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第三章 函数 （浙江省专用）
第15节 二次函数的应用与综合问题
【考试要求】
1.掌握二次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，会利用二次函数的图象、性质解决方程（组）、不等式（组）的问题.
2.掌握用二次函数模型解决实际问题
3.会解决二次函数与其他知识的综合问题
【考情预测】
二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为18~20分，预计2022年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。
【考点梳理】
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
2.二次函数与不等式（组）
（1）.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
（2）.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
【重难点突破】
考向1. 二次函数与方程（组）
【典例精析】
【例】（2021·山东淄博市·中考真题）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】由题意易得，则有，然后设，由无论a取何值时，抛物线与轴都有公共点可进行求解．
【详解】解：由抛物线与轴都有公共点可得：，即，
∴，设，则，
要使对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则需满足小于等于的最小值即可，∴，即的最小值为，∴；故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的综合是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
【答案】①③④
【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵一元二次方程，∴；
∴当，即时，方程有两个不相等的实根；故①正确；
当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故②错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故③正确；由，则，解得：或；故④正确；
∴正确的结论有①③④；故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题．
变式1-2．（2020 杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【详解】解：A、错误．由M1＝2，M2＝2，
可得a2﹣4＞0，b2﹣8＞0，取a＝3，b2＝12，则c4，此时c2﹣16＝0．故A错误．
B、正确．理由：∵M1＝1，M2＝0，∴a2﹣4＝0，b2﹣8＜0，
∵a，b，c是正实数，∴a＝2，∵b2＝ac，∴cb2，
对于y3＝x2+cx+4，则有△＝c2﹣16b4﹣16（b4﹣64）（b2+8）（b2﹣8）＜0，
∴M3＝0，∴选项B正确，
C、错误．由M1＝0，M2＝2，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＞0，取a＝1，b2＝18，则c18，此时c2﹣16＞0．故C错误．
D、由M1＝0，M2＝0，可得a2﹣4＜0，b2﹣8＜0，取a＝1，b2＝4，则c4，此时c2﹣16＝0．故D错误．故选：B．
变式1-3．（2019 杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．
【详解】解：∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．
另一解法：∵a≠b，∴抛物线y＝（x+a）（x+b）与x轴有两个交点，∴M＝2，
又∵函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，
而y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，它至多是一个二次函数，至多与x轴有两个交点，
∴N≤2，∴N≤M，∴不可能有M＝N﹣1，故排除A、B、D，故选：C．
【考点巩固训练】
1．（2021 温州期末）抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【思路点拨】根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴交点的个数．
【解答】∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0 ∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点．故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
【答案】D
【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可．
【详解】解：∵直线l过点(0，4)且与y轴垂直，直线l：y=4，
，∴，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，∴，，∴，
又∵对称轴在y轴右侧，，∴，∴0＜a＜4．故选择D．
【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键．
3．（2021·广东中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
【答案】（答案不唯一）
【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程
【详解】设与交点为，根据题意 则
的对称轴为 故设则方程为：故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键
4．（2021 绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）
A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）
【思路点拨】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
得到新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．
当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
5．（2021 临海市期末）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．16
【思路点拨】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝﹣对称，所以A（﹣+4，n），B（﹣﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．
【解答】解：由题意b2﹣4c＝0，∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），∴A、B关于直线x＝﹣对称，
∴A（﹣+4，n），B（﹣﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（﹣+4）2+b（﹣+4）+c＝﹣b2+16+c，
∵b2＝4c，∴n＝16．故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法等知识，解题的关键是记住△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点，△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点，△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，属于中考常考题型．
考向2. 二次函数与不等式（组）
【典例精析】
【例】（2021 拱墅区校级模拟）已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是　　．
【思路点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．
【变式训练】
变式2-1. （2021·广西贺州市·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】与关于y轴对称 抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线的图像也关于y轴对称
设与交点为，则，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
变式2-2. （2021·四川资阳市·中考真题）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：由题意得：线段（除外）位于第四象限，过点且平行轴的直线在轴的下方，抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，，
画出函数图象如下：
结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即，解得，又，，故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键．
变式2-3. （2021 萧山区期中）设函数y1＝（x﹣2）（x﹣m），y2＝，若当x＝1时，y1＝y2，则（　　）
A．当 x＞1时，y1＜y2 B．当 x＜1时，y1＞y2 C．当 x＜0.5时，y1＜y2 D．当 x＞5时，y1＞y2
【思路点拨】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．
【解答】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，∴m＝4，
∴y1＝（x﹣2）（x﹣4），抛物线的对称轴为：x＝3，如下图：设点A、B的横坐标分别为1，5，
则点A、B关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B处，即x＝5时，y1＞y2，故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．
【考点巩固训练】
1.（2021 新昌县校级月考）已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．＜x＜2 B．x＞2或x＜ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣2＜x＜
【思路点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．
【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，
∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．
2．（2020·四川内江市·中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
【答案】②④
【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．
【详解】解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误；对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确；
对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，
联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，
故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误；对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．
3．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可；③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．
【详解】解：联立，得，
∴ =，当时， 有可能≥0，
∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误；
抛物线的对称轴为：直线x=，
若抛物线与x轴有两个交点，则 =，解得：a＜1，
∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小，
又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0，∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，
综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确；抛物线的顶点坐标为：，
∵，∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，
∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），
∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．
4.（2021·江苏泰州市·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【答案】（1）；（2）p=-1；（3）1＜＜2．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；
（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，∴顶点横坐标为=．
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a==﹣（x﹣p）（x﹣a），∴p=-1．
（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=，∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，∴该二次函数的图象开口向下，∵图象的顶点在y轴右侧，∴＞0，∴，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴＜3，解得：，∴a的范围为1＜＜2．
【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．
5.（2021 海宁市模拟）如图，已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线y2＝kx+b经过点B，C（1）求直线BC的函数关系式；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
【思路点拨】（1）根据抛物线的解析式求出A、B、C的解析式，把B、C的坐标代入直线的解析式，即可求出答案；（2）根据B、C点的坐标和图象得出即可．
【解答】解：（1）抛物线y1＝x2﹣2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或1，
即A的坐标为（﹣1，0），B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），
把B、C的坐标代入直线y2＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝﹣3，
即直线BC的函数关系式是y＝x﹣3；
（2）∵B的坐标为（3，0），C的坐标为（0，﹣3），∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数与一次函数的图象等知识点，能求出B、C的坐标是解此题的关键．
考向3. 二次函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同,可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离;
（3）代入x＝10求出y值，进而可得出点（10，）在抛物线y（x﹣5）2+6上，将与1.8比较后即可得出顶部F不会碰到水柱．
【详解】解：（1）当x＝0时，y（0﹣5）2+6，∴点A的坐标为（0，），∴雕塑高m．
（2）当y＝0时，（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同,∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）当x＝10时，y（10﹣5）2+6，∴点（10，）在抛物线y（x﹣5）2+6上．
又∵1.83＞1.8，∴顶部F不会碰到水柱．
【变式训练】
变式3-1. （2020 台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【分析】（1）将s2＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），利用因式分解变形即可得出答案；（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400cm2，∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（20+m）2，
∴当hcm时，smax＝20+m＝20+16，∴m＝16cm，此时h18cm．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
变式3-2. （2021 绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
【分析】（1）运用待定系数法，由题意设顶点式y＝ax2+4，进而求得答案；（2）由题意知：0.6，进而求得OD′＝10，再由题意得抛物线y＝x2+4过B′(x1,10),A′(x2,10),从而列方程求出x1 和x2，进而求得A′B′的长．
【详解】解：（1）∵CO＝4，∴顶点C(0，4)，∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+4，
∵AB＝4，∴AD＝DB＝2，∵DO＝8，∴A(﹣2，8)，B(2，8)，
将B(2，8)代入y＝ax2+4，得：8＝a×22+4，解得：a＝1，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+4；
（2）由题意得：0.6，CO＝4,∴0.6，∴CD′＝6，∴OD′＝OC+CD′＝4+6＝10，
又∵杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，
∴设B′(x1，10)，A′(x2，10),∴当y＝10时，10＝x2+4，解得：x1，x2，
∴A′B′＝2，∴杯口直径A′B′的长为2．
变式3-3. （2021 湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【分析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）计算，即可求景区六月份的门票总收入；②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化简得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）2＝5.76，解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　　．
【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1,t2,再根据h1＝2h2，求出v1v2,可得结论．
【详解】解：由题意，t1,t2,h1,h2,
∵h1＝2h2，∴v1v2,∴t1：t2＝v1:v2,故答案为：．
2．（2021 东阳市模拟）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【思路点拨】根据函数图象结合s与t的关系式得出答案．
【解答】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止．故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键．
3．（2019 衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元） … 190 200 210 220 …
y（间） … 65 60 55 50 …
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
【分析】（1）描点、连线即可得；（2）待定系数法求解可得；（3）由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）设y＝kx+b，将（200，60）、（220，50）代入，得：，解得，
∴yx+160（170≤x≤240）；
（3）w＝xy＝x（x+160）x2+160x，∴对称轴为直线x160，
∵a0，∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元．
4．（2021 舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m（天） 0 5 10 15
求：①m关于p的函数表达式；②用含t的代数式表示m．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
【思路点拨】（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4中，便可求得h；
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，由待定系数法可解；②分别求出当10≤t≤25时和当25≤t≤37时的函数解析式即可；③分别求出当20≤t≤25时，增加的利润和当25＜t≤37时，增加的利润，然后比较两种情况下的最大值，即可得结论．
【解答】解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣（t﹣h）2+0.4得：
0.3＝（25﹣h）2+0.4解得：h＝29或h＝21，
∵25≤t≤37∴h＝29．
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，设m＝kp+b
把（0.2，0），（0.3，10）代入得解得∴m＝100p﹣20．
②当10≤t≤25时，p＝t﹣ ∴m＝100（t﹣）﹣20＝2t﹣40；
当25≤t≤37时，p＝﹣（t﹣h）2+0.4
∴m＝100[﹣（t﹣h）2+0.4]﹣20＝（t﹣29）2+20
∴m＝
③当20≤t≤25时，增加的利润为：600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000
当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；
当25＜t≤37时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000
∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及一次函数和二次函数的实际应用，难度较大．
5．（2021·浙江金华市·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，．
（2）由题意得，D点在图象上．令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
（3）当时，，∴不会碰到水柱．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
考向4. 二次函数的综合题
【典例精析】
【例】（2019 金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【思路点拨】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．
∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m＝或（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），
∴当≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
【变式训练】
变式4-1.（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②．
【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可；（2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解．
【详解】解：（1）当时，，解得，，
∵点在点的左侧，∴点的坐标为，点的坐标为，
当时，，∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：，
解得：，∴直线的函数表达式为：．
同理可得直线的函数表达式为：；
（2）①存在．设点的坐标为，其中，
∵点，点的坐标分别为，，
∴，，，
∵，∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
当时，是菱形，如图所示：
∴，解得，（舍去），
∴点的坐标为，∴点的坐标为；
当时，是菱形，如图所示：∴，解，得，（舍去），
∴点的坐标为，∴点的坐标为；
综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或；
②由题意可得如图所示：由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，
∴点，，∴，
设点，∵，∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：，
解得：，∴直线l的解析式为，
∴联立直线l与直线AC的解析式得：，解得：，
∴，∴点，
∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且，
∴点M在点N的上方才有可能，∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），∴，
∴由两点距离公式可得．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键．
变式4-2. （2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
【分析】（1）直接将，两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点的坐标，接着表示出Q点和M点的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其最小值；
（3）先利用锐角三角函数证明出，进而得到F点的其中一个位置，在BC另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出BF与y轴的交点，进而求出BF的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为：；
（2）∵经过点A，∴，∴，∴直线：；
设，则，
∵抛物线对称轴为：，且Q点和M点关于对称轴对称，
∴M点横坐标为，∴；
又∵，
∴，
当时，的值最小，为；∴该矩形周长的最小值为；
（3）存在，或；由（2）可知，，
∵抛物线的函数表达式为：；且，
∴顶点D坐标为，如图4，作DE⊥QM，
因为，，∴；
又∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，∴
令，解得：，；∴,,
∴,∴，
∴当F点在点A处时，能使得，此时;
如图5，在BC另一侧，当时，，过C点作CN⊥BH，垂足为点N，
由角平分线的性质可得：CN=CO=2，∴BN=BO=4，
由勾股定理可得：且,
即，且；解得：，;∴
设直线BH的函数解析式为：，∴，∴，
∴直线BH的函数解析式为：，
联立抛物线解析式与直线BH的函数解析式，得：
解得：（与B点重合，故舍去），或，∴，
综上可得，抛物线上存在点，使得，或．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求函数解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离、求函数的最大或最小值、勾股定理、三角函数等内容，解决本题的关键是能结合图形理解题意，能牢记和熟练运用相关公式进行计算等，本题计算量较大，对学生的综合分析思维能力要求也较高，属于压轴题类型，本题蕴含的思想有分类讨论的思想和数形结合的思想等．
变式4-3. （2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，或或或
【分析】（1）令，解得，可得函数 必过 ，再结合 必过 得出，，即可得到，再根据，可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方，可得，有两个相等的实数根，再根据，可解得的值，即可求出二次函数解析式．
（2）结合（1）求出点C的坐标，设，①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：（1）令，解得，
当时，，∴ 必过 ，
又∵ 必过 ，∴，
∴，即，
即可看成二次函数与一次函数仅有一个交点，且整体位于的上方∴，有两个相等的实数根
∴，∴，∴，∴，，∴．
（2）由（1）可知：，，设，
①当为对角线时，
∴，解得（舍），，∴，即．
②当为对角线时，∴，解得（舍），
∴，即．
③当为对角线时，
∴，解得，
∴或，∴．
综上所述：N点坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到二次函数与不等式组，考查了平行四边形的存在性问题，利用中点公式，分类讨论是解题关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴∴，∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵对称轴．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，， ∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形 设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
，
综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
2．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P点坐标为或或
【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x，再联立求出 “雁点”坐标即可；
（2）根据和y=x可得，再利用根的判别式得到，再求出a的取值范围；将点c代入解析式求出点E的坐标，令y=0，求出M的坐标，过E点向x轴作垂线，垂足为H点，如图所示，根据EH=MH得出为等腰直角三角形，∠EMN的度数即可求解；
（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C（m，m），P（x，y），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P的坐标．
【详解】解：（1）联立，解得或 即：函数上的雁点坐标为和．
（2）① 联立得
∵ 这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴
∵ ∵ ∴
② 将代入，得解得，∴
对于，令有解得∴
过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=，MH=∴
∴ 为等腰直角三角形，
（3）存在，理由如下：如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H
设C（m，m），P（x，y）∵ △CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，
∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，
∴CH=PK，HP=KB，即∴
当时，∴
如图2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴ KP=JB，KC=JP
设P（x，y），C（m，m）∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，
即解得令解得
∴或
如图3所示，∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB
设P（x，y），C（m，m）即解得
令解得∴ 此时P与第②种情况重合
综上所述，符合题意P的坐标为或或
【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．
3．（2020·山东·中考真题）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
【答案】（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．
【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，解得，∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．
4．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，∴A（1，0）
又x= ∴ 把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，①当，即时， 解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，经检验：，是原方程的根且符合题意，
∴点P的坐标为（2，1），（2，2）综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
5．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
【答案】（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4
【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）求出OC的长，根据“”求解即可；
（3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．
【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4）
设直线AB的解析式为，把A，B点坐标代入得 解得，
所以，直线AB的解析式为：；
（2）对于直线AB：当时，∴
∴==6
（3）设点P的坐标为（，）
∵的面积等于的面积的一半，∴的面积等于=3，
①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，
∵
∴
整理，得， 解得，，
∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；
综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个，故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第15节 二次函数的应用与综合问题
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·贵州铜仁市·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【详解】解：∵直线过一、二、三象限，∴．
由题意得：， 即，
∵△，∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
2．（2021·四川绵阳·中考真题）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根、 可得，，，
∵，可得，，即 化简得
则故最大值为故选D
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
3．（2020 宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．
【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x＝﹣1，所以0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵1，∴b＝2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；
当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）2+b（﹣n2﹣2）+c＝an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．
4．（2020·四川绵阳市·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．
【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，
设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，
∵BC=10，∴点B（﹣5，0），∴0=a×（﹣5）2+，∴a=-，
∴大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（x﹣b）2，
∵EF=14，∴点E的横坐标为-7，∴点E坐标为（-7，-）， ∴-=m（x﹣b）2，
∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-（-+b）|=4∴m=-，
∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（x﹣b）2，
∵大孔水面宽度为20米，∴当x=-10时，y=-，∴-=-（x﹣b）2，∴x1=+b，x2=-+b，
∴单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
5．（2020·湖南长沙市·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
【答案】C
【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可．
【详解】将(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:
②－①和③－②得
⑤－④得,解得a=﹣0.2．将a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．
对称轴=．故选C．
【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案．
6．（2021 柯桥区模拟）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　）
A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s
【思路点拨】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．
【解答】解：将（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，
当t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此时y取到最大值，故此时汽车停下，
则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
7．（2021·浙江杭州市·中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．
【详解】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得解得；
设过三个点，，的抛物线解析式为：
分别代入，，得解得；
最大为，故选：A．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．（2021·湖北中考真题）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为”建立方程可求出的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，然后根据关于轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】解：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
9．（2021·湖南娄底市·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．
【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：
由图知，显然，当时，将其分别代入与计算得；
，，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是：准确画出函数的图象，再通过关键点得出答案．
二、填空题
10．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．
【答案】1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程=0根的判别式△=0，解方程求出k值即可得答案．
【详解】∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程=0根的判别式△=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案为：1
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k≠0），当判别式△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x＜0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键．
11．（2020·湖北荆州市·中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【答案】或或
【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
【详解】解：将关联数为代入函数得到：，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，即
∴m=1，∴，与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；故答案为：或或．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．
12．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
【答案】3
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】解：∵，∴当x=1时，，故答案是：3．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
13．（2019·广西贵港市·中考真题）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.
【答案】4
【分析】由，和坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵，和坐标都满足函数，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故答案是：4
【点睛】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.
14．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
【答案】1264
【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵ ∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
15．（2021 温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为 　 　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　 　．
【分析】如图，连接FW,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°,解直角三角形求出JK,OH,B′H,再求出OB′2,可得结论．
【详解】解：如图，连接FH,由题意可知点A′,O,C′在线段FW上,连接OB′,B′C′,过点O作OH⊥B′C′于H．
∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2,
∵EF＝WK＝2,∴在Rt△EFG中，tan∠EGF,∴∠EGF＝30°,
∵JK∥FG,∴∠KJG＝∠EGF＝30°,∴d＝JKGK(22)＝6﹣2,
∵OF＝OWFW,C′W,∴OC′,
∵B′C′∥QW,B′C′＝2,∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°,∴OH＝HC′1,
∴HB′＝2﹣(1)＝3,∴OB′2＝OH2+B′H2＝(1)2+(3)2＝16﹣8,
∵OA′＝OC′＜OB′,
∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8)π．故答案为：6﹣2，(16﹣8)π．
16．（2021 湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 　 　．
【分析】由题意△AOM是直角三角形，当对称轴x≠0或x≠3时,可知一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M,当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x相切时，对称轴上存在1个以点M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，利用图象法求解即可．
【详解】解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，O为直角顶点的直角三角形，且点M在对称轴上的直角三角形，当对称轴x＝0或x＝3时，不存在满足条件的点M,
∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x相切时，对称轴上存在1个以M为直角顶点的直角三角形，此时对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形（如图所示）．
观察图象可知，1或4，∴2或﹣8，故答案为：2或﹣8．
三、解答题
17．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】解：（1）由题知，∴．
（2）由图知的一个根为1，∴，∴，
即一元二次方程为，解得，，
∴一元二次方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
18．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用待定系数法将点A、B的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在范围内，的最大值只可能在或处取得，进行分类讨论①若时，②若，③，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB的解析式，再写出平移后的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
【详解】（1）∵抛物线过点，，
∴，∴，∴．
（2）由（1）可得，
在范围内，的最大值只可能在或处取得．
当时，，当时，．
①若时，即时，得，∴，得．
②若，即时，得，此时，舍去．
③，即时，得，
∴，，舍去．∴综上知，的值为．
（3）设直线的解析式为，
∵直线过点，，∴，∴，∴．
将线段向右平移2个单位得到线段，∴的解析式满足，即．
又∵抛物线的解析式为，∴．
又∵线段与抛物线在范围内仅有一个交点，
即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内仅有一个根，
即抛物线在的范围内与轴仅有一个交点．
只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于即可．
即时，，得，当时，，得，
综上的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x轴的交点与方程的根的情况、熟练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
19．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．
（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．
【答案】（1），顶点坐标是；（2），，理由见解析；（3）见解析．
【分析】（1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得，，则有，进而问题可求解．
【详解】解：（1）把点和代入得：，解得，
∴，则化为顶点式为，∴该函数图象的顶点坐标是；
（2）例如，，此时；
因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；
（3）由题意，得，，
∵，∴，
由题意，知，所以．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则，解得，∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，∵的图象是过原点的抛物线，∴设，
∴点，在抛物线上．∴，即，解得，
∴．答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，由得或.
①时，，
∵，∴抛物线开口向下，又∵，∴当时，的最大值为；
②时，，
∵，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线，∴当时，随的增大而增大，
∵，∴当时，的最大值为70．∵，∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】本题考查二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
21．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 ________
每台车床获利/万元 10 ________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：
A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10
②此时，由A型获得的利润是10（）万元，由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，
，∵0≤≤14， ∴，即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10 17
利润
此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14 A型 B型
车床数量/台
每台车床获利/万元 10
利润
则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1， ∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
22．（2021·山东临沂市·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米
【分析】（1）根据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；
（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可．
【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，
设二次函数表达式为，一次函数表达式为，
∵一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，
∴一次函数表达式为，令v=9，则t=7，∴当t=7时，速度为9m/s，
∵二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，
∴二次函数表达式为，令t=7，则s==87.5，
∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；
（2）∵当t=0时，甲车的速度为16m/s，∴当10＜v＜16时，两车之间的距离逐渐变小，
当0＜v＜10时，两车之间的距离逐渐变大，∴当v=10m/s时，两车之间距离最小，
将v=10代入中，得t=6，将t=6代入中，得，
此时两车之间的距离为：10×6+20-78=2m，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提．
23．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
【答案】（1）-1；（2）①；②见解析
【分析】（1）先求得c=1，根据抛物线与x轴只有一个公共点，转化为判别式△=0，从而构造二次函数求解即可；（2）①根据抛物线与x轴只有一个公共点，得抛物线上的点只能落在x轴的同侧，据此判断即可；②证明AB=BC即可
【详解】解：因为抛物线与x轴只有一个公共点，
以方程有两个相等的实数根，所以，即．
（1）因为抛物线过点，所以，所以，即．
所以，当时，取到最小值．
（2）①因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以抛物线上的点只能落在x轴的同侧．
又点中恰有两点在抛物线的图象上，所以只能是在抛物线的图象上，由对称性可得抛物线的对称轴为，所以，即，因为，所以．
又点在抛物线的图象上，所以，故抛物线的解析式为．
②由题意设，则．
记直线为m，分别过M，N作，垂足分别为E，F，即，
因为，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，解得，
所以．②
将②代入①，得，即，解得，即．
所以过点A且与x轴垂直的直线为，将代入，得，即，
将代入，得，即，
所以，因此，所以与的面积相等．
【点睛】本小题考查一次函数和二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积等基础知识，突出运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，灵活运用函数与方程思想、数形结合思想及化归与转化思想求解是解题的关键．
24．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：（1）把点和点代入抛物线可得：
，解得：，∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∴，∴，∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
25．（2021·河南中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
26．（2021·广西玉林市·中考真题）已知抛物线：（）与轴交点为，（在的左侧），顶点为．（1）求点，的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线与抛物线交于点，，且，关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为点，若，求点，的坐标．
【答案】（1），对称轴为直线；（2）；（3）或
【分析】（1）令y=0时，则有，然后进行求解即可，最后利用抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）设点M、N的横坐标分别为，由题意可得，则有，然后利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；（3）由（2）及题意易得抛物线向上平移了4个单位长度得到新的抛物线，，然后设点，进而根据两点距离公式可得，最后求解即可．
【详解】解：（1）令y=0时，则有，解得：，
∵点在点的左侧，∴，∴抛物线的对称轴为直线；
（2）联立直线与抛物线的解析式可得：，化简得：，
设点M、N的横坐标分别为，∵点，关于原点对称，∴，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（3）由（2）可得：，化为顶点式为，∴顶点，
∵将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，∴，
∴新抛物线是由抛物线向上平移了4个单位长度得到，
∵直线与轴的交点为，∴，设点，
∵，∴由两点距离公式可得：，
化简得：，解得：，
∴或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第15节 二次函数的应用与综合问题
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·贵州铜仁市·中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2．（2021·四川绵阳·中考真题）关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（2020 宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（　　）
A．abc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c
4．（2020·四川绵阳市·中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
5．（2020·湖南长沙市·中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
6．（2021 柯桥区模拟）某汽车刹车后行驶的距离y（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）之间近似满足函数关系y＝at2+bt（a＜0）．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为（　　）
A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s
7．（2021·浙江杭州市·中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖北中考真题）若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖南娄底市·中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2021·四川成都市·中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_______．
11．（2020·湖北荆州市·中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
12．（2021·湖北襄阳市·中考真题）从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______．
13．（2019·广西贵港市·中考真题）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______.
14．（2021·江苏连云港市·中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
15．（2021 温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为 　 　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　 　．
16．（2021 湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 　 　．
三、解答题
17．（2021·四川乐山市·中考真题）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解．
18．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．（1）求的值（用含的代数式表示）；（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
19．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．
（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．
20．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出与之间的函数关系式；（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
21．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．（1）当时，完成以下两个问题：①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 ________
每台车床获利/万元 10 ________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
22．（2021·山东临沂市·中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
23．（2021·福建中考真题）已知抛物线与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点，求的最小值；（2）已知点中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：与抛物线交于M，N两点，点A在直线上，且，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和于点B，C．求证：与的面积相等．
24．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为点．（1）求抛物线的解析式；（2）求的面积．
25．（2021·河南中考真题）如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
26．（2021·广西玉林市·中考真题）已知抛物线：（）与轴交点为，（在的左侧），顶点为．（1）求点，的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线与抛物线交于点，，且，关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点在直线上，设直线与轴的交点为，原抛物线上的点平移后的对应点为点，若，求点，的坐标．
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第三章 函数 （浙江省专用）
第15节 二次函数的应用与综合问题
【考试要求】
1.掌握二次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，会利用二次函数的图象、性质解决方程（组）、不等式（组）的问题.
2.掌握用二次函数模型解决实际问题
3.会解决二次函数与其他知识的综合问题
【考情预测】
二次函数是非常重要的函数，年年都会考查,总分值为18~20分，预计2022年各地中考还会考，它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查。
【考点梳理】
1.二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（1）.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.
（2）.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.
2.二次函数与不等式（组）
（1）.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解
（2）.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.
3.利用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）设实际问题中的变量
（2）建立变量与变量之间的函数关系
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义
（4）利用函数的性质解决问题
（5）写出答案
【重难点突破】
考向1. 二次函数与方程（组）
【典例精析】
【例】（2021·山东淄博市·中考真题）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点．则的取值范围是_______．
【变式训练】变式1-1．（2020·黑龙江大庆市·中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；
③当时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为_________．
变式1-2．（2020 杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
变式1-3．（2019 杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2 C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【考点巩固训练】
1．（2021 温州期末）抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2021·四川泸州市·中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
3．（2021·广东中考真题）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
4．（2021 绍兴）若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（　　）
A．（﹣3，﹣6） B．（﹣3，0） C．（﹣3，﹣5） D．（﹣3，﹣1）
5．（2021 临海市期末）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．16
考向2. 二次函数与不等式（组）
【典例精析】
【例】（2021 拱墅区校级模拟）已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示）则能使y1＜y2成立的x的取值范围是　　．
【变式训练】
变式2-1. （2021·广西贺州市·中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
变式2-2. （2021·四川资阳市·中考真题）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2-3. （2021 萧山区期中）设函数y1＝（x﹣2）（x﹣m），y2＝，若当x＝1时，y1＝y2，则（　　）
A．当 x＞1时，y1＜y2 B．当 x＜1时，y1＞y2 C．当 x＜0.5时，y1＜y2 D．当 x＞5时，y1＞y2
【考点巩固训练】
1.（2021 新昌县校级月考）已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（　　）
A．＜x＜2 B．x＞2或x＜ C．x＜﹣2或x＞ D．﹣2＜x＜
2．（2020·四川内江市·中考真题）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M；若，记．①当时，M的最大值为4；②当时，使的x的取值范围是；③当时，使的x的值是，；④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）
3．（2021·四川南充市·中考真题）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
4.（2021·江苏泰州市·中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
5.（2021 海宁市模拟）如图，已知抛物线y1＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在B的左侧），与y轴相交于点C，直线y2＝kx+b经过点B，C（1）求直线BC的函数关系式；（2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
考向3. 二次函数的实际应用
【典例精析】
【例】（2021 金华）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【变式训练】
变式3-1. （2020 台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
变式3-2. （2021 绍兴）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径AB＝4，且点A，B关于y轴对称，杯脚高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A′CB′所在抛物线形状不变，杯口直径A′B′∥AB，杯脚高CO不变，杯深CD′与杯高OD′之比为0.6，求A′B′的长．
变式3-3. （2021 湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式 甲 乙 丙
可游玩景点 A B A和B
门票价格 100元/人 80元/人 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝　　．
2．（2021 东阳市模拟）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
3．（2019 衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
x（元） … 190 200 210 220 …
y（间） … 65 60 55 50 …
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
4．（2021 舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数p＝t﹣刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35
提前上市的天数m（天） 0 5 10 15
求：①m关于p的函数表达式；②用含t的代数式表示m．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
5．（2021·浙江金华市·中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
考向4. 二次函数的综合题
【典例精析】
【例】（2019 金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【变式训练】
变式4-1.（2021·山西中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长．
变式4-2. （2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，连接．
（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线：经过点A，点为直线上的一个动点，且位于轴的上方，点为抛物线上的一个动点，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为，在（2）的条件下，当矩形的周长取最小值时，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式4-3. （2021·广东中考真题）已知二次函数的图象过点，且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
2．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如……都是“雁点”．（1）求函数图象上的“雁点”坐标；
（2）若抛物线上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当时．①求c的取值范围；②求的度数；（3）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线上一点，连接，以点P为直角顶点，构造等腰，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2020·山东·中考真题）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
4．（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接．（1）求直线的函数表达式；（2）求的面积；（3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个．
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