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重难突破微专题(四) 截面问题
一、直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程．
【典例1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，不正确的是(　　)
A．四边形BFD1E有可能是梯形
B．四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
C．四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D
D．四边形BFD1E面积的最小值为
二、作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．
【典例2】如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
三、作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线．
【典例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【典例4】如图，在棱长为的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，CD的中点，则由点E，F，G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于________．
参考答案
一、直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程．
【典例1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，不正确的是(　　)
A．四边形BFD1E有可能是梯形
B．四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形
C．四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D
D．四边形BFD1E面积的最小值为
【解题指南】四边形BFD1E有两组对边分别平行，所以是一个平行四边形；四边形BFD1E在底面ABCD内的投影是四边形ABCD；当与两条棱上的交点是中点时，四边形BFD1E 垂直于面BB1D1D ；当E，F分别是两条棱的中点时，四边形BFD1E的面积最小为.
【解析】选A.过BD1作平面与正方体ABCD A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE.
平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，BE∥D1F，因此，同理D1E∥BF，
故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；
对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD，因此B正确；
对于选项C，当点E、F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF 平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；
对于选项D，当F点到线段BD1的距离最小时，此时平行四边形BFD1E的面积最小，此时点E、F分别为AA1，CC1的中点，此时最小值为××＝，因此D正确．
二、作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线．
【典例2】如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
【解析】如图所示，A1B1的中点H，BB1的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E，又C1G 平面CD1E，D1E 平面CD1E，可得C1G∥平面CD1E.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1E.因为M点是正方形ABB1A1内的动点，C1M∥平面CD1E，所以点M在线段GH上．
所以M点的轨迹长度为GH＝＝.
答案：
三、作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线．
【典例3】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
【解析】选C.在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形．
四、辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面．
【典例4】如图，在棱长为的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，CD的中点，则由点E，F，G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于________．
【解析】分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN.则正六边形的边长MG＝＝＝1，
故截面多边形的面积S＝6××12＝.
答案：

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