。只要将表达式中的就可以得到W＝，由于外力做功使物体得到动能，所以就是物体获得的动能，这样我们就得到了动能与质量和速度的定量关系：www.21-cn-jy.com
用表示动能，则计算动能的公式为：。即物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半。
由以上推导过程可以看出，动 ( http: / / www.21cnjy.com )能与功一样，也是标量，不受速度方向的影响。它在国际单位制中的单位也是焦耳（J）。一个物体处于某一确定运动状态，它的动能也就对应于某一确定值，因此动能是状态量。【来源：21·世纪·教育·网】
说明：在此强调功是能量转化的量度，做功对应能的变化，力对物体做正功物体对应的能量增加，反之减小，做功对应的不是能而是能量的变化，做功的力很多，如：重力，弹力等。举例在前面的学习中我们已有所体会重力做功对应重力势能的变化即：,弹力做功对应弹性势能的变化即：。21*cnjy*com
下面通过一个简单的例子，加深同学对动能概念及公式的理解。
试比较下列每种情况下，甲、乙两物体的动能：（除下列点外，其他情况相同）
① 物体甲的速度是乙的两倍； ② 物体甲向北运动，乙向南运动；
③ 物体甲做直线运动，乙做曲线运动； ④ 物体甲的质量是乙的一半。
总结：动能是标量，与速度方向无关；动能与速度的平方成正比，因此速度对动能的影响更大。
【典例1】
多选一物体做变速运动时，下列说法正确的是（ ）
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体加速度一定不为零
【答案】 BD
【解析】考察学生对涉及力、速度、加速 ( http: / / www.21cnjy.com )度、功和动能各物理量的牛顿定律和动能定理的理解。只要考虑到匀速圆周运动的例子，很容易得到正确答案B、D。【出处：21教育名师】
【典例2】
对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是__________
①速度在改变，动能也在改变
②速度改变，动能不变
③速度不变，动能改变
④动能、速度都不变
【答案】 ②
【解答】 速度是矢量，大小不变方向在变；动能是标量，大小方向都不变。
【即学即练1】
下列情况中,甲、乙两物体的动能不相等的是（ ）
A. 甲的质量是乙的2倍，速度是乙的1/2
B. 甲的质量是乙的4倍，速度是乙的1/2
C. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲作直线运动，乙作曲线运动
D. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲向上运动，乙向下运动
【答案】A
【解答】A. 动能表达式是：Ek=1/2mv2,甲的质量是乙的2倍,速度是乙的1/2,故Ek甲:Ek乙=1:2，故A正确；21*cnjy*com
B. 动能表达式是：Ek=1/2mv2,甲的质量是乙的4倍,速度是乙的1/2,故Ek甲:Ek乙=1:1，故B错误；
C. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲作直线运动，乙作曲线运动，动能一定相等，动能是标量，无方向，故C错误；
D. 甲、乙的质量、速度大小分别相等，但甲向上运动，乙向下运动；动能是标量，无方向，故动能一定相等；故D错误。
【即学即练2】
对于质量不变的同一物体,下述说法中正确的是
A. 动能相等时,速度必然相等
B. 动能不等时,速度必然相等
C. 速度相等时,动能必然相等
D. 速度不等时,动能必然不等
【答案】C
【解答】动能是标量，没有方向的 ( http: / / www.21cnjy.com )，速度是矢量，有方向的，动能相等的时候，由于m相等，所以v相等，这里的v是指速率，不是速度。也就是说，速率相等，方向不同的话速度就不同了，因此A错。同样道理，速率相等，方向不同就有相同动能，因此D也是错的。
知识点02 动能定理
①动能定理的推导
将刚才推导动能公式的例子改动一下： ( http: / / www.21cnjy.com )假设物体原来就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，经过一段位移s，速度达到v2，如图2，则此过程中，外力做功与动能间又存在什么关系呢？
外力F做功：W1＝Fs
摩擦力f做功：W2＝－fs
外力做的总功为：
可见，外力对物体做的总功等于物体在这一运动 ( http: / / www.21cnjy.com )过程中动能的增量。其中F与物体运动同向，它做的功使物体动能增大；f与物体运动反向，它做的功使物体动能减少。它们共同作用的结果，导致了物体动能的变化。
问：若物体同时受几个方向任意的外力作用，情况又如何呢？引导学生推导出正确结论并板书：
外力对物体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定理。
用表示外力对物体做的总功，用表示物体初态的动能，用表示末态动能，则动能定理表示为：
②对动能定理的理解
动能定理是学生新接触的力学中又一条重要规律
a．对外力对物体做的总功的理解
有的力促进物体运动，而有的力则阻碍物体运动。因此它们做的功就有正、负之分，总功指的是各外力做功的代数和；又因为＝W1+W2+…＝F1·s+F2·s+…＝·s，所以总功也可理解为合外力的功。
b．对该定理标量性的认识
因动能定理中各项均为标量，因此单纯 ( http: / / www.21cnjy.com )速度方向改变不影响动能大小。如匀速圆周运动过程中，合外力方向指向圆心，与位移方向始终保持垂直，所以合外力做功为零，动能变化亦为零，并不因速度方向改变而改变。
③.适用范围
（1）既适用于恒力做功也适用于变力做功过程；
（2）它的研究对象既可以是单个物体，也可以是几个物体所组成的系统；
（3）它的研究过程既可以是单个过程也可以是多个过程。
④ 解题步骤
（1）明确研究对象及所研究的物理过程。
（2）对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功，求这些力的功的代数和。
（3）确定始、末态的动能。（未知量用符号表示），根据动能定理列出方程
（4）求解方程、分析结果
【典例1】
一架喷气式飞机，质量m= ( http: / / www.21cnjy.com )5×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。
【答案】1.8×104
【解答】取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G、支持力N、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示【版权所有：21教育】
2-7-1
各力做的功分别为WG=0，WN=0，WF=Fs，Wf=-kmgs.
起飞过程的初动能为0，末动能为
据动能定理得：
代入数据得：
【典例2】
将质量m=2kg的一块石头从 ( http: / / www.21cnjy.com )离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）
【答案】820N
【解答】
石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
。
所以，泥对石头的平均阻力
N=820N。
【即学即练1】
一质量为0.3㎏的弹性小球 ( http: / / www.21cnjy.com )，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）www-2-1-cnjy-com
A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J
【答案】BC
【解答】
由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理
【即学即练2】
在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解答】
小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
，
解得小球着地时速度的大小为 。
正确选项为C。
1、动能：物体做机械运动具有的能量。
2、动能影响因素：物体质量和相对速度大小
3、外力对物体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定理。
用表示外力对物体做的总功，用表示物体初态的动能，用表示末态动能，则动能定理表示为：
【典例1】
从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：【来源：21cnj*y.co*m】
（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
（2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
【答案】
【解答】：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0
解得
(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0
解得
【即学即练1】
一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在 ( http: / / www.21cnjy.com )水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
【答案】h/s
【解答】设该斜面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则
对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk．
mglsinα－μmglcosα－μmgS2=0
得　　　　　 　　 h－μS1－μS2=0．
式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故
题组A 基础过关练
一、单选题
1．如图所示为某品牌的电动车，质量为60kg，电动车行驶时所受阻力大小为车和人总重力的0.05倍。一质量为40kg的人骑着该电动车在水平地面上由静止开始以额定功率行驶，5s内行驶了15m，速度达到5m/s。已知重力加速度为。该电动车以额定功率行驶能达到的最大速度为（　　）
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A．5m/s B．7m/s C．8m/s D．9m/s
【答案】C
【详解】
由题意，电动车行驶过程中受到的阻力为
设电动车的额定功率为P额，根据功能关系可得
解得
该电动车以额定功率行驶能达到的最大速度为
故选C。
2．2022年2月4日，第24届冬季奥林 ( http: / / www.21cnjy.com )匹克运动会在我国首都北京开幕，北京成为历史上第一个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市。冬奥期间，越来越多的人参与到这场冰雪盛宴中。图示为某滑雪游乐园的项目之一，一滑雪爱好者（可视为质点）从离水平地面高为H的平台A处由静止滑下，从B处进入半径为R的圆弧轨道（斜面AB与圆弧BC平滑连接，圆弧BC所对应圆心角为45°）、再从C点滑出，刚好在D点落到斜面DE上。右侧平台高度和宽度均为h重力加速度为g，忽略所有阻力影响，则以下说法正确的是（　　）21世纪教育网版权所有
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A．滑雪爱好者在圆弧轨道上经过B点时对轨道的压力大小为
B．H=2h
C．滑雪爱好者在CD段运动的最小速度为
D．滑雪爱好者在CD段运动的时间为
【答案】C
【详解】
A．从A到B根据动能定理
解得
根据牛顿第二定律
解得
故A错误；
B．从A到C根据动能定理
解得
在C点对速度进行分解，则有
运动的时间为
水平位移为
联立解得
故B错误；
C．根据题意可知当滑雪爱好者运动到距CD面最高时速度最小，即只有水平速度
故C正确；
D．滑雪爱好者在CD段运动的时间为
故D错误。
故选C。
3．如图所示，半球形容器固定在水平面 ( http: / / www.21cnjy.com )上，AB是其水平直径，O为球心，容器的半径为R，一个质量为m的小物块从A点由静止释放，第一次运动到P点时物块对容器的压力大小等于其重力，OP与水平方向的夹角为37°，重力加速度为g，则物块从A点第一次运动到P点克服摩擦力做功为（　　）
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A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意可知，小物块在P点处，有
解得
根据动能定理
解得
C正确，ABD错误；
故选C。
4．某人在竖直方向上高度不同的M、N两点先 ( http: / / www.21cnjy.com )后水平抛出质量相同的两个小石块，两个小石块均经过地面上方的O点，运动轨迹如图所示，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）21·cn·jy·com
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A．在M点抛出的小石块飞行过程中加速度更大
B．在N点抛出小石块时对小石块做的功较大
C．在M点抛出的小石块飞行的时间更长
D．在N点抛出的小石块着地时所受重力的瞬时功率较大
【答案】D
【详解】
A．不计空气阻力，在竖直方向上高度不同的M、N两点先后水平抛出质量相同的两个小石块，飞行过程中，只受重力，根据牛顿第二定律可知21教育名师原创作品
解得
故小石块飞行过程中加速度相等，故A错误；
B．根据题意有
，
整理得
由图可知，从N点抛出得小石块的初速度较小，根据动能定理有
可知，在N点抛出小石块时对小石块做的功较小，故B错误；
C．根据题意有
则
由图可知，在M点抛出的小石块飞行的时间更短，故C错误；
D．根据题意有
则由图可知，在N点抛出小石块时落地的竖直分速度较大，根据
可知，在N点抛出的小石块着地时所受重力的瞬时功率较大，故D正确。
故选D。
二、多选题
5．如图甲，质量0.5kg的小物块从右 ( http: / / www.21cnjy.com )侧滑上匀速转动的水平传送带，其位移与时间的变化关系如图乙所示。图线的0~3s段为抛物线，3s~4.5s段为直线，下列说法正确的是（　　）
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A．传送带沿逆时针方向转动
B．传送带速度大小为2m/s
C．物块刚滑上传送带时的速度大小为4m/s
D．0~4.5s内摩擦力对物块所做的功为J
【答案】BCD
【详解】
AB．根据位移时间图象的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率表示速度，可知：前2s物体向左匀减速运动，第3s内向右匀加速运动。3-4.5s内x-t图象为一次函数，说明小物块已与传送带保持相对静止，即与传送带一起向右匀速运动，因此传送带沿顺时针方向转动，且速度为21·世纪*教育网
故B正确，A错误；
C．由图象可知，在第3s内小物块向右做初速度为零的匀加速运动，则
其中
x=1m
t=1s
解得
根据牛顿第二定律
解得
在0-2s内，对物块有
解得物块的初速度为
故C正确；
D．对物块在0~4.5s内，根据动能定理
解得摩擦力对物块所做的功为
故D正确。
故选BCD。
6．如图甲所示，木板与水平面间的夹角可调，可视为质点的小物块从木板的底端以初速度沿木板向上运动。保持大小恒定，改变，小物块沿木板向上滑动的最大距离s随之改变，根据实验数据描绘出的“”曲线如图乙所示。若木板足够长且木板与物块之间的动摩擦因数为，取重力加速度，则（ ）21教育网
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A．物块的初速度大小为6m/s
B．当物块沿木板上滑距离最短时，木板与水平面的夹角为53°
C．当物块沿木板上滑距离最短时，木板与水平面的夹角为60°
D．物块沿木板上滑的最短距离为
【答案】AC
【详解】
A．由图象可知，当时，s=1.8m，此时小物块做竖直上抛运动
故A正确；
BCD．当板与水平方向夹角为θ时，由动能定理得
解得
令 ，根据数学知识可知
所以当物块沿木板上滑距离最短时，木板与水平面的夹角为60°，且最小距离
故C正确BD错误。
故选AC。
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，质量为m的物块在 ( http: / / www.21cnjy.com )水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则重力做功为______，恒力F做功为________，物块的末动能为________，物块克服摩擦力做功为________。
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【答案】 －mgh Fx mv2 Fx－mgh－mv2
8．质量为的滑块，以的初速度在光滑水平面上向左直线滑行，从某一时刻起在滑块上施加一水平向右的力．经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为，则在这段时间内力所做的功为__________。21cnjy.com
【答案】0
【详解】
对于滑块从受水平向右的力到速度反向，大小为的过程，由动能定理知
代入数据解得
9．质量的物体在水平面上滑行，其动能随位移变化的规律如图所示，则物体与水平面间的动摩擦因数为______。（g取）
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【答案】0.2
【详解】
根据动能定理得
由图可知
s=25m，Ek2=0，Ek1=100J
解得
10．质量为m的汽车在平直公路上以速度匀速行驶，发动机的功率为，司机为合理进入限速区，减小了油门，使汽车功率立即减小为并保持该功率继续行驶，设汽车行驶过程中所受阻力大小不变，从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系如图所示，则在时间内，汽车的牵引力大小________（填“增大”、“减小”或“不变”），该过程中汽车行驶的位移为________。
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【答案】 增大
【详解】
[1]由图像知0~t1时间内，汽车的加速度在减小，而
所以可得0~t1时间内汽车的牵引力在增大。
[2]0~t1时间内，汽车的功率恒为0.5P。根据t1时刻汽车达到匀速，可计算出汽车所受阻力的大小为
0~t1时间内，根据动能定理有
解得位移为
11．快递员驾驶电动车配 ( http: / / www.21cnjy.com )送货物，人和车的质量为250kg，货物的质量为50kg，送货和返回过程电动车的v-t图像如图所示，两过程中电动车都是先匀加速启动，后保持额定功率行驶。已知电动车受到的阻力与其总重力成正比，匀加速的最大速度均为2.4m/s，则电动车的额定功率为_________W；返回时电动车的最大速度为_________ m/s。（g取10m/s2）2-1-c-n-j-y
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【答案】 720 4.8
【详解】
[1]设电动车的额定功率为P，由图可知，送货过程中，匀加速位移为
由动能定理可得
返程过程中，匀加速位移为
由动能定理可得
联立方程，代入数据解得
，
[2]返回时电动车受到的阻力为
当牵引力等于阻力时，达到最大速度
12．质量为0.1 kg的小球从高处 ( http: / / www.21cnjy.com )由静止落下，最初4s内小球动能Ek随时间的二次方t2变化的图像如图所示，g取10 m/s2.；根据图像可确定小球下落的运动______自由落体运动（选填“是”或“不是”），理由是_______。
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【答案】 不是 根据图像可求得小球下落的加速度大小为8 m/s2，不是重力加速度。
【详解】
[1][2]根据
由图像可知
解得
a=8m/s2
则小球下落的运动不是自由落体运动，理由是小球下落的加速度大小为8 m/s2，不是重力加速度。
题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图所示，一根轻弹簧左端固定于竖直墙上，右端被质量为m=1kg可视为质点的小物块压缩而处于静止状态，且弹簧与物块不栓接，弹簧原长小于光滑平台的长度．在平台的右端有一传送带，AB长为L=12m，与传送带相邻的粗糙水平面BC长为x=4m，物块与传送带及水平面BC间的动摩擦因数均为，在C点右侧有一半径为R的光滑竖直半圆弧与BC平滑连接，在半圆弧的最高点F处有一固定挡板，物块撞上挡板后会以原速率反弹回来．若传送带以的速率顺时针转动，不考虑物块滑上和滑下传送带的机械能损失．当弹簧储存的能量全部释放时，小物块恰能滑到与圆心等高的E点（取g=10m/s2）．
（1）求滑块被弹簧弹出时的速度；
（2）求右侧圆弧的轨道半径R；
（3）若传送带的速度大小可调，欲使小物块与挡板只碰一次，且碰后不脱离轨道，求传送带速度的可调范围．
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【答案】（1）4m/s；（2）0.6m；（3）；
【详解】
(1)物块被弹簧弹出，有
解得
(2)若滑块在传送带上一直加速,设经过传送带获得的速度为，有
解得
所以，滑块在传送带上先加速后匀速,经过传送带获得的速度为v=6m/s，从B到E，由动能定理得
解得
(3)设物块在B点的速度为时能恰到F点，在F点满足
从B到F点过程中由动能定理可知
解得
设物块在B点的速度为时，物块撞挡板后返回能恰好再次上滑到E点．由动能定理可知
解得
因为物块在传送带上一直加速获得的速度为，所以传动带速度的可调范围为
14．如图所示，质量m=0.1kg的小球从距 ( http: / / www.21cnjy.com )地面高H=5m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁的右端圆弧切入，半圆槽半径R=0.4m。小球到达槽最低点时速率为10m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上飞出……，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小球与槽壁口接触时的能量损失，（取g=10m/s2）。求：
（1）小球第一次离槽上升的高度H1；
（2）小球最多能飞出槽外的次数。
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【答案】（1）4.2m；（2）6
【详解】
（1）小球从高处至槽口时，只有重力做功；由槽口至槽底端重力、摩擦力都做功。由于对称性，圆槽右半部分摩擦力的功与左半部分摩擦力的功相等。
小球落至槽底部的整个过程中，由动能定理得
解得
J
由对称性知小球从槽底到槽左端口克服摩擦力做功也为J，则小球第一次离槽上升的高度h，有
解得
＝4.2m
（2）设小球飞出槽外n次，则由动能定理得
解得
即小球最多能飞出槽外6次。
15．如图甲所示，一台起重机 ( http: / / www.21cnjy.com )将质量m=200kg的重物由静止开始竖直向上匀加速提升，4s末达到额定功率，之后保持该功率继续提升重物，5s末重物达到最大速度vm。整个过程中重物的v-t图像如图乙所示。取g=10m/s2，不计额外功率。试计算：
(1)起重机的额定功率P；
(2)重物的最大速度vm；
(3)前5s起重机的平均功率。
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)由图可知重物匀加速的加速度为
由牛顿运动定律得
解得
起重机的额定功率为
(2)重物的最大速度为
(3)前4s内的位移为
由功能关系得
解得
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