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专题04 等腰三角形问题
【真题精选】
1．（2021 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），∴a+＝3，解得：a＝2，∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），得：3＝，∴k＝6，∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，解得：x＝﹣2，∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，∴DE＝BE＝4，∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，∵A（2，3），D（6，0），∴，解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，联立方程组：，解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
2．（2020 眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【解析】（1）∵反比例函数y经过点A（﹣3，2），∴m＝﹣6，
∵点B（1，n）在反比例函数图象上，∴n＝﹣6．∴B（1，﹣6），
把A，B的坐标代入y＝kx+b，则有，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y．
（2）如图设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8．
（3）由题意OA，当AO＝AP时，可得P1（﹣6，0），
当OA＝OP时，可得P2（，0），P4（，0），
当PA＝PO时，过点A作AJ⊥x轴于J．设OP3＝P3A＝x，
在Rt△AJP3中，则有x2＝22+（3﹣x）2，解得x，∴P3（，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣6，0）或（，0）或（，0）或（，0）．
3．（2018 遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
【解析】（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y图象交于A与B，且AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，AD＝4，sin∠AOD，∴，即AO＝5，
根据勾股定理得：DO3，∴A（﹣3，4），
代入反比例解析式得：m＝﹣12，即y，把B坐标代入得：n＝6，即B（6，﹣2），
代入一次函数解析式得：，解得：，即yx+2；
（2）当OE3＝OE2＝AO＝5，即E2（0，﹣5），E3（0，5）；
当OA＝AE1＝5时，得到OE1＝2AD＝8，即E1（0，8）；
当AE4＝OE4时，由A（﹣3，4），O（0，0），得到直线AO解析式为yx，中点坐标为（﹣1.5，2），
∴AO垂直平分线方程为y﹣2（x），令x＝0，得到y，即E4（0，），
综上，当点E（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）时，△AOE是等腰三角形．
【例题讲解】
例1．（腰不固定）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m）
（1）求这两个函数的解析式；
（2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值．
【解析】解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y（k2≠0）的图象上，
∴k2＝﹣1×（﹣4）＝4，
∴反比例函数解析式为y，
将点B（4，m）代入反比例函数y中，得m＝1，∴B（4，1），
将点A（﹣1，﹣4），B（4，1）代入一次函数y＝k1x+b中，得，
∴，∴一次函数的解析式为y＝x﹣3；
（2）由（1）知，直线AB解析式为y＝x﹣3，∴C（0，﹣3），
∵B（4，1），P（n，0），
∴BC2＝32，CP2＝n2+9，BP2＝（n﹣4）2+1，
∵△BCP为等腰三角形，∴①当BC＝CP时，∴32＝n2+9，
∴n（舍）或n，
②当BC＝BP时，32＝（n﹣4）2+1，
∴n＝4（舍）或n＝4，
③当CP＝BP时，n2+9＝（n﹣4）2+1，
∴n＝1（舍），即：满足条件的n为或（4）．
例2．（腰固定）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点B．
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．
【解析】解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），
将B（2，4）在反比例函数解析式y（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y，
当m＝3时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D（2+3，4），即：D（5，4），
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y的图象于点E，∴E（5，），
∴DE＝4，EF，∴；
②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），
∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，
Ⅱ、当BC＝BD时，
∵B（2，4），C（m，8），∴BC，
∴m，∴m＝5，
即：△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5．
【课后训练】
1．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．
【解析】（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y，∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y，解得，，，∴B（2，1）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），
∵A（1，2），∴AC2，
过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，
当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），
当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2
∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），
当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），
综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
【解析】解：∵AD⊥x轴，∴∠ADO＝90°，
在Rt△AOD中，AD＝4，∴sin∠AOD，∴OA＝5，根据勾股定理得，OD＝3，
∵点A在第二象限，∴A（﹣3，4），
∵点A在反比例函数y的图象上，∴m＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数解析式为y，
∵点B（n，﹣2）在反比例函数y上，∴﹣2n＝﹣12，∴n＝6，∴B（6，﹣2），
∵点A（﹣3，4），B（6，﹣2）在直线y＝kx+b上，
∴，∴，∴一次函数的解析式为yx+2；
（2）由图象知，满足kx+b的x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜6；
（3）设点E的坐标为（0，a），
∵A（﹣3，4），O（0，0），∴OE＝|a|，OA＝5，AE，
∵△AOE是等腰三角形，∴①当OA＝OE时，|a|＝5，∴a＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当OA＝AE时，5，∴a＝8或a＝0（舍），∴P（0，8），
③当OE＝AE时，|a|，∴a，∴P（0，），
即：满足条件的点P的坐标为P（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0，）．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由
【答案】（1）y1=-x-2，；（2）6；（3）（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）．
【详解】解：（1）∵A（-4,2），∴将点A坐标代入反比例函数解析式可得：m=-8
∴该反比例函数的解析式为，将点B的坐标代入，可得n=-4∴点B的坐标（2，-4）
将A与B坐标代入一次函数解析式中，可得：
，解得：，∴一次函数解析式为y1=-x-2；
（2）当-x-2=0时，解得x=-2，∴直线AB与x轴的交点为（-2,0）
∵点A（-4,2）、点B（2，-4），∴△AOB的面积为：；
（3）设点P（m，0），∵点A、O的坐标分别为：（-4,2）、（0，0）
∴AO2= =20, PO2== m2，PA2==m2+20+8m，
当AO=PO时，有20=m2，解得：m=；
当PA=OA时，m2+20+8m=20，解得：m=-8或m=0（不合题图舍去）
当PA=PO时，有m2+20+8m= m2，解得：m=-2.5，
综上点P的坐标为：（,0）或（-8,0）或（-2.5,0）时，△PAO为等腰三角形
4．如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【详解】（1）过点分别作轴于，轴于，如图，
四边形是矩形，
是等腰直角三角形，，四边形是正方形，
，设，
点在直线上，，解得，，
反比例函数（）的图像经过点，，，反比例函数的解析式为；
（2）,把代入，解得，，，
在中，①，在中，②，
①-②,得，
（3）①若，，如图，连接，
在与中，，，
，又，，即，
，，把代入，得，，
②若，如图，过点作轴于，过分别作轴，垂足分别为，
在与，，，
，设，则，由，
可得，解得，经检验，m是原方程的解，，，，
③若，如图，过点作轴于，过作轴于，
在与中，，
，，
设，则，由，
可得，解得，经检验，m是原方程的解，
，，，
综上所述，存在点符合题意，其坐标为，，．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C在x轴上（点A在点C的左侧），BC⊥x轴，连结AB，双曲线(x>0)交BC于点D(6，m)，与线段AB交于点E(3，n)．
（1）n，m满足的数量关系为： ；
（2）当k为何值时，△BDE为等边三角形？求出此时点B的坐标．
【答案】（1）n=2m；（2）当k=时，△BDE为等边三角形，此时点B的坐标是(6，)．
【详解】解：（1）∵双曲线（x＞0）与边BC交于点D（6，m），与边AB交于点E（3，n），∴3n＝6m，
∴n关于m的函数关系式为n＝2m；
（2）如图，过点E作EF⊥BC，垂足为F，则EF=6－3=3．
∵△BDE是等边三角形，∴∠FED=30°，∴ED=2DF，∴DF=BF=，即n－m=，
由（1）可知：n=2m，∴m=，n=，∴此时点D的坐标是(6，)，∴k=．
∵，∴B(6，)．
∴当k=时，△BDE为等边三角形，此时点B的坐标是(6，)．
6．如图，直线y＝经过点所A（﹣3，0），在x轴正半轴上有一点D，且tan∠BDO＝，过点C作CD垂直于x轴，交直线y=＋b于C点，反比例函数y＝经过点C
（1）求b和反比例函数的解析式；
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值；
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．
【答案】（1）b＝4，y＝；（2）6；（3）点E坐标为（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．
【详解】解：（1）∵直线经过A（﹣3，0），∴﹣4＋b＝0，∴b＝4，
∴直线的解析式为，∴B（0，4）．∴OB＝4.
∵,∵OD＝3，∴D（3，0），把x＝3代入， ∴C（3，8），
∵反比例函数经过点C，∴k＝3×8＝24，∴反比例函数解析式为y＝；
（2）如图，
∵将点B向右平移m个单位长度得到点P，∴P（m，4）．
∵当四边形BCPD是菱形时，C（3，8），D（3,0），∴CD⊥x轴，
∴点P和点B关于CD对称，∴点P的坐标为（6，4），∴m＝6，4×6＝24＝k，∴点P在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BCPD为菱形，此时点P的坐标为（6，4）；
（3）设E（n，0）．∵C（3，8），∴，，，
△COE是等腰三角形，分三种情况：
①OC＝OE，则＝|n|，∴n＝或n＝﹣．∴符合条件的点E坐标为（，0）或（﹣，0）；
②OC＝CE，则＝．此时n＝6或n＝0（舍去）．符合条件的点E坐标为（6，0）；
③OE＝CE，则|n|＝．此时n＝ ．符合条件的点E坐标是（，0）．
综上所述，符合条件的点E坐标为（，0）或（﹣，0）或（6，0）或（，0）．
7．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴正半轴上，且与点，构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标．
【答案】（1）；（2）或
【详解】解：（1）∵点在一次函数的图象上，
把点坐标代入，得，∴点的坐标是，
设反比例函数的解析式为，
把点的坐标代入得，，解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）在直线中，令，则，∴，
由（1）知，，∴，
当时，，∴，∴，
当时，点在的垂直平分线，∴，
即满足条件的点的坐标为或．
8．如图，直线经过点A（－3，0）与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且tan过D点作DC⊥x轴交直线于C点，反比例函数经过点C
（1）求b和反比例函数的解析式
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值，并判断点P是否落在反比例函数图象上．
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．
【答案】（1）b＝4，；（2）m=6，点P在反比例函数图象上；（2）
【详解】解：（1）∵直线经过A（﹣3，0），∴﹣4+b＝0，∴b＝4，
∴直线的解析式为．∴B（0，4）．∴OB＝4．
∵tan∠BDO==，∴OD＝3，∴D（3，0），
把x＝3代入＝8，∴C（3，8），
∵反比例函数经过点C，∴k＝3×8＝24，∴反比例函数解析式为；
（2）如图，
∵将点B向右平移m个单位长度得到点P，∴P（m，4）．
∵当四边形BCPD是菱形时，C（3，8），D（3，0），∴CD⊥x轴，
∴点P和点B关于CD对称，∴点P的坐标为（6，4），∴m＝6，4×6＝24＝k，∴点P在反比例函数图象上，
∴反比例函数图象上存在点P，使四边形BCPD为菱形，此时点P（6，4）．
（3）设E（n，0）．∵C（3，8），O（0，0），∴，，，
△COE是等腰三角形，分三种情况：
①OC＝OE，则，∴n=或n=-，
∴符合条件的点E坐标为（，0）或（-，0）；
②OC＝CE，则．此时n＝6或n＝0（舍去）．符合条件的点E坐标为（6，0）；
③OE＝CE，则．此时n=，
符合条件的点E坐标是（，0）．
综上所述，符合条件的点E坐标为（，0）或（-，0）或（6，0）或（，0）．专题04 等腰三角形问题
【真题精选】
1．（2021 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
2．（2020 眉山）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，当△PAO为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
3．（2018 遂宁）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
【例题讲解】
例1．（腰不固定）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0）的图象交于A（﹣1，﹣4）和点B（4，m）
（1）求这两个函数的解析式；
（2）已知直线AB交y轴于点C，点P（n，0）在x轴的负半轴上，若△BCP为等腰三角形，求n的值．
例2．（腰固定）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y（x＞0）的图象经过点B．
【课后训练】
1．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．
2．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（m≠0）的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD＝4，sin∠AOD，且点B的坐标为（n，﹣2）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）请直接写出满足kx+b的x的取值范围；
（3）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣4，2），B（2，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请写出理由
4．如图，为等腰直角三角形，斜边在轴上，一次函数的图像经过点，交轴于点，反比例函数（）的图像也经过点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点作于点，求的值；
（3）若点是轴上的动点，点在反比例函数的图像上使得为等腰直角三角形？直接写出所有符合条件的点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C在x轴上（点A在点C的左侧），BC⊥x轴，连结AB，双曲线(x>0)交BC于点D(6，m)，与线段AB交于点E(3，n)．
（1）n，m满足的数量关系为： ；
（2）当k为何值时，△BDE为等边三角形？求出此时点B的坐标．
6．如图，直线y＝经过点所A（﹣3，0），在x轴正半轴上有一点D，且tan∠BDO＝，过点C作CD垂直于x轴，交直线y=＋b于C点，反比例函数y＝经过点C
（1）求b和反比例函数的解析式；
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值；
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．
7．如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴正半轴上，且与点，构成以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标．
8．如图，直线经过点A（－3，0）与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且tan过D点作DC⊥x轴交直线于C点，反比例函数经过点C
（1）求b和反比例函数的解析式
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形BCPD为菱形时，求出m的值，并判断点P是否落在反比例函数图象上．
（3）点E是x轴上一点，且△COE是等腰三角形，求所有点E的坐标．

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