资源简介

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 8的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
2. 2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示（ ）
A B. C. D.
3. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列运算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 众数是82 B. 中位数是84 C. 方差是84 D. 平均数是85
7. 如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（ ）．
A. B. C. D.
8. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）．
A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米
9. 下列命题是真命题的是（ ）．
A. 正六边形外角和大于正五边形的外角和 B. 正六边形的每一个内角为
C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 对角线相等的四边形是矩形
10. 不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式
B. 某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖
C. 从装有3个红球和4个黑球袋子里摸出1个球是红球的概率是
D. 某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人
12. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
13. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________．
14. 计算：=_____
15. 因式分解：__________．
16. 底面半径为3，母线长为4圆锥的侧面积为__________．（结果保留）
17. “绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树__________棵．
18. 如图1，菱形的对角线与相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为__________厘米．
三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
19. 计算：．
20. 如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．
21. “垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．
（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是 度；
（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？
（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．
22. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．
（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，求的长．
23. 如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为，单层部分的长度为．经测量，得到下表中数据．
双层部分长度 2 8 14 20
单层部分长度 148 136 124 112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为，求L的取值范围．
24. 如图，是的直径，D为上一点，E为的中点，点C在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25. 如图，的顶点坐标分别为，动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作分别交、于点M、N，连接、．设运动时间为t（秒）．
（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；
（2）求四边形面积的最大值或最小值；
（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形的面积？如果存在，请求出直线l的解析式；如果不存在，请说明理由；
（4）连接，当时，求点N到的距离．
26. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．
（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．
①求c的取值范围；
②求的度数；
（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
1．【解析】A
8的相反数为-8．
2．【解析】B
98990000=9.899×107．
3．【解析】D
A图、B图、C图不是轴对称图形；D图是轴对称图形．
4．【解析】C
；；；．
5．【解析】B
；；和不是同类二次根式不能合并；不能化简；
6．【解析】C
根据该组数据可知82出现了2次最多，所以众数为82；
该组数据的中位数为；
根据平均数的计算公式可求出；
根据方差的计算公式可求出．
7．【解析】A
由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图如下：
8．【解析】D
由题意：
∵米
∴米
9．【解析】B
正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为；
正六边形的内角和为：
∴每一个内角为；
三个角均为的三角形是等边三角形；
对角线相等的平行四边形是矩形。
10．【解析】A
解不等式x+1＜0，得x＜-1，
解不等式，得，
则这个不等式组的解集为，在数轴上如A所示。
11．【解析】D
根据普查的特点，普查适合人数较少，调查范围较小的情况，而了解我国中学生课外阅读情况，人数较多，范围较广，应采取抽样调查；
由于中奖的概率是等可能的，则买100张可能会中奖，可能不会中奖；
共有7个小球，其中3个红球，抽到红球的概率为；
根据计算公式该项人数等于该项所占百分比乘以总人数，列出算式，求出结果为1360人，D说法正确．
12．【解析】C
①如图1，
∵，
∴，
∵折叠，∴，NC=NP
∴，
∴，
∴PM=CN，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形为菱形，所以①结论正确；
②当点P与A重合时，如图2所示
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，，
∴，
又∵四边形菱形，
∴，且，
∴
∴，②结论错误．
③当过点D时，如图3：
此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为，
当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为，
∴，③结论正确．
13．【解析】x≥3
根据题意知，，
解得，x≥3
【解析】1
原式==1．
15．【解析】
16．【解析】
圆锥的侧面积=
17．【解析】500
设原计划每天植树棵，则实际每天植树，
，
，
经检验，是原方程的解，
即实际每天植树棵。
18．【解析】
由图可知，（厘米），
∵四边形为菱形
∴（厘米）
∴
P在上时，Q在上，距离最短时，连线过O点且垂直于．
此时，P、Q两点运动路程之和
∵（厘米）
∴（厘米）
19．【解析】
.
【解析】见解题过程
证明：点A，B，C，D，E在一条直线上
∵
∴
在与中
∴
21.【解析】（1）64.8；（2）20万元；（3）
（1）
（2）（万元）
（3）用列表法如图：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男1男2 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
共12种机会均等的结果，其中恰好为一男一女结果数为8，
则恰好选到一男一女的概率是
22.【解析】（1）正方形，理由见解题过程；（2）17
（1）四边形是正方形，理由：
根据题意
∵四边形是正方形
∴∠DAB=90°
∴∠FAE＝∠DAB=90°
∴
∴四边形是矩形，
又∵
∴矩形是正方形．
（2）连接
∵，
在中，
∵四边形是正方形
∴
在中，，又，
∴．
23.【解析】（1）；（2）；（3）
（1）根据观察y与x是一次函数的关系，所以设
则
解得，；
∴
（2）设背带长度是
则
当时，
解得，；
（3）∵，∴
解得，又
∴
∴
即．
24.【解析】（1）见解题过程；（2）
（1）连接，
∵，
∴，
又∵，∴
又∵，∴
即，
因此是的切线．
（2）连接、
∵E是的中点，
∴
，
∴是等边三角形
从而
∵，
∴，
所以
在，
25.【解析】1）；（2）四边形面积不存在最小值，存在最大值，最大值为（3）存在，；（4）或
（1）过M点作轴于G点．过A点作轴于D点．
则
四边形为矩形，
则
，
，
，
∴，即
∴
∴
（2）∵
∴四边形为平行四边形
∵，
＜＜ （当或时，四边形不存在）
而，
当时，取最大值6
∴四边形面积不存在最小值，存在最大值，最大值为
（3）存在．理由如下：
连接 交于
由（2）得：四边形为平行四边形，
过的任意直线都平分的面积，
所以由中点坐标公式可得：，即l过点H，
∴
（4）如图，当＜时，
∵
∴
∴，即，
∴，
经检验；是原方程的根，是增根，舍去，
此时：
如图，过作于
当时， 此时到的距离是到的距离，
设这个距离为 由等面积法可得：
当时，不合题意，舍去．
所以到的距离为：或
26.【解析】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
（1）根据题意，
解得或
所以上的雁点坐标为和．
（2）① 联立
则
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，
∴
∵
∵
∴
② 将代入，得
解得，∴
对于，令
有
解得
∴
过E点向x轴作垂线，垂足H点，
EH=，MH=
∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由：
如图：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）
∵ △CPB为等腰三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，
∴∠KPB=∠HCP，
∵∠H=∠PKB=90°，
∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，
即
∴
当时，
∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB
∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）
∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即
解得
令
解得
∴或
如图3，
∵△RCP≌△TPB
∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）
即
解得
令
解得
∴ 此时P与第②种情况重合
综上，P的坐标为或或

展开更多......

收起↑