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第17课 机械能守恒定律
1、明确机械能守恒定律的含义和适用条件．
2、能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒．
3、熟练应用机械能守恒定律解题．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 如图分别为过山车和荡秋千两项娱乐活动，在这里面都存在势能和动能的相互转化
1、势能和动能转化有什么定量关系？
2、在转化的过程中动能和势能的总量是否会发生改变？
3、什么情况下二者总量才守恒？
知识点01 机械能守恒定律
1、机械能
定义：我们把物体的动能，重力势能和弹性势能统称为机械能。
1、重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．www.21-cn-jy.com
2、机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．
3、机械能具有相对性，因为势能具 ( http: / / www.21cnjy.com )有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性．
只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．
2、机械能守恒定律
1、我们来定量分析一下自由落体中的机械能变化。质量为的物体自由下落过程中，经过高度处速度为，下落至处的速度为，不计空气阻力。21·世纪*教育网
物体从位置运动到位置，根据动能定理有：
下落过程中重力对物体做功在数值上等于物体重力势能的变化量。取地面为参
考平面有：
由以上两式可以得到
移项得
等号左侧表示初态的机械能，等号 ( http: / / www.21cnjy.com )右侧表示末态的机械能，表达式表明初态跟末态的机械能相等。即在小球下落的过程中，重力势能的减小量等于动能的增加量，机械能总量保持不变。2-1-c-n-j-y
但是此过程的前提是只有重力做功，如果存在空气阻力做功，上述结论还成立吗？
根据动能定理分析可得，在这里由于空气阻力做功为负，物体重力势能的减小量大于动能的增加量。因此机械能不再守恒。
同学们还可以思考，减小的机械能变成了什么能量呢？
2、接下来我们分析一下只有弹力做功的物体系统内机械能的变化。
物体在只受弹力的作用下从点运动到点，根据动能定理可得：
根据弹力做功与弹簧弹性势能的关系得：
由以上式子得
故
可见物体与弹簧组成的系统在初末状态的机械能不变，即机械能守恒。
通过以上两种情况的分析，同学们不难得出结论： ( http: / / www.21cnjy.com )在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。由于势能是一个系统所共有的能量，所以机械能守恒定律适用的是一个物体系统，而不是单个物体。比如，在上述的自由落体中，小球和地球组成的系统机械能守恒。【来源：21cnj*y.co*m】
3、对机械能守恒定律同学们可以从两个不同角度理解：
（1）从守恒的角度：物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等。
（2）从转化的角度：动能的增加量等于势能减小量。
4、机械能守恒的条件：
（1） 除了重力、弹力以外没有其它力；
（2）除了重力、弹力以外，还受其它力，但其它力不做功；
（3） 除了重力、弹力以外，还受其它力，且其它力也做功，但做功的代数和为零。
5、机械能守恒的判断方法：
（1）对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．
（2）对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．【出处：21教育名师】
对于某个物体系统包括外力和内 ( http: / / www.21cnjy.com )力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化【版权所有：21教育】
（3）有时可以直接从机械能的各种形式能 ( http: / / www.21cnjy.com )量的增减情况判断。例如：动能与势能均增加或减少，则机械能不守恒；动能发生变化而势能不变，或势能发生变化而动能不变，则机械能不守恒。
（4）一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．
5、应用机械能守恒定律的基本思路
应用机械能守恒定律时，相 ( http: / / www.21cnjy.com )互作用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒，而且机械能守恒定律，只涉及的系统的初、末状态的物理量，而无需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化，应用的基本思路如下：21教育名师原创作品
（1）取研究对象
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力分析和做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初末态时的机械能。
（4）根据机械能守恒定律列方程，进而求解。
【典例1】
下列各种运动过程中，物体机械能守恒的是（忽略空气阻力）（ ）（多选）
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【典例2】
下列物体中，机械能守恒的是 （ ）（多选）
A．做平抛运动的物体
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以的加速度竖直向上做匀减速运动
【即学即练1】
如图从离地高为h的台阶上以速度v竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直向上抛出质量为m的物体，它上升H后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为零势能面）（ ）（多选）
A．物体在最高点时机械能为mg（H＋h）
B．物体落地时的机械能为
C．物体落地时的机械能为
D．物体在落回过程中，经过台阶时的机械能为
【即学即练2】
把一块质量是3kg的石头，从20m高处的山崖上与水平方向成30°角、速度大小5m/s斜上方抛出，求石头落地时速度的大小。（空气阻力不计）21教育网
知识点02 复杂系统中的机械能问题
让我们来思考一下复杂系统中的机械能问题，如图所示，在小车上有两个质量不同的物体、，物体中间的弹簧处于压缩状态，现在释放物体、。21cnjy.com
⑴ 如果不计一切摩擦力，、物体与弹簧构成的系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统的机械能是否守恒？21*cnjy*com
⑵如果地面光滑，、与之间有摩擦，那么把、物体与弹簧看成系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统的机械能是否守恒？21*cnjy*com
⑶ 如果地面不光滑，、、之间无摩擦，那么、物体与弹簧看成系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统机械能是否守恒？
【典例1】
如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中(　　)
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能大于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D．M和m组成的系统机械能守恒
【典例2】
如图所示，小球自点由静止自由下落，到点时与弹簧接触，到点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球的运动过程中（ ）（多选）
A．小球与弹簧、地球总的机械能守恒
B．小球的重力势能逐渐减少
C．小球在点时动能最大
D．到点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【即学即练1】
如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复，通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间，变化的图像如图（乙）所示，则【来源：21·世纪·教育·网】
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球的加速度为零
C．这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．这段时间内，小球动能与重力势能之和在增加
【即学即练2】
如图所示，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？
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如图，滑块的质量m1＝0.1 kg，用长为L的细线悬挂质量为m2＝0.1 kg的小球，小球可视为质点，滑块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2，滑块到小球间的距离为s＝2 m，开始时，滑块以速度v0＝8 m/s沿水平方向向右运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能（提示：由于不损失机械能，又m1＝m2，则碰撞后m1的速度与m2的速度交换）。问：
（1）碰撞后小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，则滑块与小球第一次碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力多大？
（2）碰撞后小球能在竖直平面内做圆周运动，细线长度L应该满足什么条件？
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题组A 基础过关练
一、单选题
1．根据最高人民法院的相关《意见》，“故意从 ( http: / / www.21cnjy.com )高空抛弃物品，尚未造成严重后果，……可能判处三年以上十年以下有期徒刑……”。若图中被抛下物体所受重力做功为50J，则下列说法正确的是（　　）
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A．物体重力势能增加了50 J
B．物体重力势能减少了50J
C．物体机械能增加了50J
D．物体机械能减少了50J
2．如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定 ( http: / / www.21cnjy.com )斜面上，放有质量分别为1kg和2kg的小球A和B，且两球之间用一根长L=0.3m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h=0.3m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g取10m/s2。则下列说法中错误的有（　　）2·1·c·n·j·y
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A．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，A与B组成的系统机械能守恒
B．在B球进入水平圆管前，小球A机械能守恒
C．两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为m/s
D．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，轻杆对B球做功-1J
3．下列所述的情景中，机械能守恒的是（　　）
A．降落伞在空中匀速下落 B．汽车在平直路面上加速行驶
C．小球在竖直平面内做匀速圆周运动 D．小球在空中做平抛运动
4．如图所示，一质量为m的 ( http: / / www.21cnjy.com )小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处。将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时的速度为v，AB间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则小球从A到B的过程中，下列说法正确的是（　　）21世纪教育网版权所有
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A．小球重力做的功小于
B．弹簧对小球的弹力不做功
C．小球的合力做的功小于
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为
二、多选题
5．一篮球从距地面高度h ( http: / / www.21cnjy.com )1=5m处自由落下，反弹高度为h2=3.2m篮球与地面的作用时间忽略不计，篮球每次与地面碰撞前后的速率的比值不变，重力加速度大小g取10m/s2，不计空气阻力，规定竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　）www-2-1-cnjy-com
A．篮球第一次反弹后的上升过程运动时间为0.8s
B．篮球每次与地面碰撞前后的速率的比值为3∶2
C．篮球从静止释放到第一次反弹上升至最高点的整个过程的平均速度大小为2m/s
D．若篮球从距地面高1.25m 处自由落下，第一次反弹的最大高度为0.8m
6．质量为的物体从静止出发以的加速度竖直下降，对于此过程，下列说法中正确的是（　　）
A．物体的机械能守恒
B．物体的机械能不守恒
C．重力做功
D．物体的重力势能减少
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，轻质动滑轮 ( http: / / www.21cnjy.com )下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知重物A的质量为3m，重物B的质量为m，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，当B的位移为h时，重物A的速度为________，重物B的速度为________。
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8．从地面竖直向上抛出一物体，以地面为重力 ( http: / / www.21cnjy.com )势能零点，物体的机械能E与重力势能EP随它离开地面的高度h的变化如图所示。则物体的质量为___________kg，由地面上升至h=4m处的过程中机械能减少了___________J，物体的动能减少了___________J。（重力加速度g取10m/s2）
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9．取水平地面为零势能参考面，一物块从 ( http: / / www.21cnjy.com )某一高度水平抛出，在抛出点其动能为重力势能的3倍，不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与竖直方向的夹角为_______。
10．竖直平面内有两个半径不 ( http: / / www.21cnjy.com )同的半圆形光滑轨道，如图所示，A、M、B三点位于同一水平面上，C、D分别为两轨道的最低点，将两个相同的小球分别从A、B处静止释放，当它们各自通过C、D点时，两球对轨道的压力______（选填“相等”或“不相等”）。21·cn·jy·com
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11．如图，一根长为L、质 ( http: / / www.21cnjy.com )量为m的匀质细绳悬于O点，O点离地高H。现从上端O处剪断细绳，以地面为零势能参考面，重力加速度为g，则当绳下端刚着地时的重力势能为___________，动能为___________。
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12．物体从离地45m的 ( http: / / www.21cnjy.com )高处作自由落体运动（g取10米/秒2）。它的动能和重力势能相等时，物体离地的高度是___________m；当它的动能为重力势能的2倍时，物体的速度大小为___________m/s。
题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上．系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ=．已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。
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14．图甲是某游乐场的一种“双环过山车”设 ( http: / / www.21cnjy.com )施的一部分，其运行原理可以简化成图乙的“小球轨道”模型。其中AB段和圆轨道不计阻力，BC、CD、DE、EF段平直轨道与小球的动摩擦因数为μ=0.2，DE段的倾角α=53°，B、C为两竖直圆轨道1、2的最低点，LBC=LCD=6m，LDE=1m，LEF=10m，半径R1=2m。质量为m=1kg的小球（视为质点），从轨道的右侧A点由静止开始下滑，设小球不脱离所有轨道，且不考虑D、E点的能量损失，（已知cos37°=0.8，重力加速度取g=10m/s2）试求：
（1）如果小球恰能通过第一个圆轨道，A点的高度h应是多少；
（2）要使小球不脱离第二个圆轨道，半径R2应满足的条件；
（3）要使小球最终停在EF段，A点的高度h应该设计为多少。
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15．如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置。质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v0从斜面的顶端P点沿斜面向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。物块A离开弹簧后，恰好回到P点。已知OP的距离为，O点和O′点间的距离，物块A与斜面间的动摩擦因数为，斜面倾角为，重力加速度为g。求：
（1）物体下滑的初速度v0；
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）在轻弹簧旁边并排放置另一根与之完全相同的弹簧，一端与挡板固定。若将另一个与A材料相同的物块B（可视为质点）与两根弹簧右端拴接，设B的质量为，将A与B并排在一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后A最终未冲出斜面，求需满足的条件
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第17课 机械能守恒定律
1、明确机械能守恒定律的含义和适用条件．
2、能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒．
3、熟练应用机械能守恒定律解题．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) 如图分别为过山车和荡秋千两项娱乐活动，在这里面都存在势能和动能的相互转化
1、势能和动能转化有什么定量关系？
2、在转化的过程中动能和势能的总量是否会发生改变？
3、什么情况下二者总量才守恒？
知识点01 机械能守恒定律
1、机械能
定义：我们把物体的动能，重力势能和弹性势能统称为机械能。
1、重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．www.21-cn-jy.com
2、机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．
3、机械能具有相对性，因为势能具有相对 ( http: / / www.21cnjy.com )性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性．
只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．
2、机械能守恒定律
1、我们来定量分析一下自由落体中的机械能变化。质量为的物体自由下落过程中，经过高度处速度为，下落至处的速度为，不计空气阻力。【来源：21·世纪·教育·网】
物体从位置运动到位置，根据动能定理有：
下落过程中重力对物体做功在数值上等于物体重力势能的变化量。取地面为参
考平面有：
由以上两式可以得到
移项得
等号左侧表示初态的机械能，等号 ( http: / / www.21cnjy.com )右侧表示末态的机械能，表达式表明初态跟末态的机械能相等。即在小球下落的过程中，重力势能的减小量等于动能的增加量，机械能总量保持不变。21·世纪*教育网
但是此过程的前提是只有重力做功，如果存在空气阻力做功，上述结论还成立吗？
根据动能定理分析可得，在这里由于空气阻力做功为负，物体重力势能的减小量大于动能的增加量。因此机械能不再守恒。
同学们还可以思考，减小的机械能变成了什么能量呢？
2、接下来我们分析一下只有弹力做功的物体系统内机械能的变化。
物体在只受弹力的作用下从点运动到点，根据动能定理可得：
根据弹力做功与弹簧弹性势能的关系得：
由以上式子得
故
可见物体与弹簧组成的系统在初末状态的机械能不变，即机械能守恒。
通过以上两种情况的分析，同学们不难得出结 ( http: / / www.21cnjy.com )论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。由于势能是一个系统所共有的能量，所以机械能守恒定律适用的是一个物体系统，而不是单个物体。比如，在上述的自由落体中，小球和地球组成的系统机械能守恒。【版权所有：21教育】
3、对机械能守恒定律同学们可以从两个不同角度理解：
（1）从守恒的角度：物体运动过程中，初状态和末状态机械能相等。
（2）从转化的角度：动能的增加量等于势能减小量。
4、机械能守恒的条件：
（1） 除了重力、弹力以外没有其它力；
（2）除了重力、弹力以外，还受其它力，但其它力不做功；
（3） 除了重力、弹力以外，还受其它力，且其它力也做功，但做功的代数和为零。
5、机械能守恒的判断方法：
（1）对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．
（2）对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．21教育名师原创作品
对于某个物体系统包括外 ( http: / / www.21cnjy.com )力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化
（3）有时可以直接从机械能的各种形式能量的增减情 ( http: / / www.21cnjy.com )况判断。例如：动能与势能均增加或减少，则机械能不守恒；动能发生变化而势能不变，或势能发生变化而动能不变，则机械能不守恒。
（4）一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．
5、应用机械能守恒定律的基本思路
应用机械能守恒定律时，相互作 ( http: / / www.21cnjy.com )用的物体间的力可以是变力，也可以是恒力，只要符合守恒条件，机械能就守恒，而且机械能守恒定律，只涉及的系统的初、末状态的物理量，而无需分析中间过程的复杂变化，使处理问题得到简化，应用的基本思路如下：
（1）取研究对象
（2）根据研究对象所经历的物理过程，进行受力分析和做功分析，判断机械能是否守恒。
（3）恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初末态时的机械能。
（4）根据机械能守恒定律列方程，进而求解。
【典例1】
下列各种运动过程中，物体机械能守恒的是（忽略空气阻力）（ ）（多选）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】BD
【典例2】
下列物体中，机械能守恒的是 （ ）（多选）
A．做平抛运动的物体
B．被匀速吊起的集装箱
C．光滑曲面上自由运动的物体
D．物体以的加速度竖直向上做匀减速运动
【答案】AC
【即学即练1】
如图从离地高为h的台阶上以速度v竖直向 ( http: / / www.21cnjy.com )上抛出质量为m的物体，它上升H后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是（不计空气阻力，以地面为零势能面）（ ）（多选）
A．物体在最高点时机械能为mg（H＋h）
B．物体落地时的机械能为
C．物体落地时的机械能为
D．物体在落回过程中，经过台阶时的机械能为
【答案】ACD
【即学即练2】
把一块质量是3kg的石头，从20m高处的山崖上与水平方向成30°角、速度大小5m/s斜上方抛出，求石头落地时速度的大小。（空气阻力不计）
【答案】20.62 m/s
【解析】设抛出点为A点，抛出点A的机械能为
最低点的B机械能为
由机械能守恒定律知
所以，石头落地的速度为
知识点02 复杂系统中的机械能问题
让我们来思考一下复杂系统中的机械能问题，如图所示，在小车上有两个质量不同的物体、，物体中间的弹簧处于压缩状态，现在释放物体、。
⑴ 如果不计一切摩擦力，、物体与弹簧构成的系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统的机械能是否守恒？
⑵如果地面光滑，、与之间有摩擦，那么把、物体与弹簧看成系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统的机械能是否守恒？
⑶ 如果地面不光滑，、、之间无摩擦，那么、物体与弹簧看成系统的机械能是否守恒 、、与弹簧构成的系统机械能是否守恒？
【典例1】
如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动过程中(　　)
A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M减少的机械能大于m增加的机械能
C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能
D．M和m组成的系统机械能守恒
【答案】D
【典例2】
如图所示，小球自点由静止自由下落，到点时与弹簧接触，到点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，在小球的运动过程中（ ）（多选）21教育网
A．小球与弹簧、地球总的机械能守恒
B．小球的重力势能逐渐减少
C．小球在点时动能最大
D．到点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
【答案】ABD
【即学即练1】
如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复，通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间，变化的图像如图（乙）所示，则21·cn·jy·com
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球的加速度为零
C．这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．这段时间内，小球动能与重力势能之和在增加
【答案】CD
【即学即练2】
如图所示，均匀铁链长为，平放在距离地面高为的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？2·1·c·n·j·y
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【答案】方法1、选取地面为零势能面：
方法2、桌面为零势能面：
答案：
如图，滑块的质量m1＝0.1 kg，用长为L的细线悬挂质量为m2＝0.1 kg的小球，小球可视为质点，滑块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2，滑块到小球间的距离为s＝2 m，开始时，滑块以速度v0＝8 m/s沿水平方向向右运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能（提示：由于不损失机械能，又m1＝m2，则碰撞后m1的速度与m2的速度交换）。问：
（1）碰撞后小球恰能在竖直平面内做完整的圆周运动，则滑块与小球第一次碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力多大？
（2）碰撞后小球能在竖直平面内做圆周运动，细线长度L应该满足什么条件？
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【答案】（1）F=6N （2）L1 ≥2.8m L2 ≤1.12m
【解析】（1）滑块刚滑到小球位置时，由动能定理有：
滑块碰撞小球机械能守恒，由于m1=m2 所以v1’=0 v2=v1
碰撞后小球恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动，
在最高点：
由机械能守恒：
联立以上方程可得：R2=1.12m
碰撞后瞬间，对小球：
所以F=6N
（2）碰撞后小球以v2做竖直平面内的圆周运动，由机械能守恒可知：
当L比较大时，临界条件是到水平直径高度时v=0则有：
当L比较小时，临界条件是在圆周运动的最高点：
由机械能守恒：
联立以上方程可得：R1=2.8m R2=1.12m 21*cnjy*com
所以L的取值范围是：L1 ≥R1 =2.8m L2 ≤R2 =1.12m
题组A 基础过关练
一、单选题
1．根据最高人民法院的相关《意见》， ( http: / / www.21cnjy.com )“故意从高空抛弃物品，尚未造成严重后果，……可能判处三年以上十年以下有期徒刑……”。若图中被抛下物体所受重力做功为50J，则下列说法正确的是（　　）
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A．物体重力势能增加了50 J
B．物体重力势能减少了50J
C．物体机械能增加了50J
D．物体机械能减少了50J
【答案】B
【详解】
AB．重力做正功50J，则重力势能减小50J，故A错误，B正确；
CD．物体抛下过程，只有重力做功，机械能不变，故CD错误。
故选B。
2．如图所示，在倾角θ=30°的光滑固定 ( http: / / www.21cnjy.com )斜面上，放有质量分别为1kg和2kg的小球A和B，且两球之间用一根长L=0.3m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h=0.3m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g取10m/s2。则下列说法中错误的有（　　）
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A．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，A与B组成的系统机械能守恒
B．在B球进入水平圆管前，小球A机械能守恒
C．两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为m/s
D．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，轻杆对B球做功-1J
【答案】D
【详解】
A．从开始下滑到A进入圆管的整个过程，对于小球A与B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确，不符合题意；
B．在B球进入水平圆管前，杆对A球没有作用力，只有重力对A做功，小球A机械能守恒，故B正确，不符合题意；
C．以A、B组成的系统为研究对象，系统机械能守恒，从开始下滑到两球在光滑圆管中运动，由机械能守恒定律得
代入数据解得
故C正确，不符合题意；
D．以B球为研究对象，设轻杆对B球做功为，由动能定理得
代入数据解得
故D错误，符合题意。
故选D。
3．下列所述的情景中，机械能守恒的是（　　）
A．降落伞在空中匀速下落 B．汽车在平直路面上加速行驶
C．小球在竖直平面内做匀速圆周运动 D．小球在空中做平抛运动
【答案】D
【详解】
A．降落伞在空中匀速下落，动能不变，重力势能减小，则机械能减小，选项A错误；
B．汽车在平直路面上加速行驶，则重力势能不变，动能增加，则机械能增加，选项B错误；
C．小球在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能不断变化，则机械能不断变化，选项C错误；
D．小球在空中做平抛运动，只有重力做功，则机械能守恒，选项D正确。
故选D。
4．如图所示，一质量为m的 ( http: / / www.21cnjy.com )小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点处。将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点时的速度为v，AB间的竖直高度差为h，重力加速度为g，则小球从A到B的过程中，下列说法正确的是（　　）【出处：21教育名师】
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A．小球重力做的功小于
B．弹簧对小球的弹力不做功
C．小球的合力做的功小于
D．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为
【答案】D
【详解】
A．小球重力做的功等于，选项A错误；
B．弹簧将伸长，则弹力对小球做负功，选项B错误；
C．根据动能定理可知，小球的合力做的功等于，选项C错误；
D．由能量关系可知，小球到达位置B时弹簧的弹性势能为，选项D正确。
故选D。
二、多选题
5．一篮球从距地面高度h1=5m处自由落下， ( http: / / www.21cnjy.com )反弹高度为h2=3.2m篮球与地面的作用时间忽略不计，篮球每次与地面碰撞前后的速率的比值不变，重力加速度大小g取10m/s2，不计空气阻力，规定竖直向下为正方向，下列说法正确的是（　　）21*cnjy*com
A．篮球第一次反弹后的上升过程运动时间为0.8s
B．篮球每次与地面碰撞前后的速率的比值为3∶2
C．篮球从静止释放到第一次反弹上升至最高点的整个过程的平均速度大小为2m/s
D．若篮球从距地面高1.25m 处自由落下，第一次反弹的最大高度为0.8m
【答案】AD
【详解】
A．篮球第一次反弹后的上升过程做竖直上抛运动，上升到最高点，根据逆运算，根据公式
代入数据解得
故A正确；
B．根据机械能守恒定律有
，
得
故B错误；
C．篮球从距地面高度h1=5m处自由落下，根据
解得
篮球从静止释放到第一次反弹上升至最高点的整个过程的平均速度大小为
故C错误；
D．根据B选项分析可知，篮球下落的高度与反弹后上升的高度和篮球每次与地面碰撞前后的速率的的平方成正比，则21cnjy.com
则当时
故D正确。
故选AD。
6．质量为的物体从静止出发以的加速度竖直下降，对于此过程，下列说法中正确的是（　　）
A．物体的机械能守恒
B．物体的机械能不守恒
C．重力做功
D．物体的重力势能减少
【答案】BC
【详解】
AB．物体从静止出发以的加速度竖直下降，说明物体受到阻力的作用，阻力对物体做功，物体的机械能减少，所以物体的机械能不守恒，A错误，B正确；
C．重力对物体做功
WG=
C正确；
D．物体下降h时，物体的重力做正功为mgh，等于物体重力势能的减少，所以物体的重力势能减少mgh，D错误。
故选BC。
题组B 能力提升练
三、填空题
7．如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物 ( http: / / www.21cnjy.com )A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。开始时，重物A、B处于静止状态，释放后A、B开始运动。已知重物A的质量为3m，重物B的质量为m，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度为g，当B的位移为h时，重物A的速度为________，重物B的速度为________。
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【答案】
【详解】
[1][2]因为A向下运动，B向上运动，且当B的向上的位移为h时，A下降，且AB的速度关系是
vB=2vA
由机械能守恒定律
解得
8．从地面竖直向上抛出一物体，以地 ( http: / / www.21cnjy.com )面为重力势能零点，物体的机械能E与重力势能EP随它离开地面的高度h的变化如图所示。则物体的质量为___________kg，由地面上升至h=4m处的过程中机械能减少了___________J，物体的动能减少了___________J。（重力加速度g取10m/s2）www-2-1-cnjy-com
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【答案】 20 20 100
【详解】
[1]由图知，h=4m时Ep=80J，由
解得
[2][3]从地面至h=4m，由题图可得，物体机械能的改变量为
即机械能减少了20J，又因为重力势能增加了80J，根据
可得
即物体的动能减少100J。
9．取水平地面为零势能参考面， ( http: / / www.21cnjy.com )一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能为重力势能的3倍，不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与竖直方向的夹角为_______。21世纪教育网版权所有
【答案】60°
【详解】
设抛出时物体的初速度为v0，高度为h，物块落地时的速度大小为v，方向与水平方向的夹角为α．根据机械能守恒定律得
据题有
联立解得
则
10．竖直平面内有两个半径不同的半圆形光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )轨道，如图所示，A、M、B三点位于同一水平面上，C、D分别为两轨道的最低点，将两个相同的小球分别从A、B处静止释放，当它们各自通过C、D点时，两球对轨道的压力______（选填“相等”或“不相等”）。
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【答案】相等
【详解】
设半圆光滑轨道的半径为r，由机械能守恒定律得
mgr=mv2
解得小球滑到最低点时的速度
由牛顿第二定律可得
FN mg=m
FN=mg+ m=3mg
半圆轨道最低点对小球的支持力与轨道半径无关，由牛顿第三定律可知，两小球对轨道最低点的压力相等。
11．如图，一根长为L、质量为m的匀 ( http: / / www.21cnjy.com )质细绳悬于O点，O点离地高H。现从上端O处剪断细绳，以地面为零势能参考面，重力加速度为g，则当绳下端刚着地时的重力势能为___________，动能为___________。
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【答案】
【详解】
[1]当绳下端刚着地时，由题知以地面为零势能参考面，则绳的重心在地面上L处，故重力势能为mgL。
[2]根据动能定理有
mg(H - L) = mv2
12．物体从离地45m的高处作自由落体运动 ( http: / / www.21cnjy.com )（g取10米/秒2）。它的动能和重力势能相等时，物体离地的高度是___________m；当它的动能为重力势能的2倍时，物体的速度大小为___________m/s。
【答案】
【详解】
[1]设动能和重力势能相等时，物体离地的高度h1，此时物体的速度大小为v1，有
根据机械能守恒有
解得
[2]设当它的动能为重力势能的2倍时，物体离地的高度h2，此时物体的速度大小为v2，有
根据机械能守恒有
联立解得
题组C 培优拔尖练
四、解答题
13．如图，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O的下方，小球2在半径为R的半球形固定容器内，定滑轮O与容器的边缘D及球心C在同一水平线上．系统静止时，小球1在定滑轮正下方R处的A点，小球2位于B点，BD间的细绳与水平方向的夹角θ=．已知小球1的质量为m，重力加速度为g，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。(结果用根号表示)2-1-c-n-j-y
(1)试求小球2的质量；
(2)现将小球2置于D处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A点时的动能；
(3)在第(2)问中，小球2经过B点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。
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【答案】（1）小球2的质量；（2）小球1到达A点时的动能；（3）小球2对容器的压力大小也为，方向向下【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）设系统静止时细线中的拉力大小为T，小球受到容器的支持力方向沿BC，
由几何关系知为正三角形，所以
对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知
解得
（2）设经过图示位置时小球1的速度为，小球2的速度为，沿绳竖直向上，沿圆弧切线斜向下。
由几何关系可知，与DB延长线的夹角为
由运动关系可知，与应满足
由几何关系知
BD=R
根据机械能守恒定律，得
此时小球1的动能
整理得
，
（3）细绳剪断后，小球2以为初速度，从B点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为，根据机械能守恒定律，得
设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N，根据牛顿第二定律得
整理得
由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为方向向下。
14．图甲是某游乐场的一种“ ( http: / / www.21cnjy.com )双环过山车”设施的一部分，其运行原理可以简化成图乙的“小球轨道”模型。其中AB段和圆轨道不计阻力，BC、CD、DE、EF段平直轨道与小球的动摩擦因数为μ=0.2，DE段的倾角α=53°，B、C为两竖直圆轨道1、2的最低点，LBC=LCD=6m，LDE=1m，LEF=10m，半径R1=2m。质量为m=1kg的小球（视为质点），从轨道的右侧A点由静止开始下滑，设小球不脱离所有轨道，且不考虑D、E点的能量损失，（已知cos37°=0.8，重力加速度取g=10m/s2）试求：
（1）如果小球恰能通过第一个圆轨道，A点的高度h应是多少；
（2）要使小球不脱离第二个圆轨道，半径R2应满足的条件；
（3）要使小球最终停在EF段，A点的高度h应该设计为多少。
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【答案】（1）5m；（2）R2≤1.52m或R2≥3.8m；（3）5m≤h≤5.32m
【详解】
（1）小球恰好能过竖直圆轨道，则在最高点满足
小球从A点到最高点根据机械能守恒定律有
联立解得h=5m
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I.轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v2，应满足
同时满足，小球能通过第一轨道，根据动能定理有
或者
联立解得R2=1.52m
II.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R2，根据动能定理
或者
联立解得R2=3.8m
故R2≤1.52m或R2≥3.8m
（3）如果小球停止在E点，从出发到E点，根据动能定理得
解得h=3.32m<5m
说明小球刚好到E点就过不了竖直圆轨道，如果小球停止在F点，从出发到F点根据动能定理得:
解得h=5.32m
综上可得5m≤h≤5.32m
15．如图所示，轻弹簧一端固定在与斜面垂直的挡板上，另一端点在O位置。质量为m的物块A（可视为质点）以初速度v0从斜面的顶端P点沿斜面向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回。物块A离开弹簧后，恰好回到P点。已知OP的距离为，O点和O′点间的距离，物块A与斜面间的动摩擦因数为，斜面倾角为，重力加速度为g。求：
（1）物体下滑的初速度v0；
（2）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（3）在轻弹簧旁边并排放置另一根与之完全相同的弹簧，一端与挡板固定。若将另一个与A材料相同的物块B（可视为质点）与两根弹簧右端拴接，设B的质量为，将A与B并排在一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，若A离开B后A最终未冲出斜面，求需满足的条件
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【答案】（1）；（2）；（3）1≤β≤17
【详解】
（1）从P点又回到P点
得
（2）根据能量守恒得：从O′点到P点，有
（3）分离时
aA=aB，NAB=0
对A
aA=gsinθ+μgcosθ
对B
2T+βmgsinθ+μβmgcosθ=βmaB
得
T=0
即弹簧处于原长处，A、B两物体分离。从O′点到O点
Ep=μ（β+1）mgcosθx1+（β+1）mgsinθx1+(β+1)mv2
得
分离后，A继续上升到静止
mv2＝(mgsinθ+μmgcosθ)x2，0≤x2≤x0
得
1≤β≤17
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