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(共30张PPT)
1．2.3　直线与平面的夹角
灯
直线与平面垂直
直线与平面的夹角为
线与平面所成的角
直线与平面平行或
直线与平面的夹角为
直线在平面内
平面的斜线与它在平面内的
斜线和平面所成的角
所成的锐角，称为这条斜线
与平面所成的角
如图，AB⊥C,则图中0,01,02之间的
关系是
线线角、线面
最小角定理
角的关系式
M
最小角
平面的斜线和它在平面内的
所成的角，是
斜线和这个平面内所有直线所成角中
定理
cos 0=cos 01.cos 02
射影
最小的
角
找直线的方向向量5
找平面的法向量t
三
计算c0s0话
四
转化为sin0=lcss,t
S
C
B
A
D直线与平面的夹角
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线与平面的夹角定义 直观想象
2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 数学运算
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”．迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”．
[问题]　45度到底指的是哪个角呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线与平面的夹角
1．直线和平面所成的角
2．最小角定理
3．用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－，特别地cos θ＝sin_〈v，n〉或sin θ＝|cos_〈v，n〉|．
1．斜线与平面的夹角为[0，90°]，对吗？
提示：错误．斜线与平面的夹角为(0，90°).
2．直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
提示：不是．直线和平面的夹角为.
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°　　　　　　　 B．60°
C．30° D．以上均错
解析：选C　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为________．
解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，
设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，
sin ∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°.
即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.
答案：30°
利用定义求直线与平面的夹角
[例1]　如图，正四棱锥P ABCD底面边长为，高为1，求直线BE与平面PAC所成的角．
[解]　 如图，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P ABCD的高，所以PO＝1，因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角，在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan ∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°.所以直线BE与平面PAC所成的角为60°.
求直线和平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
　　
[跟踪训练]
1．在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B　如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin ∠DAN＝＝＝.
2．在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D的夹角为________．
解析：如图所示，连接A1C1交B1D1于E，
则有A1C1⊥B1D1，连接BE.
∵DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴DD1⊥A1C1，∴DD1⊥A1E.
又∵A1E⊥B1D1，∴A1E⊥平面BB1D1D.
∴∠A1BE是A1B与平面BB1D1D所成的角．
在Rt△A1BE中，A1E＝A1C1＝A1B.
∴∠A1BE＝.
即A1B与平面BB1D1D所成的角为.
答案：
利用cos θ＝cos θ1cos θ2求直线与平面夹角
[例2]　(链接教科书第44页例1)如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角．
[解]　如图，过点A作AH⊥α，则∠AOH为AO与平面α所成的角，
∴cos 60°＝cos ∠AOB＝cos ∠AOC＝cos ∠AOH×cos ∠BOH
＝cos ∠AOH×cos ∠COH.
∴cos ∠BOH＝cos ∠COH，
∴∠BOH＝∠COH.
又∵OB＝OC＝a，BC＝a，
∴OB2＋OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°.
∴∠BOH＝45°，
∵cos ∠AOB＝cos ∠AOH·cos ∠BOH，
∴cos 60°＝cos ∠AOH·cos 45°.
∴cos ∠AOH＝.∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角为45°.
cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
(1)利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图形中θ，θ1，θ2；
(2)①当θ＝90° θ2＝90°，即符合三垂线定理；
②由0[跟踪训练]
PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　如图，∵∠CPA＝∠CPB，
∴PC在平面APB内的射影PH是∠APB的平分线．
∴cos ∠CPH＝＝＝.
利用空间向量求直线与平面的夹角
[例3]　(2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心．若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
[解]　(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.
因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝.
连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝，E.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC.设Q(a，0，0)，则NQ＝ ，
B1，
故＝，
||＝.
又n＝(0，－1，0)是平面A1AMN的法向量，故sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－〈n，〉)) ＝cos 〈n，〉＝ eq \f(n·,|n|·||) ＝.
所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.
用法向量求线面角的正弦值的流程图
　　　
[跟踪训练]
1.如图，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值．
解：由题设条件知，可建立以AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AS所在直线为z轴的空间直角坐标系(如图所示).若设AB＝1，则A，B，C，D，S的坐标分别为(0，0，0)，(0，1，0)，(1，1，0)，，(0，0，1)，
∴＝(0，0，1)，＝(－1，－1，1)，显然是底面的法向量．它与已知向量的夹角β＝90°－θ，故有sin θ＝cos β＝ eq \f(·,||||) ＝＝，cos θ＝＝.
2.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，求直线AA1与平面AB1C1所成的角．
解：在直三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，).设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·＝0，, n·＝0)) 得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝，所以θ＝.
1．若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D　由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.
2．已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C　如图，连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求．
C1O＝×＝2，
BC1＝＝2，
∴sin ∠C1BO＝＝＝.
3．若平面α的一个法向量为(1，1，1)，直线l的方向向量为(0，3，4)，则l与α所成角的正弦值为________．
解析：设l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.
答案：
4．在正三棱锥P ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为________．
解析：如图，在正三棱锥P ABC中，PA＝4，AB＝，
设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，
由已知求得AO＝1，又PA＝4，
∴PO＝＝.
∴sin ∠PAO＝＝.
即侧棱PA与底面ABC所成角的正弦值为.
答案：
5．在正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，求直线BC与平面PAC所成的角．
解：如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，
设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
则A(a，0，0)，B(0，a，0)，
C(－a，0，0)，P，
从而＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0).
设平面PAC的一个法向量为n，可求得n＝(0，1，1)，
则cos 〈，n〉＝ eq \f(·n,|||n|) ＝＝.
所以〈·n〉＝60°.
所以直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.
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