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第18课 机械能守恒定律综合应用
1、知道动能、重力势能、机械能的变化和什么力做功相关
2、知道机械能不守恒的两类常见情况：外力对系统做功和系统内的摩擦力做功，会求解机械能的改变量
3、会解决简单的系统机械能守恒的问题
（1）如图，同学们骑过自行车，在上坡前，为什么要用力蹬脚踏板，如何从功与能的角度去理解？
（2）如图，同学们在玩过山 ( http: / / www.21cnjy.com )车时，为什么过山车都要爬到比较高的顶端，随后的最高点“小山丘”设计的比开始时的“小山丘”低，如何从功与能的角度去理解？21·世纪*教育网
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自行车上坡 过山车2-1-c-n-j-y
问题延伸：
你还能举出生活中功与能、及能量相互转化的例子吗？
知识点01 功能关系的理解与应用
1、功能关系的概述
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程．功是能量转化的量度．做了多少功，就有多少能量发生转化。21教育名师原创作品
含义：
①做功的过程就是能量转化的过程；
②能量的转化必须通过做功实现；
③做多少功就有多少某种形式的能转化为其它形式的能。
2、功与能的关系
由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，应用功能关系解题的关键是深刻理解不同功能关系的含义：
①重力做功是物体重力势能变化的原因，重力做多少功，重力势能就减少多少；
②弹力做功是弹簧弹性势能变化的原因，弹力做多少功，弹性势能就减少多少；
③合力做功是物体动能变化的原因，合力做多少功，动能就增加多少；
④除重力和系统内弹力之外的其他力做功是机械能变化的原因，其他力做多少功，机械能就增加多少．
涉及机械能的具体功能关系如下：
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功 正功 机械能增加 机械能变化 W外＝E2－E1
负功 机械能减少
3、功能关系的应用
（1）涉及弹簧的功能关系
（2）涉及圆周运动的功能关系
（3）涉及多过程问题的功能关系分析
【典例1】
如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则(　　)．
A．物体的重力势能一定增加80 J
B．物体的机械能一定增加80 J
C．物体的动能一定减少80 J
D．物体的机械能一定减少80 J
【典例2】
（多选）一物体沿斜面向上 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，运动过程中质点的机械能E与竖直高度h关系的图象如图所示，其中O～h1过程的图线为水平线，h1～h2过程的图线为倾斜直线．根据该图象，下列判断正确的是 (　 　)
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A．物体在O～h1过程中除重力外不受其他力的作用
B．物体在O～h1过程中只有重力做功其他力不做功
C．物体在h1～h2过程中合外力与速度的方向一定相反
D．物体在O～h2过程中动能可能一直保持不变
【即学即练1】
如图所示，物体以100J的初动能从斜面 ( http: / / www.21cnjy.com )底端向上滑行，第一次经过P点时，它的动能比最初减少了60J，势能比最初增加了45J，可以推测如果物体从斜面返回底端出发点，末动能为（ ）
A．60J B．50J C．48J D．20J
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【即学即练2】
（多选）如图所示，一根轻弹簧下端 ( http: / / www.21cnjy.com )固定，竖立在水平面上，其正上方A位置处有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．关于小球下落阶段，下列说法中正确的是(　　)21*cnjy*com
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A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少量大于小球动能的增加量
D．从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
知识点02 摩擦力做功与能量的关系
1、静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；
③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。
2、滑动摩擦力做功的特点
①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
②相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
a.机械能全部转化为内能；
b.有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。
③摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。
【典例1】
足够长的传送带以速度v匀速传动， ( http: / / www.21cnjy.com )一质量为m的小物体A由静止轻放于传送带上，若小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当物体与传送带相对静止时，转化为内能的能量为(　　)
A．mv2 B．2mv2 C.mv2 D.mv2【来源：21cnj*y.co*m】
【典例2】
如图所示，质量m1＝0.3 kg的小 ( http: / / www.21cnjy.com )车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，求：【出处：21教育名师】
(1)物块在车面上滑行的时间t；
(2)物块克服摩擦力做的功；
(3)在此过程中转变成的内能。
【即学即练1】
如图所示，质量为M、长度为L的小车静止 ( http: / / www.21cnjy.com )在光滑的水平面上，质量为m的小物块放在小车的最左端，现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为Ff，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法正确的是(　　)【版权所有：21教育】
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A．此时小物块的动能为F(x＋L)
B．此时小车的动能为Ffx
C．这一过程中，小物块和小车增加的机械能为Fx－FfL
D．这一过程中，因摩擦而产生的热量为Ff(L＋x)
知识点03 系统的机械能守恒
一、系统机械能守恒
1.只有重力做功时系统的机械能：
只有重力做功时，根据动能定理，有，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有，
由以上两式可得，
即。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2.系统机械能守恒条件的严格表述为：物体系(系统)内只有重力、弹力做功，而其他一切力都不做功时，系统机械能守恒。21·cn·jy·com
（1）只受重力和弹力，机械能守恒
（2）除了受到重力和弹力，可以有其他力作用，但其他力不做功。
二、根据系统机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
1、从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即
2、从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即
3、从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即。
三、判断系统机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
1、做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。21*cnjy*com
2、能量转化分析法：从能量转化的角 ( http: / / www.21cnjy.com )度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒。
3.增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。
（1）若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；
（2）若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；
（3）若系统内各个物体的机械能均增加或均减 ( http: / / www.21cnjy.com )少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况(如系统的动能增加而势能减少)则无法做出定性的判断。
【典例1】
如右图所示，上表面有一段光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑平面上，在一质量为m的物体B自弧上端自由滑下的同时释放A，则( 　　)
A．在B下滑过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统的机械能守恒
D．A、B和地球组成的系统的机械能守恒
【典例2】
如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平 ( http: / / www.21cnjy.com )面上．现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
【即学即练1】
如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一 ( http: / / www.21cnjy.com )端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
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A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
【即学即练2】
如图，同一条过山车轨道上，一辆小 ( http: / / www.21cnjy.com )车与多辆相同小车连接在一起分别以初速度v0进入圆轨道，若滑行到重心最高时速度分别为v1和v2。不计轨道和空气阻力，则v1、v2的大小关系是（ ）
（A）v1＜v2
（B）v1＞v2
（C）v1＝v2
（D）与小车数量有关，无法判断
知识点04 系统的机械能守恒的几种常见场景
1、速率相等情景
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模型特点 ：
①两个物体的速度大小相等；
②单个物体的机械能不守恒，系统的机械能守恒；
③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
2、角速度相等情景
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模型特点 ：
①平动时两物体沿杆方向的速度相等；
②列机械能守恒方程时，一般选用的形式。
3、某一方向分速度相等情景(绳杆模型)
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①两物体沿杆（绳）方向的速度相等；
②杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒；
③列机械能守恒方程时，一般选用的形式．
【典例1】
如图所示，可视为质点的小球A、B用不可 ( http: / / www.21cnjy.com )伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　 　)
A. 2R　　　　　　 B. 　　　　　　C. 　　　　　　 D.
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【典例2】
（多选）如图所示，一质量不计 ( http: / / www.21cnjy.com )的直角形支架两端分别连接质量均为m的两个小球A和B，支架的两直角边的长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动。开始时OB边处于水平位置，由静止释放，则下列正确的是 （ ）
A．B球转到最低点时，B球的速度到达最大
B．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
C．A、B两球的最大速度之比vA:vB＝1:2
D．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
【即学即练1】
如图所示，有一光滑轨道ABC，A ( http: / / www.21cnjy.com )B部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
【即学即练2】
（多选）如图，滑块a、b的质量均为 ( http: / / www.21cnjy.com )m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ 　）
A.a落地前，轻杆对b先做正功后做负功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中，其加速度先小于g，后大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大于mg
题组A 基础过关练
一、单选题
1．撑杆跳高过程可以简化成如图所示的三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升：越杆下落。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能和动能之和保持不变
D．运动员到达横杆正上方时，动能为零
2．蹦床（Trampoline）是 ( http: / / www.21cnjy.com )一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种，蹦床有“空中芭蕾”之称。在某次“蹦床”娱乐活动中，从小朋友下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图所示。在h1 ~ h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，h3对应图像的最高点，小朋友的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列有关说法正确的是（ ）
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A．整个过程中小朋友的机械能守恒
B．从小朋友的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小
C．小朋友从h1下降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm= mgh1
D．小朋友处于h = h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep= mg(h2 - h4)
3．如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链条长度），则链条上端刚离开桌面时的动能为（　　）
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A． B． C． D．
4．将一个物体竖直向上抛出，考虑空 ( http: / / www.21cnjy.com )气阻力的作用，物体的速度变化快慢与物体只受重力时不同。在一次实验中，测得物体的v-t图像如下图，根据图像中所给出的信息，以下说法中不正确的是（　　）
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A．上升阶段的加速度比下落阶段的加速度大
B．上升的最大高度为0.96m
C．物体从最高点落回抛出点时间比从抛出点上升到最高点的时间短
D．物体落回抛出点的速度比抛出时的初速度小
二、多选题
5．图中物体机械能守恒的是（均不计空气阻力）：（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )物块沿固定斜面匀速下滑
B． ( http: / / www.21cnjy.com )物块在F作用下沿固定光滑斜面上滑
C． ( http: / / www.21cnjy.com )小球由静止沿光滑半圆形固定轨道下滑
D． ( http: / / www.21cnjy.com )细线拴住小球绕O点来回摆动
6．如图所示，木块静止在光滑水平桌面 ( http: / / www.21cnjy.com )上，一子弹（可视为质点）水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中，下列说法正确的是（　　）21世纪教育网版权所有
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A．木块的机械能增量为Ffx
B．子弹的机械能减少量为Ff（x＋d）
C．系统的机械能减少量为Ffd
D．系统的机械能减少量为Ff（x＋d）
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，一根不可伸长的细绳拴着一个小 ( http: / / www.21cnjy.com )球在竖直平面内摆动，图中a、b、c三点分别表示小球摆动过程中的三个不同位置，其中a、c等高．在小球摆动的整个过程中，动能最大时是在________点，在________点重力势能最大；如果没有空气阻力的影响，小球在a点的势能________（选填“大于”“等于”或“小于”）在b点的动能．21教育网
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8．如图所示，在光滑水平桌 ( http: / / www.21cnjy.com )面上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为______在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________。21cnjy.com
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9．如图所示，物体沿斜面向上运动经过A点时具有动能，当它向上滑到B点时动能减少了，机械能损失了，物体回到A点时动能为___________J。www.21-cn-jy.com
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10．如图所示，两个小球A、B质量之比为2：1，分别用细线悬在等高的、点。A、B两球的悬线长之比为2：1，现把两球的悬线拉至水平后无初速释放，设释放时球所在的水平面为重力零势能面，阻力不计，则经过最低点时，A球的机械能与B球的机械能大小关系：_______（填＞、=或＜），两球受到的绳子拉力之比________，两球的向心加速度之比______。2·1·c·n·j·y
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11．均匀铁链全长为L，质 ( http: / / www.21cnjy.com )量为m，其中一半平放在光滑水平桌面上，其余悬垂于桌边，如图所示，此时链条的重力势能为______，如果由图示位置无初速释放铁链，直到当铁链刚挂直，此时速度大小为______（重力加速度为g，桌面高度大于链条长度，取桌面所在平面为零势能面）【来源：21·世纪·教育·网】
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12．如图所示，竖直平面内的光滑轨道由直轨道和圆弧轨道组成，圆弧轨道半径。小球从斜面上点由静止开始滑下，刚好能滑到轨道的最高点（过点时没有能量损失）。则小球在的速度大小=__________，点到点的高度=__________m（取）
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题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图所示，一质量为M、足够 ( http: / / www.21cnjy.com )长的平板静止于光滑水平面上，平板左端与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上．平板上有一质量为m的小物块以速度v0向右运动，且在本题设问中小物块保持向右运动．已知小物块与平板间的动摩擦因数为μ，弹簧弹性势能Ep与弹簧形变量x的平方成正比，重力加速度为g.求：
(1)当弹簧第一次伸长量达最大时，弹簧的弹性势能为Epm，小物块速度大小为求该过程中小物块相对平板运动的位移大小；
(2)平板速度最大时弹簧的弹力大小；
(3)已知上述过程中平板向右运动的最大速度为v.若换用同种材料，质量为的小物块重复上述过程，则平板向右运动的最大速度为多大？
14．一质量为的质点，系于长为的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从点的正上方离点的距离为的点以水平速度抛出，如图所示。试求：
(1)轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
(2)当质点到达点的正下方时，绳对质点的拉力为多大。
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15．如图，一水平传送带左端与水平 ( http: / / www.21cnjy.com )平台相切，右端与一光滑半圆轨道相切，轨道半径R=0.5m，传送带左右两端距离为L=12m，一载物箱以速度v0自平台滑上传送带，传送带以v=5m/s速度向右匀速运动，其与传送带间的动摩擦因素为μ=0.1，则
(1)当v0=8m/s时，能否滑上右侧轨道最高点，请写出推理过程；
(2)要使载物箱恰好滑至轨道最高点，v0应满足什么条件。
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第18课 机械能守恒定律综合应用
1、知道动能、重力势能、机械能的变化和什么力做功相关
2、知道机械能不守恒的两类常见情况：外力对系统做功和系统内的摩擦力做功，会求解机械能的改变量
3、会解决简单的系统机械能守恒的问题
（1）如图，同学们骑过自行车，在上坡前，为什么要用力蹬脚踏板，如何从功与能的角度去理解？
【答案】上坡前用力蹬几下脚踏板，是为了增大自行车上坡前的速度，从而增大动能，上坡时动能转化为更多的重力势能，自行车就越容易上坡。 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）如图，同学们在玩过山车时，为什么过山 ( http: / / www.21cnjy.com )车都要爬到比较高的顶端，随后的最高点“小山丘”设计的比开始时的“小山丘”低，如何从功与能的角度去理解？21教育名师原创作品
【答案】过山车的重力势能在处于最高点时达到 ( http: / / www.21cnjy.com )最大值，当它开始下行时，它的势能不断减小，动能不断增大；由于摩擦，损耗了少量的机械能，所以随后的“小山丘”设计的比开始时的低。
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自行车上坡 过山车
问题延伸：
你还能举出生活中功与能、及能量相互转化的例子吗？
【答案】①三峡大坝中水的机械能转化为电能。
②蹦极运动中，跳跃者 ( http: / / www.21cnjy.com )从高处下落到橡皮绳自然下垂时，质量不变、高度减小，速度增大，是重力势能转化为动能；从自然下垂到最低点时，速度先增大后迅速减小，动能先增大后减小，橡皮绳的形变程度增大，弹性势能增大，在最低点时，重力势能几乎全部转化为弹性势能。
知识点01 功能关系的理解与应用
1、功能关系的概述
不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程．功是能量转化的量度．做了多少功，就有多少能量发生转化。
含义：
①做功的过程就是能量转化的过程；
②能量的转化必须通过做功实现；
③做多少功就有多少某种形式的能转化为其它形式的能。
2、功与能的关系
由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，应用功能关系解题的关键是深刻理解不同功能关系的含义：
①重力做功是物体重力势能变化的原因，重力做多少功，重力势能就减少多少；
②弹力做功是弹簧弹性势能变化的原因，弹力做多少功，弹性势能就减少多少；
③合力做功是物体动能变化的原因，合力做多少功，动能就增加多少；
④除重力和系统内弹力之外的其他力做功是机械能变化的原因，其他力做多少功，机械能就增加多少．
涉及机械能的具体功能关系如下：
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功 正功 机械能增加 机械能变化 W外＝E2－E1
负功 机械能减少
3、功能关系的应用
（1）涉及弹簧的功能关系
（2）涉及圆周运动的功能关系
（3）涉及多过程问题的功能关系分析
【典例1】
如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80 J的功，则(　　)．
A．物体的重力势能一定增加80 J B．物体的机械能一定增加80 J
C．物体的动能一定减少80 J D．物体的机械能一定减少80 J
【解析】不确定除重力之外是否有其它外力做功，所以动能和机械能的变化无法判断。
【答案】A
【典例2】
（多选）一物体沿斜面向上运 ( http: / / www.21cnjy.com )动，运动过程中质点的机械能E与竖直高度h关系的图象如图所示，其中O～h1过程的图线为水平线，h1～h2过程的图线为倾斜直线．根据该图象，下列判断正确的是 (　 　)
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A．物体在O～h1过程中除重力外不受其他力的作用
B．物体在O～h1过程中只有重力做功其他力不做功
C．物体在h1～h2过程中合外力与速度的方向一定相反
D．物体在O～h2过程中动能可能一直保持不变
【解析】O～h1过程中机械能 ( http: / / www.21cnjy.com )守恒，除重力之外其它力不做功，但受其它力作用，所以A错误，B正确；在h1～h2过程中机械能减少，重力势能增加，所以动能减少，故合外力做负功，合外力方向与运动方向相反，C正确，D错误。21·cn·jy·com
【答案】BC
【即学即练1】
如图所示，物体以100J的初动能 ( http: / / www.21cnjy.com )从斜面底端向上滑行，第一次经过P点时，它的动能比最初减少了60J，势能比最初增加了45J，可以推测如果物体从斜面返回底端出发点，末动能为（ ）
A．60J B．50J C．48J D．20J
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【解析】物体损失的动能等于物体克服合外力 ( http: / / www.21cnjy.com )做的功（包括克服重力做功和克服摩擦阻力做功），损失的动能为：△Ek=mgLsinθ+fL=（mgsinθ+f）L=60J，损失的机械能等于克服摩擦阻力做功：△E=fL=15J，则有：△Ek/△E =(mgsinθ+f)/f=常数，与L无关，由题意知此常数为4。则物体上升到最高点时，动能为0，即动能减少了100J，那么损失的机械能为25J，那么物体返回到底端，物体又要损失的机械能为25J，故物体从开始到返回原处总共机械能损失50J，因而它返回A点的动能为50J．故B正确，ACD错误。
【答案】B
【即学即练2】
（多选）如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在 ( http: / / www.21cnjy.com )水平面上，其正上方A位置处有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．关于小球下落阶段，下列说法中正确的是(　　)21世纪教育网版权所有
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A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少量大于小球动能的增加量
D．从A→D位置小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【机械】小球动能的增加量用合外力做功来量度 ( http: / / www.21cnjy.com )，A→C过程中小球受到的合力一直向下，对小球做正功，使其动能增加；C→D过程中小球受到的合力一直向上，对小球做负功，使其动能减少；从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量和弹簧弹性势能增加量之和；小球在A、D两位置动能均为零，而重力做的正功等于弹力做的负功，即小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量。
【答案】BCD
知识点02 摩擦力做功与能量的关系
1、静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；
③静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能。
2、滑动摩擦力做功的特点
①滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；
②相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
a.机械能全部转化为内能；
b.有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能。
③摩擦生热的计算：Q＝Ff x相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移。
【典例1】
足够长的传送带以速度v匀速传动，一质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为m的小物体A由静止轻放于传送带上，若小物体与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图所示，当物体与传送带相对静止时，转化为内能的能量为(　　)
A．mv2 B．2mv2 C.mv2 D.mv2www.21-cn-jy.com
【解析】物体A被放于传送带上 ( http: / / www.21cnjy.com )即做匀加速直线运动，加速度a＝＝μg，匀加速过程前进的距离x1＝＝，该时间内传送带前进的距离x2＝vt＝v·＝，所以物体相对传送带滑动距离Δx＝x2－x1＝，故产生的内能Q＝μmg·Δx＝μmg·＝mv2，D正确．2·1·c·n·j·y
【答案】选D
【典例2】
如图所示，质量m1＝0.3 k ( http: / / www.21cnjy.com )g的小车静止在光滑的水平面上，车长L＝1.5 m，现有质量m2＝0.2 kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v0＝2 m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，求：www-2-1-cnjy-com
(1)物块在车面上滑行的时间t；
(2)物块克服摩擦力做的功；
(3)在此过程中转变成的内能。
【解析】 (1)小车做匀加速运动时的加速度为a1，物块做匀减速运动时的加速度为a2，则
a1＝μm2gm1＝103 m/s2，a2＝μg＝5 m/s2，
v0－a2t＝a1t，所以t＝v0a1＋a2＝2 m/s253＝0.24 s
(2)相对静止时的速度v＝a1t＝0.8 m/s，
物块克服摩擦力做的功W＝12m2(v20－v2)＝0.336 J
(3)由功能关系可知，系统损失的机械能转化为内能，则
E＝12m2v20－12(m1＋m2)v2＝0.24 J.
【答案】(1)0.24 s　(2)0.336 J　(3)0.24 J
【即学即练1】
如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平面上，质量为m的小物块放在小车的最左端，现用一水平力F作用在小物块上，小物块与小车之间的摩擦力为Ff，经过一段时间小车运动的位移为x，小物块刚好滑到小车的右端，则下列说法正确的是(　　)21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A．此时小物块的动能为F(x＋L)
B．此时小车的动能为Ffx
C．这一过程中，小物块和小车增加的机械能为Fx－FfL
D．这一过程中，因摩擦而产生的热量为Ff(L＋x)
【解析】水平力对小物块做功F(x＋L ( http: / / www.21cnjy.com ))，此时其动能小于F(x＋L)，A错误；摩擦力Ff对小车做功Ffx，由动能定理可知，此时小车的动能为Ffx，B正确；这一过程中，物块和小车增加的机械能为F(x＋L)－FfL，C错误；这一过程中，因摩擦而产生的热量为FfL，D错误。21·世纪*教育网
【答案】B
知识点03 系统的机械能守恒
一、系统机械能守恒
1.只有重力做功时系统的机械能：
只有重力做功时，根据动能定理，有，
根据重力做功与重力势能变化的关系，有，
由以上两式可得，
即。
这就是说，在只有重力做功的物体系统内，动能与重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2.系统机械能守恒条件的严格表述为：物体系(系统)内只有重力、弹力做功，而其他一切力都不做功时，系统机械能守恒。2-1-c-n-j-y
（1）只受重力和弹力，机械能守恒
（2）除了受到重力和弹力，可以有其他力作用，但其他力不做功。
二、根据系统机械能守恒定律，求解具体问题时可从以下不同的角度列出方程：
1、从守恒的角度：系统的初、末两状态机械能守恒，即
2、从转化的角度：系统动能的增加等于势能的减少，即
3、从转移的角度：系统中一部分物体机械能的增加等于另一部分物体机械能的减少，即。
三、判断系统机械能守恒的方法
判断系统的机械能是否守恒，通常可采用下列三种不同的方法：
1、做功条件分析法：应用系统机械能守恒的条件进行分析。若物体系统内只有重力和弹力做功，其他力均不做功，则系统的机械能守恒。21*cnjy*com
2、能量转化分析法：从能量转化的角度进行 ( http: / / www.21cnjy.com )分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒。
3.增减情况分析法：直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。
（1）若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；
（2）若系统的动能或势能不变，而势能或动能却发生了变化，则系统的机械能不守恒；
（3）若系统内各个物体的 ( http: / / www.21cnjy.com )机械能均增加或均减少，则系统的机械能也不守恒。当然，这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况，对于另一些情况(如系统的动能增加而势能减少)则无法做出定性的判断。【出处：21教育名师】
【典例1】
如右图所示，上表面有一段光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑平面上，在一质量为m的物体B自弧上端自由滑下的同时释放A，则( 　　)
A．在B下滑过程中，B的机械能守恒
B．轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A和地球组成的系统的机械能守恒
D．A、B和地球组成的系统的机械能守恒
【解析】A和B之间只有动能和势能的 ( http: / / www.21cnjy.com )相互转化，故系统的机械能守恒，过程中A的机械能增加，B的机械能减少，所以AB之间的弹力对A做正功，对B做负功。
【答案】D
【典例2】
如图所示，斜劈劈尖顶着竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直墙壁静止在水平面上．现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
【解析】不计一切摩擦，小球下 ( http: / / www.21cnjy.com )滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。
【答案】B
【即学即练1】
如图所示，一质量为m的小球固定于轻 ( http: / / www.21cnjy.com )质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com )
A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
【解析】小球由A点到B点的过程中，小球和弹 ( http: / / www.21cnjy.com )簧组成的系统机械能守恒，弹簧伸长，弹簧的弹性势能增大，小球动能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和等于小球重力势能的减小量，即小球动能的增加量小于重力势能的减少量mgh，A、B项错误，D项正确；弹簧弹性势能的增加量等于小球克服弹力所做的功，C项错误。
【答案】D
【即学即练2】
如图，同一条过山车轨道上，一辆 ( http: / / www.21cnjy.com )小车与多辆相同小车连接在一起分别以初速度v0进入圆轨道，若滑行到重心最高时速度分别为v1和v2。不计轨道和空气阻力，则v1、v2的大小关系是（ ）
（A）v1＜v2
（B）v1＞v2
（C）v1＝v2
（D）与小车数量有关，无法判断
【解析】一辆小车和多辆小车的机械能守恒，在最 ( http: / / www.21cnjy.com )高点一辆小车的重心出处于最高点，多辆小车的重心处于最高点下方一点的位置，根据机械能守恒，一辆小车的动能较小，所以速度较小。
【答案】A
知识点04 系统的机械能守恒的几种常见场景
1、速率相等情景
( http: / / www.21cnjy.com )
模型特点 ：
①两个物体的速度大小相等；
②单个物体的机械能不守恒，系统的机械能守恒；
③列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。
2、角速度相等情景
( http: / / www.21cnjy.com )
模型特点 ：
①平动时两物体沿杆方向的速度相等；
②列机械能守恒方程时，一般选用的形式。
3、某一方向分速度相等情景(绳杆模型)
( http: / / www.21cnjy.com )
①两物体沿杆（绳）方向的速度相等；
②杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒；
③列机械能守恒方程时，一般选用的形式．
【典例1】
如图所示，可视为质点的小球A、B用不 ( http: / / www.21cnjy.com )可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　 　)
A. 2R　　　　　　 B. 　　　　　　C. 　　　　　　 D.
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】如图所示，以A、B为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋×3mv2，A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R.则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
【典例2】
（多选）如图所示，一质量不计的直角形支架两 ( http: / / www.21cnjy.com )端分别连接质量均为m的两个小球A和B，支架的两直角边的长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动。开始时OB边处于水平位置，由静止释放，则下列正确的是 （ ）
A．B球转到最低点时，B球的速度到达最大
B．A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
C．A、B两球的最大速度之比vA:vB＝1:2
D．A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
【解析】A、AB两个球质 ( http: / / www.21cnjy.com )量相等，其整体的重心在连线的中点处，当重心到达最低点时，两个球的速度最大，故A错误；
B、AB两个球质量相等，其整体的重心在连线的中点处，当重心到达最低点时，两个球的速度最大，故两直角边与竖直方向的夹角为不是45度，故B错误；
C、同轴转动角速度相等，根据公式v=ωr，两个球的线速度之比为1：2，故C正确；
D、两个球的线速度之比为1：2，A球速度最大时，B球速度也最大，故整体动能最大，重力势能一定最小，故D正确；
【答案】CD．
【即学即练1】
如图所示，有一光滑轨道ABC，AB部 ( http: / / www.21cnjy.com )分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．a球下滑过程中机械能保持不变
B．b球下滑过程中机械能保持不变
C．a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D．从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
【解析】对于单个小球来说 ( http: / / www.21cnjy.com )，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故有mgR＋mg(2R)＝·2mv2，解得v＝，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，故根据动能定理可得W＋mgR＝mv2，联立v＝，解得W＝mgR，故D正确．
【答案】D
【即学即练2】
（多选）如图，滑块a、b ( http: / / www.21cnjy.com )的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ 　）
A.a落地前，轻杆对b先做正功后做负功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中，其加速度先小于g，后大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大于mg
【解析】A.a落地前b的速度先增大后减小到0，故杆对b先做正功后做负功，A正确；
B.a落地时，b速度为0，所以系统重力势能转化为a的动能，即mgh=mv2/2，v=，所以B正确；
C. a落地前b的速度先增大后减小到0，故杆对b先做正功后做负功，所以杆上先是支持力后是拉力，所以a的加速度先小于g，后大于g，C正确；
D. 系统的机械能守恒，所以a的机械能最 ( http: / / www.21cnjy.com )小时，b的机械能最大，即动能最大，此时b的加速度为0，所以此时杆对b无作用力，对地面的压力等于mg，D错误。
【答案】ABC
题组A 基础过关练
一、单选题
1．撑杆跳高过程可以简化成如图所示的三个阶段：持杆助跑、撑杆起跳上升：越杆下落。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）21教育网
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A．运动员在整个跳高过程中机械能守恒
B．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小
C．起跳上升过程中，运动员的重力势能和动能之和保持不变
D．运动员到达横杆正上方时，动能为零
【答案】B
【详解】
A．在整个跳高过程中杆的弹力对运动员做功，机械能不守恒，故A错误；
BC．起跳上升过程中，杆的弹性势能先增加后减小，由能量守恒可得，运动员的重力势能和动能之和先减小后增加，故B正确，C错误；【版权所有：21教育】
D．运动员到达横杆正上方时，水平方向速度不为0，则动能不为零，D错误。
故选B。
2．蹦床（Trampoline）是一项运 ( http: / / www.21cnjy.com )动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种，蹦床有“空中芭蕾”之称。在某次“蹦床”娱乐活动中，从小朋友下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图所示。在h1 ~ h2阶段图像为直线，其余部分为曲线，h3对应图像的最高点，小朋友的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列有关说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
A．整个过程中小朋友的机械能守恒
B．从小朋友的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先增大后减小
C．小朋友从h1下降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm= mgh1
D．小朋友处于h = h4高度时，蹦床的弹性势能为Ep= mg(h2 - h4)
【答案】D
【详解】
A．小朋友与蹦床组成的系统机械能守恒，A错误；
B．小朋友的脚接触蹦床到弹力等于重力的过程中有
mg - kx = ma
小朋友下降过程中x增大，则a减小，当弹力等于重力到蹦床被压缩至最低点的过程中有
kx - mg = ma′
小朋友下降过程中x增大，则a′增大，则从小朋友的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先减小后增大，B错误；
C．小朋友从h1下降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm= mg（h1-h5），C错误；
D．小朋友处于h = h4高度时，根据机械能守恒有
mg(h2 - h4) = Ep
D正确。
故选D。
3．如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链条长度），则链条上端刚离开桌面时的动能为（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据机械能守恒定律可知，链条上端刚离开桌面时的动能等于链条重力势能的减小，即
故选D。
4．将一个物体竖直向上抛出，考 ( http: / / www.21cnjy.com )虑空气阻力的作用，物体的速度变化快慢与物体只受重力时不同。在一次实验中，测得物体的v-t图像如下图，根据图像中所给出的信息，以下说法中不正确的是（　　）
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A．上升阶段的加速度比下落阶段的加速度大
B．上升的最大高度为0.96m
C．物体从最高点落回抛出点时间比从抛出点上升到最高点的时间短
D．物体落回抛出点的速度比抛出时的初速度小
【答案】C
【详解】
A．根据v-t图像的斜率等于加速度，斜率越大，加速度越大，可知上升阶段的加速度比下落阶段的加速度大，故A正确，不符合题意；【来源：21·世纪·教育·网】
B．物体在0~0.4s内上升，由图像与时间轴所围的面积表示位移，可得最大高度为
故B正确，不符合题意；
C．物体从最高点落回抛出点时 ( http: / / www.21cnjy.com )的位移与从抛出点上升到最高点的位移大小相等，由v-t图像面积表示位移得出物体从最高点落回抛出点时比从抛出点上升到最高点的时间长，故C错误，符合题意；
D．由于空气阻力做负功，物体的机械能减小，则物体落回抛出点的速度比抛出时的初速度小，故D正确，不符合题意。
故选C。
二、多选题
5．图中物体机械能守恒的是（均不计空气阻力）：（　　）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )物块沿固定斜面匀速下滑
B． ( http: / / www.21cnjy.com )物块在F作用下沿固定光滑斜面上滑
C． ( http: / / www.21cnjy.com )小球由静止沿光滑半圆形固定轨道下滑
D． ( http: / / www.21cnjy.com )细线拴住小球绕O点来回摆动
【答案】CD
【详解】
A．物块沿固定斜面匀速下滑，动能不变，重力势能减小，则机械能减小，选项A错误；
B．物块在F作用下沿固定光滑斜面上滑，则力F做正功，物体的机械能增加，选项B错误；
C．小球由静止沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，则小球的机械能守恒，选项C正确；
D．细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，则机械能守恒，选项D正确。
故选CD。
6．如图所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子 ( http: / / www.21cnjy.com )弹（可视为质点）水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中，下列说法正确的是（　　）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．木块的机械能增量为Ffx
B．子弹的机械能减少量为Ff（x＋d）
C．系统的机械能减少量为Ffd
D．系统的机械能减少量为Ff（x＋d）
【答案】ABC
【详解】
A．木块机械能的增量等于子弹对木块的作用力Ff做的功Ffx，选项A正确；
B．子弹机械能的减少量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功Ff（x＋d），B正确；
CD．系统减少的机械能等于产生的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，即Ffd，选项C正确，D错误。
故选ABC。
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，一根不可伸长的细绳拴着一个小球 ( http: / / www.21cnjy.com )在竖直平面内摆动，图中a、b、c三点分别表示小球摆动过程中的三个不同位置，其中a、c等高．在小球摆动的整个过程中，动能最大时是在________点，在________点重力势能最大；如果没有空气阻力的影响，小球在a点的势能________（选填“大于”“等于”或“小于”）在b点的动能．21*cnjy*com
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【答案】 b a、c 等于
【详解】
下摆过程中重力做正功，在最低点重力 ( http: / / www.21cnjy.com )做功最多，动能最大，即在b点动能最大，ac两点高度最高，故在a和c点重力势能最大，不计空气阻力，设b点所在水平面为零势能点，小球下摆过程中机械能守恒，即a点的机械能等于b点的机械能，而在a点动能为零，即a点的势能等于该点的机械能，在b点重力势能为零，即b点的动能等于该点的机械能，故a点的势能和b点的动能相等．
8．如图所示，在光滑水平桌面 ( http: / / www.21cnjy.com )上有一质量为M的小车，小车跟绳一端相连，绳子另一端通过滑轮吊一个质量为m的砖码，则当砝码着地的瞬间（小车未离开桌子）小车的速度大小为______在这过程中，绳的拉力对小车所做的功为________。
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【答案】
【详解】
[1]选小车与砝码作为一系统，在小车滑动过程中仅有重力做功，则系统的机械能守恒，由机械能守恒定律可得
砝码着地的瞬时速度为
[2]选小车作为研究对象，则由动能定理可得
联立解得
9．如图所示，物体沿斜面向上运动经过A点时具有动能，当它向上滑到B点时动能减少了，机械能损失了，物体回到A点时动能为___________J。
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【答案】50
【详解】
[1]由题意，根据功能关系可知，从A到B的过程中，物体克服阻力做的功为
Wf1=20J
根据动能定理可知，物体克服阻力和重力的合力做的功为
Wf1+WG1=80J
解得
由于物体克服重力或阻力做功与其位移成正比，所以假设物体能上升的最高点为C，则在从B到C的过程中，物体克服重力和阻力做的功将满足
且根据动能定理有
Wf2+WG2=100J-80J=20J
解得
Wf2=5J
设物体回到A点时动能为Ek，物体从A出发到再返回A的整个过程中，根据动能定理有
Ek-100J=-2(Wf1+Wf2)
解得
Ek=50J
10．如图所示，两个小球A、B质量之比为2：1，分别用细线悬在等高的、点。A、B两球的悬线长之比为2：1，现把两球的悬线拉至水平后无初速释放，设释放时球所在的水平面为重力零势能面，阻力不计，则经过最低点时，A球的机械能与B球的机械能大小关系：_______（填＞、=或＜），两球受到的绳子拉力之比________，两球的向心加速度之比______。
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【答案】 = 2：1 1:1
【详解】
[1]两球在运动过程中，只有重力做功，机械能都守恒，初始位置时它们的机械能相等，所以在最低点，；两球的机械能相等；
[2][3]由动能定理得
解得
在最低点时的加速度为
向心加速度与绳长无关，向心加速度之比
在最低点根据牛顿第二定律
则有
11．均匀铁链全长为L，质量 ( http: / / www.21cnjy.com )为m，其中一半平放在光滑水平桌面上，其余悬垂于桌边，如图所示，此时链条的重力势能为______，如果由图示位置无初速释放铁链，直到当铁链刚挂直，此时速度大小为______（重力加速度为g，桌面高度大于链条长度，取桌面所在平面为零势能面）
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【答案】
【详解】
[1]平放在光滑水平桌面上的一半铁链的重力势能为0，悬挂在桌下面的一半铁链的重心距离桌面的距离为，其重力势能为
所以此时链条的重力势能为。
[2]从无初速释放铁链，到铁链刚挂直，整个过程机械能守恒。铁链刚挂直时，其重力势能为
根据机械能守恒
解得
12．如图所示，竖直平面内的光滑轨道由直轨道和圆弧轨道组成，圆弧轨道半径。小球从斜面上点由静止开始滑下，刚好能滑到轨道的最高点（过点时没有能量损失）。则小球在的速度大小=__________，点到点的高度=__________m（取）
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【答案】 2 1
【详解】
[1] 刚好能滑到轨道的最高点，则由重力提供向心力
解得
[2]根据机械能守恒可得
解得
题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图所示，一质量为M、足够长的平板静 ( http: / / www.21cnjy.com )止于光滑水平面上，平板左端与水平轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上．平板上有一质量为m的小物块以速度v0向右运动，且在本题设问中小物块保持向右运动．已知小物块与平板间的动摩擦因数为μ，弹簧弹性势能Ep与弹簧形变量x的平方成正比，重力加速度为g.求：
(1)当弹簧第一次伸长量达最大时，弹簧的弹性势能为Epm，小物块速度大小为求该过程中小物块相对平板运动的位移大小；
(2)平板速度最大时弹簧的弹力大小；
(3)已知上述过程中平板向右运动的最大速度为v.若换用同种材料，质量为的小物块重复上述过程，则平板向右运动的最大速度为多大？
【答案】(1)；(2)；(3)
（1）对系统由能量守恒求解 ( http: / / www.21cnjy.com )小物块相对平板运动的位移；（2）平板速度最大时，处于平衡状态，弹力等于摩擦力；（3）平板向右运动时，位移大小等于弹簧伸长量，当木板速度最大时弹力等于摩擦力，结合能量转化关系解答.
【详解】
（1）弹簧伸长最长时平板速度为零，设相对位移大小为s，对系统由能量守恒
mv02＝m()2＋Epm＋μmgs　
解得s＝
（2）平板速度最大时，处于平衡状态，f＝μmg　
即F＝f＝μmg.
（3）平板向右运动时，位移大小等于弹簧伸长量，当木板速度最大时
μmg＝kx　
对木板由动能定理得μmgx＝Ep1＋Mv2
同理，当m′＝m，平板达最大速度v′时，＝kx′
μmgx′＝Ep2＋Mv′2
由题可知Ep∝x2，即Ep2＝Ep1　
解得v′＝v.
14．一质量为的质点，系于长为的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从点的正上方离点的距离为的点以水平速度抛出，如图所示。试求：
(1)轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？
(2)当质点到达点的正下方时，绳对质点的拉力为多大。
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【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）质点做平抛运动，设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为，则有
其中
联立解得
，
（2）绳绷直过程.绳绷直时，绳刚好水平，如图所示：
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由于绳不可伸长，故绳绷直时，损失，质点仅有速度，且
质点在竖直平面内做圆周运动，设质点到达点正下方时，速度为，根据机械能守恒定律有
设此时绳对质点的拉力为，则
联立解得
15．如图，一水平传送带左端 ( http: / / www.21cnjy.com )与水平平台相切，右端与一光滑半圆轨道相切，轨道半径R=0.5m，传送带左右两端距离为L=12m，一载物箱以速度v0自平台滑上传送带，传送带以v=5m/s速度向右匀速运动，其与传送带间的动摩擦因素为μ=0.1，则
(1)当v0=8m/s时，能否滑上右侧轨道最高点，请写出推理过程；
(2)要使载物箱恰好滑至轨道最高点，v0应满足什么条件。
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【答案】(1)能滑上右侧最高点；(2)
【详解】
(1) 当v0=8m/s时，刚滑上传送带时，物块做减速运动，加速度为
a=μg=1m/s2
当到达传送带最右端时
假若能到达圆弧的最高点，则由机械能守恒定律
解得
而要想通过圆弧最高点的最小速度满足
因 可知物块能到达右侧轨道最高点。
(2)要使载物箱恰好滑至轨道最高点，在最小速度为
在最低点满足
解得
v2=5m/s
即物块滑离传送带时的速度为5m/s，则物块滑上传送带的最大速度
最小速度
则要使载物箱恰好滑至轨道最高点，v0应满足。
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