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江苏省南京市2021中考数学试卷
注意事项
1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效
4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2
4. 北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ）
A. 10：00 B. 12：00 C. 15：00 D. 18：00
5. 一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（ ）
A. 16的4次方根是2 B. 32的5次方根是
C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
6. 如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ）
A. B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. ________；________．
8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
9. 计算的结果是________．
10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
11. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．
12. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．
13. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．
14. 如图，是五边形的外接圆的切线，则______．
15. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．
16. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式，并数轴上表示解集．
18. 解方程．
19. 计算．
20. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证；
（2）若，求长．
21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：
序号 1 2 … 25 26 … 50 51 … 75 76 … 99 100
月均用水量/t 1.3 1.3 … 4.5 4.5 … 6.4 6.8 … 11 13 … 25.6 28
（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为，你对它与中位数的差异有什么看法？
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？
22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．
23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）
24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；
（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．
25. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
26. 已知二次函数的图像经过两点．
（1）求b的值．
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
27. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
参考答案及解析
1．【解析】A
800000000=
【解析】B
原式=
【解析】D
由于1+1+1<5，1+1+5<8，1+2+2=5，2+2+2>5，若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，可知D符合题意。
4．【解析】C
由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，所以当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00；当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00；当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00；
当北京时间是18：00时．
5．【解析】C
，16的4次方根是；
，32的5次方根是2；
设则
且
当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小；
6．【解析】D
因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，
7．【解析】 ①. 2 ②. -2
2；
8．【解析】x≥0
由题意得5x≥0，
解得x≥0．
【解析】
原式=
10．【解析】2
由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴;
11．【解析】6
设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得
得
点B的横坐标是6．
12．【解析】5
连接OA，
根据题意：
设的半径为R，
则
在中，，即，
即的半径为5cm
13．【解析】12
设A（t，）,
∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，
∴B（-t，-）,
∵轴，轴，
∴C（t，-）,
∴
14．【解析】
如图：过圆心连接五边形的各顶点，
则
．
【解析】
在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
【解析】
过点C作CM//交于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形
∴，，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∴∠
∵
∴
∵
∴∠
∵，
∴
∴∠
∴∠
在和中，
∴
∴
∵
∴△
∴
∴
∴
17.【解析】，数轴上表示解集见解题过程。
解得
解集表示在数轴上：
18.【解析】
，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
【解析】
原式=
=
=
=
=．
20.【解析】1）证明见详解；（2）
（1）∵，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
21.【解析】（1）6.6t；差异看法见解析；（2）（其中a为标准用水量，单位：t）
（1）由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是6.4和6.8，
则中位数为：（ t），
而这组数据的平均数为9.2t，
它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下：
①因为平均数与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。
②中位数将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数，它的求出不需或只需简单的计算，它不受极端值的影响；
这100个数据中，最大的数据是28，最小的是1.3，因此平均数受到极端值的影响，造成与中位数差异较大;
（2）因为第75户用数量为11t，第76户用数量为13t，所以标准应定为（其中 a为标准用水量，单位：t）．
22.【解析】（1）；（2）．
（1）画树状图得，
∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：；
（2）画树状图得，
∴共有7种等可能的结果数，两次摸出的球都是白球的结果数为1次，
∴两次摸出的球都是白球的概率为：；
23.【解析】52m
如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．
则由题意可得，四边形CEBF是矩形，
∵BE⊥CD，，
∴∠BCE=∠CBE=45°，
∴CE=BE，
∴矩形CEBF是正方形．
设CE=BE=xm，
在Rt△BDE中，
m，
∵，
∴，
解得x=48，
∴CE=BE=48m，
∵四边形CEBF是正方形，
∴CF=BF=48m，
∵在Rt△ACD中，m，
∴AF=CF-AC=20m，
∴在Rt△ABF中，m，
∴A，B两点之间的距离是52m．
【解析】（1）图像见解题过程；（2）12
（1）作图如图所示：
；
（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，
∴，
则：，
即甲整个行程所用的时间为12．
25.【解析】见解题过程．
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
26.【解析】（1）；（2）1；（3）或．
（1）将点代入：，
得；
（2），
则此函数的顶点的纵坐标为，
将点代入得：，
解得，
则，
下面证明对于任意的两个正数，都有，
，
（当且仅当时，等号成立），
当时，，
则（当且仅当，即时，等号成立），
即，
则当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由得：，
则二次函数解析式为，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，则当时，；当时，，
即，
解得；
②如图，当时，
当时，，
当时，，
解得，
综上，的取值范围为或．
27.【解析】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解题过程．
（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B最短路径；
设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，
∴，
解得；
连接OA、CA，
∵，
∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，
∴，
∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，所以最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，
由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，
作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，
因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．

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