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莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测 11. 函数 = ()的导函数 = ’()的图象如图所示，以下命题正确的是( )
数学试题
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分）
1. 下列导数运算正确的是( )
A. 1 1()′ = B. ()′ = C. (3)′ = 3 D. ( ) = 1′ 2
A. 4是函数 = ()的最小值点 B. 0是函数 = ()的极值点
2. 已知曲线 = 1 2 2上一点(1, 3 )，，则在点处的切线的倾斜角为
2 2 ( )
C. = ()在区间( 4,1)上单调递增 D. = ()在 = 1处切线的斜率大于零
A. 30° B. 45° C. 135° D. 165°
3. 设曲线 = 2 + 2在点处的切线斜率为 3，则点的坐标为( )
12. 设函数() = 1 ln ( > 0)，则 = ()( )
A. (0, 2) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1) 3
4. 1如图所示，从甲地到乙地有 3条公路可走，从乙地到丙地有 2条公路 A. 在区间 , 1 内无零点，在区间(1, )内有零点；
可走，从甲地不经过乙地到丙地有 2条水路可走.则从甲地经过乙地到 B. 1在区间 , 1 ，(1, )内均有零点；
丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为( )
C. 在区间 3, 2 内有零点；
A. 6，8 B. 6，6 C. 5，7 D. 6，2
D. 函数 = ()有且仅有两个零点。
5. 已知2 = 15，那么2 = ( )
A. 20 B. 30 C. 42 D. 72
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
6. 用数字 0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比 40000大的偶数共有( )
13. 若 3 = 6 4 ，则的值为 ．
A. 144个 B. 120个 C. 96个 D. 72个
7. 3名男生和 2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有( )排法．
14. 如图，从 → 有________种不同的走法．
A. 120 B. 24 C. 48 D. 96
8. 某高中期中考试需要考查九个学科(语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理)，已
知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有( )
A. 88种 B. 2 727种 C. 62 6 26 7种 D. 68种
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
15. () = 3 3 + 有 3个不同的零点，则的取值范围是________．
9. 下列等式中，成立的有( )
A. = ! B. 1 + = 1 ! +1 C. = D. = 1 16. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化.为加大宣传力度，提高防控能力，某县
10. (多选题)已知函数() = ，则下列说法正确的是( ) 疾控中心拟安排某 4名医务人员到流动人口较多的某 3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去
A. () (, + ∞) B. () (0, 1的单调递增区间为 在 )上是减函数 一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有 种．
C. 当 ∈ (0,1]时，() 1有最小值 D. ()在定义域内无极值
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四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 20. 已知函数 f (x) x 1 x ．e
17. 1（10 分）已知曲线() = 3．
3 (1)求函数()的极值;
(1) 8求曲线在点(2, )处的切线方程;
3
(2)若函数 g(x) f (4 x) ，求证：当 > 2时，() > ()．
(2) 2若曲线上某点的切线过点(0, )，求该点坐标以及该点处的切线方程．
3
18. 已知函数() = 23 62 18 + 5． 21. () = 3 5已知函数() = 2ln， ，其中是自然对数的底数．e e
(Ⅰ)求函数()的单调区间；
(Ⅰ)求函数()在区间[, 4]上的最小值；
(Ⅱ)若函数() = () + 至多有两个零点，求实数的取值范围．
(Ⅱ)求证：对任意， ∈ (0, + ∞)，都有() ≥ ()成立．
22. 设函数() = 1 ．
= ln + 2 (Ⅰ)证明： ∈ ，() ≤ ；19. 已知函数 ．

(Ⅱ)令 () = (1 ())．
(Ⅰ)求 的极小值；
()求 ()的最大值；
3
(Ⅱ)已知函数 = + 22 2，其中为常数且 ≠ 0，若函数 在区间[1,2]上为

()如果 ≠ ，且 ( ) = ( )，证明： + > 2．
单调增函数，求实数的取值范围． 1 2 1 2 1 2
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莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测 数学试题 答案 所以在(0,2)上单调递减，在(2, + ∞)上单调递增，
所以()的极小值为(2) = 2 + 1．
3 2 2
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12. (Ⅱ)因为() = () + 2 ，所以 ，
13. 7 14. 6 15. ( 2,2) 16. 36 3 1所以 ′() = 4 + ( > 0)，

因为()在区间[1,2]上是增函数，
17.解：(1)由题意，得′() = 2，所以′(2) = 4，
所以在区间[1,2] 3 1上′() ≥ 0恒成立，即 4 + ≥ 0在区间[1,2]上恒成立，
从而曲线在点(2, 8 ) 8 16处的切线方程为 = 4( 2)，整理得 = 4 ．
3 3 3 3 ≥ 4 1 [1,2] 3即 在区间 上恒成立，即 ≥ (4 1 )，其中 1 ≤ ≤ 2．
1 (2)设切点为( 30, 3 0)，
令 () = 4 1 (1 ≤ ≤ 2)，易知函数 ()在区间[1,2]上单调递增，
1
则点处的切线方程为 3 20 = 0( 0)，整理得 = 2
2
0 30，3 3
() 1 15 3 15 2所以 = (2) = 4 × 2 = ，所以 ≥ ，所以 0 < ≤ ，
2 2 2 2 5
再将点(0, ) 1代入方程，解出0 = 1，从而切点的坐标为(1, )，3 3 2
故实数的取值范围(0, ]．
5
该点处的切线方程为 = 2．
3
【解析】本题考查利用导数求解切线方程属于基础题．
【解析】本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，有一定难度．
(1)由题意，得′() = 2，在把 = 2 8代入后求出切线方程斜率，在根据点(2, )得出切线方程即可，
3 (Ⅰ) 1 2求导 f′(x) = 2，研究单调性，得到函数极小值；x x
(2) 1 1 2先设(0, 30)，再利用导数相关知识求解出点处的切线方程为 30 = 20( 0)，再将点(0, )代入方程，解出0即可．3 3 3
(Ⅱ ，根据函数 g(x)在区间[1,2]上为单调增函数，求导可知在区间[1,2]上 g′(x) ≥ 0 3恒成立，即 4x+ 1 ≥ 0
a x
在区间[1,2]上恒成立，
18.解答：(Ⅰ)依题意：′() = 62 12 18 = 6( 3)( + 1)
3
即 ≥ (4x 1 )max，其中 1 ≤ x ≤ 2.求 (x) = 4x
1 (1 ≤ x ≤ 2)最大值即可．
故当 ∈ ( ∞, 1)时，′() > 0，当 ∈ ( 1,3)时，′() < 0，当 ∈ (3, + ∞)时，′() > 0 a x x
所以函数()的单调增区间为( ∞, 1)和(3, + ∞)，单调减区间为( 1,3)
(Ⅱ)令() = 0,得 = ()． 20.【答案】(1)解： ， ，
因为( 1) = 15，(3) = 49， 令 ，解得 = 2．
所以函数() = () + 至多有两个零点可转化为曲线 = ()与直线 = 至多有两个交点。 ()，′()随的变化情况如下表：
结合图象可知， 15或 49， ( ∞,2) 2 2, + ∞
即实数的取值范围为( ∞, 15] ∪ [49, + ∞)
′ + 0
【解析】本题考查利用导数求解函数的单调区间以及零点问题，属于简单题．
() ↗ 极大值 ↘
(Ⅰ)求 f′(x)及函数 f(x)的定义域，由 f′(x) > 0及 f′(x) < 0得出 f(x)的单调区间；
∴ ()在( ∞,2)上是增函数，在(2, + ∞)上是减函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得出 f(x)在定义域内的单调性和极值，进而转化为曲线 y = f(x)与直线 y = a至多有两个交点。结合图象可以求出 a的取值范围．
1
19. ( ) () = 1 2
∴当 = 2时，()取得极大值(2) = 2，没有极小值．
解： Ⅰ 因为 ，所以 ′ ，
2
1 2 (2)证明： ，
令′() = 2 = 0，得 = 2．
令′() > 0 > 2 () < 0 令 ，，则 ，令 ′ ，则 0 < < 2，
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． 当 > 0 时，′() > 0，()是增函数，
当 < 0 时，′() < 0，()是减函数，
当 > 2时， ，2 > 4，从而 ， ，()在(2, + ∞)上是增函数．
于是()在 = 0 处取到最小值，因而当 ∈ 时，() ≥ (0) = 0，即 ≥ 1+ ，
．
所以 ∈ ，() ≤ ；
∴当 > 2时，() > ()成立．
(Ⅱ) ()方法一：因为 () = (1 ()) = =

， ∈ ，
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值及利用导数证明不等式成立，考查计算求解能力，属于中档题目． ′() =
1
，

(1)求出 f′(x)，判断出 f(x)的单调性，得出 f(x)的极值； 当 > 1 时， ′() < 0， ()单调递减；当 < 1 时， ′() > 0， ()单调递增；

(2)令 ，求导得出 F(x)的单调性，故 ，即可得证不等式成立． 所以 () = 在( ∞,1)内是增函数，在(1, + ∞)内是减函数， = 1 是函数 ()的唯一极大值点．
1
则 ()max = (1) = ；
21.【答案】解：()由题意得，函数()的定义域为(0, + ∞)，′() = 2(ln + 1)．
方法二：结论代换法，
令′() < 0，解得 0 < <
1 ; 1令
′() > 0，解得 > ， 由(Ⅰ)知：1 + ≤ ，则 1 + 1 ≤ 1 1，即

≤ 恒成立， ()
max
= ；

∴函数() (0, 1 ) 1在 上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
()因为1 ≠ 2，且 (1) = (2)，
∴函数()在[, 4]上单调递增，又() = 2， 所以由 ()图像可知不妨设 0 < 1 < 1 < 2，
∴函数()在区间[, 4]上的最小值为 2． + 2则根据 (1) = (2)，有 1 1 = 2 2，即 1 2 = ，1
()由() () = 1知函数 在 处取得最小值，
1+2 = 2设 = ( > 1) ，1
即()min = (
1 ) = 2，∴ () ≥ 2．
2 = 1 = ln , = ln则 + = ln，所以 1 ，1 2 1 2 1
∵ () = 3 5 () = 3 3 ，则 ′ ． 则1 + =
+1 ln
2 ， 1
易得函数()在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
+ > 2 ln 2( 1)要证 1 2 ，只要证 > 0( > 1)，
2 2 +1∴函数()在 = 1 处取得最大值，即()max = (1) = ，∴ () ≤ ，
构造新函数() = ln 2( 1) ( > 1)，
∴对任意， ∈ (0, + ∞)，都有() ≥ () +1成立．
() = 1 4 = ( 1)
2
则 ′ 2 2 > 0， (+1) (+1)
【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力． 所以()在(1, + ∞)上单调递增，
(Ⅰ)由 f(x) = 2xlnx，得 f′(x) = 2lnx + 2.由此能求出函数 f(x)在区间[e, 4]上的最小值． > 1 ln 2( 1)因此当 时， > 1 0 = 0 恒成立，
+1
( ) f(x) = 2xlnx(x ∈ (0, + )) x = 1 f(m) ≥ 2 . g(x) = 3x 5 g (x) = 3 3xⅡ 由 ∞ 在 时取得最小值，知 由 x ，得 ′ x .所以函数 g(x)(x > 0)在 x = 1时取e e e e e 所以1 + 2 > 2得证．
2
得最大值 ，由此能够证明对任意 m，n ∈ (0, +∞)，都有 f(m) ≥ g(n)成立．
e 【解析】本题考查利用导数研究单调性、最值以及恒成立问题，属于难题．
22.【答案】证明：(Ⅰ)要证明 ∈ ，() ≤ ，只要证 1 ≤ ，只要证 1 ≤ ，
(Ⅰ)要证明 x ∈ R，f(x) ≤ x，只要证 1+ x ≤ ex恒成立，构造函数，利用导数证明即可；
只要证 1 + ≤ ，
(Ⅱ)(i)方法一：得到 (x)的解析式，利用导数求出 (x)的最大值即可；
构造函数：() = 1，
方法二：利用( ) 2(t 1)Ⅰ 的结论直接求解即可；(ii)构造新函数，则只需证明m(t) = lnt > 0(t > 1)即可．
t+1
则对()求导得：′() = 1．
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