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(共41张PPT)
2．6.1　双曲线的标准方程
灯
A
B
P
y
M
B
A
O
X
P双曲线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支．
[问题]　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　双曲线的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
1．双曲线的定义中，若2a＝|F1F2|，则点P的轨迹是什么？2a＞|F1F2|呢？
提示：若2a＝|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞|F1F2|，点P的轨迹不存在．
2．定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？
提示：此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线．
知识点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
巧记双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．　　
　双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
提示：双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－
a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程－＝1表示双曲线．(　　)
(2)双曲线两焦点之间的距离称为焦距．(　　)
(3)若焦点在x轴上的双曲线方程为－＝1，则a2＞b2.(　　)
(4)双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－，0)，(，0)　　　 B．(－5，0)，(5，0)
C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)，(0，)
答案：B
3．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足||PF1|－|PF2||＝6，则动点P的轨迹方程是________．
答案：－＝1
4．双曲线的两焦点坐标是F1(0，3)，F2(0，－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是________．
答案：－＝1
双曲线标准方程的认识
[例1]　已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5　　　　　　 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2[解析]　∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即 或
解得k>5或－2[答案]　B
双曲线方程的辨识方法
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．　　
[跟踪训练]
1．已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．5
C．7 D．
解析：选D　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
解析：选C　方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
求双曲线的标准方程
[例2]　(链接教科书第139页例1)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4且经过点A；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；
(3)双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上．
[解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(－4将点(3，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0).
∵点，在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
1．求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
2．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
[注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　
[跟踪训练]
1．焦点分别为(－2，0)，(2，0)，且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
解析：选A　∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).由题知c＝2，
∴a2＋b2＝4.①
又∵点(2，3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
2.如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，则曲线C的方程为________．
解析：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2，2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
故曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故曲线C的方程为－＝1.
答案：－＝1
双曲线定义的应用
[例3]　如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
[解]　双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝ ＝5.
(1)由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16.
[母题探究]
1．(变条件，变设问)若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离．
解：由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
2．(变条件)若本例条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积．
解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，
|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝×4×4＝8.
3．(变条件)本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．　
双曲线的实际应用
[例4]　(链接教科书第137页情境与问题)A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远．因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角．
[解]　如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(－3，0)，A(3，0)，C(－5，2).因为|PB|＝|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上．设敌炮阵地的坐标为P(x，y)，BC的中点为D.因为kBC＝－，D(－4，)，所以直线PD的方程为y－＝(x＋4).①
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1(x≥2).②
联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为(8，5).
因此kPA＝＝.
故炮击的方向角为北偏东30°.
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．
[跟踪训练]
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工．
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)，这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1(x≥25).
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工．
椭圆、双曲线特性归纳及应用
已知点B(6，0)和C(－6，0)，过点B的直线l和过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1k2＝－，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线．
提示：动点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±6)，其轨迹是椭圆，除去它与x轴的两个交点．
[问题探究]
若示例中“k1k2＝－”变为“k1k2＝”试说明上述问题．
提示：动点A的轨迹方程为－＝1(x≠±6)，其轨迹是双曲线，除去它与x轴的两个交点．
结论：已知点A(a，0)，B(－a，0)，过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
(1)当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1(x≠±a，a＞0，b＞0)；
(2)当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1(x≠±a，a＞b＞0).
[迁移应用]
(2019·全国卷Ⅱ节选)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－，记M的轨迹为曲线C，求C的方程，并说明C是什么曲线．
解：由上述探究的结论可知k1·k2＝－＝－.又∵a2＝4，∴b2＝2，∴C的方程为＋＝1(x≠±2).
即曲线C为焦点在x轴上且不包含长轴端点的椭圆．
1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的(　　)
A．必要不充分条件　　　 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当方程表示双曲线时，一定有ab<0，反之，当ab<0时，若c＝0，则方程不表示双曲线．
2．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是(　　)
A．(1，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，2)
解析：选C　由题意，方程可化为－＝3，
∴解得m＜－2.
3．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.
相减得|MC1|－|MC2|＝4.
又因为C1(－3，0)，C2(3，0)，
并且|C1C2|＝6＞4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支，
且有a＝2，c＝3.所以b2＝5，
所求的轨迹方程为－＝1(x≥2).
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10(共38张PPT)
2．6.2　双曲线的几何性质
灯双曲线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 数学运算
如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
[问题]　你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
性质 图形
范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e＝∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
1．等轴双曲线
(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1(a＞0)；
(2)等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
2．共轭双曲线
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下：
(1)有相同的渐近线；
(2)有相同的焦距；
(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.　
1．能否用a，b表示双曲线的离心率？
提示：能. e＝＝＝.
2．离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
提示：有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)共渐近线的双曲线的离心率相同．(　　)
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　)
(3)双曲线－＝1的渐近线方程是3x±2y＝0.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．双曲线－y2＝1的顶点坐标是(　　)
A．(4，0)，(0，1)　　　　　 B．(－4，0)，(4，0)
C．(0，1)，(0，－1) D．(－4，0)，(0，－1)
答案：B
3．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是(　　)
A．－＝1
B．－＝1或－＝1
C．－＝1
D．－＝1或－＝1
答案：B
4．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
答案：5
双曲线的几何性质
角度一　由双曲线方程求解几何性质
[例1]　(2020·北京高考)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
[解析]　双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3，0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
[答案]　(3，0)　
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．
[注意]　求性质时一定要注意焦点的位置．　　
角度二　求双曲线的离心率
[例2]　(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为________．
[解析]　由双曲线的一条渐近线为y＝x可知，＝，即b＝a.在双曲线中，c2＝a2＋b2，所以c2＝3a2，所以e＝＝.
[答案]　
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解．　
[跟踪训练]
1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　 B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
解析：选B　由已知可得2b＝2，2c＝2，∴b＝1，c＝，∴a＝＝＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝± x＝±x.故选B.
2．(2020·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率是________．
解析：由双曲线的一条渐近线方程为y＝x得＝，则该双曲线的离心率e＝＝ ＝.
答案：
3．如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________．
解析：如图，因为|AO|＝|AF|，F(c，0)，
所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以>a，所以e＝>2.
答案：(2，＋∞)
由双曲线的几何性质求标准方程
角度一　构造方程组求双曲线的标准方程
[例3]　(链接教科书第149页习题A3题)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分．
[解]　 (1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
由几何性质求双曲线标准方程的步骤
(1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；
(2)根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程(组)，并解出a，b的值；
(3)写出双曲线的标准方程．　　　
角度二　利用渐近线求双曲线的标准方程
[例4]　求过点(2，－2)且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程．
[解]　法一：当焦点在x轴上时，可知＝，
故可设所求双曲线的方程为－＝1，
代入点(2，－2)得b2＝－2(舍去)；
当焦点在y轴上时，可知＝，
故可设所求双曲线的方程为－＝1，
代入点(2，－2)得a2＝2.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二：因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，－2)得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化为标准方程为－＝1.
已知渐近线设双曲线标准方程的方法
(1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
(2)若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
(3)若双曲线的渐近线方程为mx＋ny＝0或mx－ny＝0，则双曲线的方程可设为(mx＋ny)(mx－ny)＝λ(λ≠0)，即m2x2－n2y2＝λ(λ≠0).　　　
[跟踪训练]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0).
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
双曲线性质的应用
[例5]　(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
[解析]　由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
[答案]　B
1．双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系．
2．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决．　　
[跟踪训练]
已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为________．
解析：如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
答案：
1．(2019·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．4
C．2 D．
解析：选D　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴ c2＝a2＋1.∴ 5＝e2＝＝＝1＋.结合a>0，解得a＝.故选D.
2．双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：选B　双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，顶点坐标为(1，0)，(－1，0)，故顶点到渐近线的距离为.
3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±，虚轴长为4，则该双曲线的标准方程是________．
解析：若双曲线的焦点在x轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝4，所以此时双曲线的标准方程为－＝1；若双曲线的焦点在y轴上，则＝，2b＝4，解得b＝2，a＝1，所以此时双曲线的标准方程为y2－＝1.综上可知：该双曲线的标准方程是－＝1或y2－＝1.
答案：－＝1或y2－＝1
4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．
解析：双曲线右顶点为(a，0)，一条渐近线x－y＝0，
∴1＝＝.∴a＝2，
又＝，∴b＝，∴双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
5．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两条曲线的方程．
解：由已知c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.
所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
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