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洛阳市2021-2022学年高三下学期3月第二次统一考试
数学试卷（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．
2．考试结束，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则在复平面内z对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
4. 已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 等差数列中，，前n项和为，若，则（ ）
A. 1011 B. 2022 C. 1011 D. 2022
6. 下列说法中正确的是（ ）
A. 命题“p且q”为真命题，则p，q恰有一个为真命题
B. 命题“，”，则“，”
C. △ABC中，是的充分不必要条件
D. 设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充要条件
7. 已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（ ）
A. 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
B. 先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
C. 先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度
D. 先把横坐标缩短到原来倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度
8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是（ ）
A 30° B. 45° C. 60° D. 120°
9. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A. B.
C. D.
10. “迎冬奥，跨新年，向未来”，中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为（ ）
A. 576 B. 288 C. 144 D. 48
11. 设曲线在处切线的斜率为，则（ ）
A B.
C. D.
12. 已知O为坐标原点，F是双曲线左焦点，A，B分别为双曲线的左、右顶点，点P在C上，且轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13 已知向量，，若，则实数___________.
14. 已知函数，则______．
15. 已知三棱锥P—ABC中，，，，当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为______．
16. 过抛物线的焦点F作斜率为的直线l，交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B处的两条切线交于点M，则______．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角B；
（2）若，，求△ACD面积的最大值．
18. 已知△ABC是边长为6的等边三角形，点M，N分别是边AB，AC的三等分点，且，，沿MN将△AMN折起到的位置，使．
（1）求证：平面MBCN；
（2）在线段BC上是否存在点D，使平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，设，求的值；若不存在，说明理由．
19. 一商场为了解某商品的销售情况，对该商品30天的销售量统计后发现每天的销售量x（单位：件）分布在内，其中（，且n为偶数）的销售天数为；（，且n为奇数）的销售天数为．
（1）求实数a的值；
（2）当一天销售量不小于700时，则称该日为销售旺日，其余为销售不景气日．将销售天数按照销售量属于，，分成3组，在销售旺日的3组中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，如果这3天来自X个组，求随机变量X的分布列与数学期望．
20. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：．
21. 点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，原点O到l的距离为，求的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程 ；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
[选修4—5：不等式选讲]
23. 已知函数，．
（1）若，求x的取值范围；
（2）若的最小值为M，，求的最小值．
洛阳市2021-2022学年高三下学期3月第二次统一考试
数学试卷（理）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.C 9.A 10.B 11.B 12.D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13. 0
14. 2
15.
16. 4
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（1）
（2）
18.（1）证明见解析
（2）存在，或，
19.（1）；
（2）分布列见解析，.
20.（1）当时，在上为单调递增；当时，在上为单调递减，在上为单调递增.
（2）证明见见解析.
21.（1）
（2）
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.
（1）C的普通方程为，l的直角坐标方程为；
（2）.
[选修4—5：不等式选讲]
23.（1）
（2）

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