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二零二一年齐齐哈尔市中考
数学试卷
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1. 实数2021的相反数是（ ）
A. 2021 B. C. D.
2. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 喜迎建党100周年，某校将举办小合唱比赛，七个参赛小组人数如下：5，5，6，7，x，7，8．已知这组数平均数是6，则这组数据中位数（ ）
A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 7
5. 把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（ ）
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
8. 五张不透明卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和消精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11. 随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 0007(毫米2)，这个数用科学记数法表示为__________．
12. 如图，，，要使，应添加条件是_________．（只需写出一个条件即可）
13. 一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．
14. 若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．
15. 若直角三角形其中两条边的长分别为3，4，则该直角三角形斜边上的高的长为________．
16. 如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．
17. 如图，抛物线解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_________．
三、解答题（本题共7道大题，共69分）
18. （1）计算：．
（2）因式分解：．
19. 解方程：．
20. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是__________；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，_________，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是__________；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
23. 综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）_________，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_________；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N．如图3，则________；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：．
24. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．
参考答案及解析
1．【解析】B
只有符号不同的两个数互为相反数，可得2021的相反数是：．
2．【解析】D
图形A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，图形B是轴对称图形但不是中心对称图形，
图形C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，图形D既是轴对称图形也是中心对称图形．
3．【解析】A
；；；
与不是同类项，不能合并；
4．【解析】C
根据题意得：
，
解得： ，
排序得：，
则中位数为：6，
5．【解析】D
根据直角三角形两锐角互余可得：∠3＝90° ∠1＝90° 47°＝43°，
∴∠4＝180° 43°＝137°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2＝∠4＝137°．
6．【解析】C
由题意可将行程分为3段：停车休息前、停车休息中、停车休息后．根据停车前和停车后，油箱中油量随时间的增加而减少；停车休息中，时间增加但油箱中的油量不变．只有符合要求．
7．【解析】A
由题意得：
则搭成该几何体的小正方体最多是1＋1＋1＋2＋2＝7（个）．
8．【解析】B
有理数有：，，；
无理数有：，5.06006000600006……；
则取到的卡片正面的数是无理数的概率是。
9．【解析】B
设购买口罩包，酒精湿巾包，
则，得
均为正整数，
或或或
综上，小明共有4种购买方案．
10．【解析】C
根据题意：二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
则当x=1时，，①说法正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
则，
因为，
则，②说法正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，③说法正确；
根据函数图像可知：，④说法错误；
当时，，
当时，，
即，
⑤说法错误。
11．【解析】7×10－7
0.000 000 7=7×10-7
12．【解析】或或（只需写出一个条件即可）
如图所所示，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．
∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，
（2）当∠C=∠D时，
（3）当AB=AE时，
【解析】9
设圆锥的母线长为R，
则，R=9cm．
14．【解析】且
方程两边同时乘以得：
，
解得：，
根据题意x为正数，
即，得，
根据，得，即，
所以m的取值范围是且，
15．【解析】2.4或
若直角三角形的两直角边为3、4，则斜边长为，
设直角三角形斜边上的高为h，
，
则．
若直角三角形一条直角边为3，斜边为4，则另一条直角边为
设直角三角形斜边上的高为h，
，
则．
【解析】
由题意知AC⊥x轴，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，
而＜0，＜0，
那么S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，
又因为AB=3BC，
所以S△ABO=3S△OBC=6，
则-=2，=-4，
根据-=6+2，得=-16，
因此+=-16-4=-20．
17．【解析】
由题意得点的坐标为，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
设的解析式为，
∴，解得，
所以直线解析式为，
解，求得，
∵，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
解求得，
设的解析式为，
∴，
∴，
∴，
．．．
∴，
18．【解析】（1）；（2）
（1）解：原式
（2）解：原式
19．【解析】，
根据题意，
则，
，
解得，．
20．【解析】（1）300；（2）见解题过程；（3）35，18°；（4）180人
（1）由条形统计图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图可得此部分人数占调查总人数的20%，
所以本次抽样调查的样本容量是：（人）；
（2）喜爱C类节目的人数为：
（人），
补全统计图如下：
（3），
则m=35，
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：
（人）．
21．【解析】（1）见解题；（2）8
（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴AC平分，
（2）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
在Rt△ACE中，
，
，，
∴，
∴，
∴．
22．【解析】（1）240，（6，1200）；（2）y=﹣240x+2640；（3）经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
（1）根据题意：甲的速度为： =240（米/分），
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
由题意可知，y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），可得
，
解得，
所以直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），
如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，这种情况与题意不符合。
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
这种情况与题意不符合。
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
也就是说x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
这种情况与题意不符合。
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
所以在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地路程相等．
23．【解析】（1）45，，；（2）；（3）；（4）见解题
（1）由翻折的性质可知：
根据正方形的性质：
为等腰三角形
（2）如图：将顺时针旋转，
由旋转的性质可得：，
由（1）中结论可得
为正方形，
在和中
（3）为正方形对角线
，
，
（4）如图：将顺时针旋转，连接，
由（2）中的结论可证
根据旋转的性质可得：，
在中有
【解析】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．
（1）根据题意可得，抛物线的对称轴为，
，
，且点在轴负半轴上，
，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为；
（2）把化成顶点式为，
则顶点的坐标为，
当时，，则，
因此抛物线上两点之间的距离是，
（3）如图，过点作轴的垂线，交于点，
，抛物线的对称轴为，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则，，
，
，
，
由二次函数的性质得：在内，当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为；
（4）设点的坐标为，
根据题意，分三种情况讨论：
①当为矩形的边时，则，
设直线的解析式为，
将点代入得：，
所以直线的解析式为，
将点代入得：，即，
将点先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即；
②当为矩形的边时，则，
同（4）①的方法可得：点的坐标为；
③当为矩形的对角线时，则，
，
即，
解得或，
或，
当点的坐标为时，
则将点先向左平移2个单位长度，再向下平移个单位长度可得到点，
四边形是矩形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，即；
同理可得：当点的坐标为时，点的坐标为，
综上可得，点的坐标为或或或．

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