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第1课时　不 等 关 系
序号 知识目标 学法建议 能力素养
1 了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系 阅读教材,小组交流列举生活实例 通过实例理解不等式表示的意义
2 会用不等式的基本理论来比较两个代数式的大小 板演示例,小组练习 体会比较大小的两种方法,且能够灵活运用
3 掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活运用其解决一些实际问题 合作探究,小组讨论,师生共同总结 通过比较大小的运算提升数学运算素养
重点:理解不等式的意义,列不等式表示数量关系,比较大小的基本步骤及其应用.
难点:正确理解题意列出不等式,准确理解实数运算的符号法则及一些代数式的恒等变形.
某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车,有9名驾驶员,此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.
分析:设每天派出甲型卡车x辆,乙型卡车y辆.根据题意,应有如下的不等关系:
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数.
(2)车队每天至少要运360 t矿石.
(3)甲型车不能超过4辆,乙型车不能超过7辆.
预学1:不等关系
《问题情境》中的实际问题要同时满足上述三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
想一想:某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h,且在行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为　　　　.(抢答)
预学2:作差法比较大小的依据
(1)a>b a-b>0;(2)a=b a-b=0;(3)a要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系即可.
练一练:若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是　　　　.(指定小组回答,其他小组补充)
预学3:作商法比较大小的依据
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b >1;(2)a=b =1;(3)a要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的商与1的大小关系即可.
预学4:比较大小的步骤和关键点
(1)作差法比较大小的步骤:作差→变形→定号→结论.
(2)作差法比较大小的关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.常用方法有通分、因式分解、配方、有理化等.
　　作商法类似作差法.
议一议:你能说出作商法比较大小的一般步骤吗 (小组讨论)
1.已知△ABC的三边长分别为a,b,1,则a,b满足的不等关系是　　　　.
2.比较x2+3与3x的大小,其中x∈R.
　　 探究1:作差法比较大小
【例1】已知a,b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
【针对训练1】已知a1≤a2,b1≤b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系为　　　　.
探究2:作商法比较大小
【例2】已知a>b>0,比较aabb与abba的大小.
【方法指导】通过作商法比较大小.
【针对训练2】已知a>b>0,比较与的大小.
探究3:用不等关系解决实际问题
【例3】在六一儿童节期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券.(如表所示)
消费金额 (元) [200, 400) [400, 500) [500, 700) [700, 900) …
获奖券的金额 (元) 30 60 100 130 …
　　依据上述方法,顾客可以获得双重优惠.(优惠率=(优惠金额+奖券金额)÷总标价)
试问:(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少
(2)对于标价在[500,800]内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率
【方法指导】(1)了解双重优惠的定义;(2)分别算出优惠金额和奖券金额,利用优惠率不小于得到不等式,求得标价的范围.
【针对训练3】甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,试判断谁先到教室.
1.比较大小的方法
(1)作差法
一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.
(2)作商法
一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.
(3)特殊值法
若是选择题可以用特殊值法比较大小,若是填空题或解答题,也可以用特殊值法求解.
例如：设a+b<0,且b>0,则(　　).
A.b2>a2>ab B.b2-ab>b2
2.运用不等式解决实际问题时,首先要将实际问题转化为不等式的问题,然后解不等式即可.
基础达标(水平一 )
1.设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是(　　).
　A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0
2.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系为(　　).
A.a2>a>-a2>-a B.-a>a2>-a2>a C.-a>a2>a>-a2 D.a2>-a>a>-a2
3.已知a<0,-1A.a B.ab C.ab2 D.不确定
4.设a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则(　　).
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
5.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2200 km;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它行驶同样的路程得花9天多的时间.这辆汽车原来每天行驶的路程(km)的范围是　　　　.
6.已知点An(n,an)为函数y=图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为 　　　　.
拓展提升(水平二)
7.已知实数a,b满足等式2011a=2012b,给出下列关系式:①0　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.设a,b∈R,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能得出“a,b中至少有一个实数大于1”的条件是　　　　.
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
9.已知a,b∈R,x=a3-b,y=a2b-a,试比较x 与y的大小.