资源简介

※知识精要
1.三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、圆、扇形的面积公式。
2.图形的性质及勾股定理。
※要点突破
1. 正确运用转化思想求阴影部分的面积。
2. 正确作出辅助线是解题的关键．
※典例精讲
例1．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△,已知AC=9,BC=6,则线段AB扫过的图形的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
例2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°.把△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△AB′C′，若AB＝8，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A． 8π B． 6π C． 4π D． 2π
【答案】A
※课堂精练
一、单选题
1．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2．如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20 m，则圆环的面积为(　　)
A． 10 m2 B． 10 π m2
C． 100 m2 D． 100 π m2
【答案】D
【解析】过O作OC⊥AB于C，连OA，根据垂径定理得到AC=BC=10，再根据切线的性质得到AB为小圆的切线，于是有圆环的面积=π OA2-π OC2=π（OA2-OC2）=π AC2，即可圆环的面积．
解：过O作OC⊥AB于C，连OA，如图，
∴AC=BC，而AB=20，
∴AC=10，
∵AB与小圆相切，
∴OC为小圆的半径，
∴圆环的面积=π OA2-π OC2
=π（OA2-OC2）
=π AC2
=100π（平方米）．
故选：D．
3．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（　　）
A． B．
C． 2 D． 2
【答案】D
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
4．如图，过半径为的⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，切点为A、B，如果∠APB=60°，则图中阴影的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
5．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于( )
A． 1－ B．
C． 1－ D．
【答案】B
，
∴△BDF≌△EOF（AAS），
∴．
故选：B
6．如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，点F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是（　　）
A． 18+36π B． 24+18π
C． 18+18π D． 12+18π
【答案】C
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE==6，
易得Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+ π 62﹣×12×6﹣ 6×6
=18+18π．
故选：C．
7．如图，正方形ABCD的面积为，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以B为圆心，BC长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为　　．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据正方形的性质得出，，，设，则阴影部分的面积，代入求出即可．
四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为，
，，，
设，
则阴影部分的面积
，
故选：C．
点睛：本题考查了正方形的性质以及扇形面积的计算，解此题的关键是能表示出阴影部分的面积．
8．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A． 6 B． 1.5π C． 2π D． 12
【答案】A
由勾股定理可得:,
所以,
即两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积,
再根据面积和差关系,可得两阴影部分面积之和等于直角三角形的面积,
所以.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． 10π-8 B． 10π-16 C． 10π D． 5π
【答案】B
10．正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
11．如图,将半径为2,圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,点O,B的对应点分别为O',B',连接BB',则图中阴影部分的面积是　　(　　)
A． B． 2- C． 2- D． 4-
【答案】C
∴∠AOO′=60°，OO′=OA，
∴点O′中⊙O上，
∵∠AOB=120°，
∴∠O′OB=60°，
∴△OO′B是等边三角形，
∴∠AO′B=120°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠B′O′B=120°，
∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，
∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B-（S扇形O′OB-S△OO′B）=
=.
故选C．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与CD交于点O，则图中阴影部分的面积是　　
A． B．
C． D．
【答案】B
，D，在一条直线上，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
故选B.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形性质，勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，解题关键在于利用旋转前、后的图形全等来进行计算．
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与边BC相切于点E，若AD=4，则图中的阴影部分的面积为　 　．
【答案】8﹣2π．
14．如图，是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是______结果用含的式子表示．
【答案】
【解析】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积
15．如图所示，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
(1)图①中草坪的面积为__________；
(2)图②中草坪的面积为__________；
(3)图③中草坪的面积为__________；
(4)如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．
【答案】(1)πR2　(2)πR2 (3)πR2　(4)πR2
【解析】（1）求得三角形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；
（2）求得四边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；
（3）求得五边形的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解；
（4）求得n的内角和，然后利用扇形的面积公式即可求解．
解：（1）三角形的内角和是：180°，则面积是：；
（2）四边形的内角和是：（4-2）×180°=360°，则面积是：；
（3）五边形的内角和是：（5-2）×180°=540°，则面积是：；
（4）n边形的内角和是：（n-2） 180°，则面积是： ．
故答案是：(1)πR2　(2)πR2 (3)πR2　(4)πR2．
16．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，求图中阴影部分的面是 .
【答案】
17．如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】21．
18．如图，在扇形AOB中，，，过点C作于点D，以CD为边向右作正方形CDEF，若，则阴影部分的面积是______结果保留．
【答案】
【解析】根据题意可知阴影部分的面积等于扇形OBC的面积与△ODC的面积之差，从而可以解答本题．
解：连接OC，如图所示，
∵在扇形AOB中，∠AOB=90°，，
∴∠AOC=∠COB=45°，
∵四边形CDEF是正方形，OA=，
∴OC=，∠CDO=90°，
∴OD=CD=1，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：．
19．如图，在中，，，以AB中点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为______．
【答案】
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π）．
【答案】4π
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为___________.
【答案】π﹣24
【解析】首先根据菱形的性质，求出AO、BO的值是多少，再根据勾股定理，求出AB的值是多少；然后根据圆的面积公式，求出以AB为直径的半圆的面积，再用它减去三角形ABO的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．
解：∵AC=16，BD=12，AC⊥BD，∴AB===10，
∴图中阴影部分的面积为：
π×（）2×﹣（16÷2）×（12÷2）÷2
=π×﹣8×6÷2
=π﹣24．
故答案为：π﹣24．
22．如图，AB为半圆的直径，且AB=2，半圆绕点B顺时针旋转40°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）．
【答案】
23．如图，CD为大半圆的直径，小半圆的圆心O1在线段CD上，大半圆O的弦AB与小半圆O1交于E、F，AB=6cm，EF=2cm，且AB∥CD。则阴影部分的面积为__________cm2（结果保留准确数）
【答案】4π
【解析】将两个圆变为同心圆．做OM⊥AB于M，连接OB、OF，构造直角三角形，利用所构造的两个三角形有公共边OM，可找到两个半圆的半径平方差与已知条件之间的关系：OB2-OF2=OM2+32-（OM2+12〕=8，阴影部分的面积是两个半圆的面积差．代入数据求解即可．
解：如图将两个圆变为同心圆．
做OM⊥AB于M，连接OB、OF，
则MF=EF=1，BM=AB=3，
S阴影=πOB2-πOF2，
=π（OB2-OF2），
=π[OM2+32-（OM2+12）]，
=4π（cm2）．
点睛：本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．如通过观察可知阴影部分的面积正好等于两个半圆的面积差，根据条件可求出两个半圆的半径的平方差，整体代入即可求得阴影部分的面积．
24．如图，已知A(2，2)，B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
三、解答题
25．如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∥AB，∠CAD=30°，求阴影部分的面积（结果保留π）
【答案】π
26．如图，在中，直径，CA切于A，BC交于D，若，求：
的长；
阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
连接AD，由于AC是的切线，所以，再根据可知，由勾股定理可求出BC的长，由于AB是的直径，所以，故D是BC的中点，故可求出BD的长度；
连接OD，因为O是AB的中点，D是BC的中点，所以OD是的中位线，所以，故，所以与弦BD组成的弓形的面积等于与弦AD组成的弓形的面积，所以，故可得出结理论．
解：连接AD，
是的切线，
，
，
，
，
是的直径，
，
是BC的中点，
；
27．如图，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线与半圆相切于点F，交AB于点E，若AB=2cm，则阴影部分的面积为_____．
【答案】cm2
28．如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S△ABD= S△ADC.
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和是多少？即求S1+ S2+ S3+ S4=？
【答案】（1）S阴=S矩形ABCD；（2）S阴=S平行四边形ABCD；（3）S阴=S四边形ABCD；（4）20．
解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，
得S阴=BFCD=BCCD，
S矩形ABCD=BCCD，
所以S阴=S矩形ABCD；
（2）同理可得；S阴=S平行四边形ABCD；
（3）同理可得；S阴=S四边形ABCD；
（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见下图），
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