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专题复习八----解析几何
§8.1 直线与方程
一、要点梳理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴________与直线________方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．当直线与轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
②倾斜角的范围为__________．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点， 的直线的斜率公式为＝__________．
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
不含垂直于轴的直线
斜截式
不含垂直于轴的直线
两点式
不含直线和直线
截距式
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
平面直角坐标系内的直线都适用
3．过点，的直线方程
(1)若，且时，直线垂直于轴，方程为____________；
(2)若，且时，直线垂直于轴，方程为____________；
(3)若，且时，直线即为轴，方程为____________；
(4)若，且时，直线即为轴，方程为____________．
4．线段的中点坐标公式
若两点的坐标分别为 、，且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．
二、难点正本　疑点清源
1．直线的斜率与倾斜角的区别及联系
在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围．每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解的情形．同时，斜率又是由倾斜角唯一确定的．
2．直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推导．直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解．
三、基础自测
1．若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为____________．
2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为______．
4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
为______________________．
5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B ．－1 C．－2或－1 D．－2或1
四、题型分类 深度剖析
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3，0)为端点的线
段相交，求直线l的斜率的取值范围．
探究提高：(1)运用数形结合思想．当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y＝tan α的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法．解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的．(2)巧妙利用不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决．
变式训练1.经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α与斜率k的范围．
题型二　求直线的方程
例2　求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5．
探究提高：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
变式训练2.求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过点A(0,2)，它的倾斜角的正弦值是；
(2)过点A(2,1)，它的倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角的一半；
(3)过点A(2,1)和直线x－2y－3＝0与2x－3y－2＝0的交点．
题型三　直线方程的综合应用
例3　已知直线过点P(3,2)，且与轴、轴的正
半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的
面积的最小值及此时直线的方程．
探究提高：利用直线方程解决问题，为简化运算可灵
活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．
变式训练3.如图，过点P(2,1)的直线交轴，
轴正半轴于A、B两点，求使：
(1)△AOB面积最小时的方程；
(2)|PA|·|PB|最小时的方程．
五、解题思想方法示范（分类讨论思想在求直线方程中的应用）
试题：(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
审题视角　(1)题目已告诉直线斜率为k，即斜率存在．(2)从题意上看，斜率k可以为0，也可以不为0，所以要分类讨论．
规范解答
解:(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝ [2分]
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)， [4分]所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有k AG· k＝－1，k＝－1?a＝－k． [6分]
故G点坐标为(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点) ． [8分]折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝k x＋＋． [10分]
∴k＝0时，y＝；k≠0时，y＝k x＋＋． [12分]
批阅笔记：(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论；
(2)本题对斜率k为0和不为0进行分类讨论．易错点是忽略k＝0的情况．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：
，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标()时，根据该公
式可求出经过两点的直线的斜率．当，且时，直线的斜率不存
在，此时直线的倾斜角为90°；
2．求斜率可用k＝tan (≠90°)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与
斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率
要谨记，存在与否需讨论”；
3．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系
数，这种方法叫待定系数法．
失误与防范
1．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但
不一定每条直线都存在斜率．
2．根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．
3．利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但
同时注意方向向量是不唯一的． §8.1直线与方程
A组　专项基础训练
一、选择题
1．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为 (　　)
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
2．直线的倾斜角的范围是 ( )
A.  ∪  B. ∪
C. D.
3．若直线l：y＝k x－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A. B. C. D.
二、填空题
4．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则x y的最大值是________．
5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为_________________ _____．
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是_______________．
三、解答题
7．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2，0)．求：
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．
8．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.
B组　专项能力提升
一、选择题
1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，所有直线都通过定点 (　　)
A. B.
C. D.
2．设直线l的方程为 (θ ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是 (　　)
A．[0，π) B. C. D.∪
3．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为 (　　)
A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0
C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0
二、填空题
4．若a b>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则a b的最小值为________．
5．若关于x的方程|x－1|－k x＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围
是____________．
三、解答题
6．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
7．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线上时，求直线AB的方程．
§8.1直线与方程 答案
要点梳理
1．(1)①正向　向上　0°　[0°，180°)
(2)①正切值　tan α　②
2．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b ＝　＋＝1 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
3．(1)x＝x1　(2)y＝y1　(3)x＝0　(4)y＝0
4.　
基础自测
1．45°或135°　 2. 1　 3. 4 4． x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0　5. D
题型分类·深度剖析
方法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即k x－y＋k＋2＝0.
∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，
∴(－2k＋3＋k＋2)(3k－0＋k＋2)≤0，
即(k－5)(4k＋2)≥0，∴k≥5或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是.
变式训练1　解　如图所示，
K PA==-1，K PB==1，
由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是[135°，180°)∪[0°，45°]；
直线l的斜率k的范围是[-1,1]．
例2　解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组，
得两直线交点为.(k≠－2，否则与已知直线平行)．
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
变式训练2　(1)3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
(2)3x－y－5＝0　(3)5x－7y－3＝0
例3　解　设A(a,0)，B(0，b) (a>3，b>2)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1，b＝，
从而S△ABO＝ a ·b＝a·＝，
故有S△ABO＝
＝(a－3)＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当a－3＝，
即a＝6时，(S△ABO)min＝12，此时b＝＝4.
∴直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
变式训练3　解　(1)设直线的方程为＋＝1 (a>2，b>1)，
由已知可得＋＝1.
∵2 ≤＋＝1，∴ab≥8.
∴S△AOB＝ab≥4.当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，S△AOB取最小值4，
此时直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
(2)由＋＝1，得a b－a－2b＝0，变形得(a－2)(b－1)＝2，
|PA|·|PB|＝·
＝
≥.
当且仅当a－2＝1，b－1＝2，
即a＝3，b＝3时，|PA|·|PB|取最小值4.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
A组　专项基础训练
1．A　2 .B　3. B　4. 3 5．x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　 6. －
7．解　(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线. 因为线段AB、AC中点坐标为，，
所以这条直线的方程为＝，
整理得，6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.
(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为＝，
即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.
8．解　(1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,
3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是
－6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
B组　专项能力提升
1．D　 2. C　 3. B　 4. 16 5．k≥1或k＝0　
6．解　(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪(0，]，
∴k＝∈(－∞，－]∪，
∴α ∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.
8．解　由题意可得k OA＝tan 45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以 k AB＝k AP＝＝，
所以 l AB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
§8.2 两条直线的位置关系
一、要点梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2?____________．特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2________．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．
2．两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组________；
重合?方程组有______________．
3．三种距离公式
(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：
|AB|＝ ．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：
d＝ ．
(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝______________．
二、难点正本　疑点清源
1．两条直线平行、垂直的充要条件是有大前提的，就是两条直线都有斜率．当直线无斜率时，要单独考虑；
2．在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接做出结论：
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
(1)l1//l2? (2)l1与l2相交?A1B2≠A2B1．
(3)l1与l2重合? (4)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
三、基础自测
1．已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________．
2．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，m x＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________________．
4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是 ( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
5．若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，
则a的为 (　　)
A． B． C．10 D．10
四、题型分类 深度剖析
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)已知两直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，若l1∥l2
求实数m的值；
(2)已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0．若l1⊥l2，求实数a的值．
探究提高:　(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1⊥l2?k1·k2＝－1．
②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．则：l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．
(3)注意转化与化归思想的应用．
变式训练1 已知两直线l1：m x＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0．试确定m、n的值，使
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)； (2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1．
题型二　两条直线的交点问题
例2　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于
直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．
探究提高:　运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是：
Ax＋By＋m＝0 (m ∈R且m ≠C)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是:B x－Ay＋m＝0 (m ∈R)；
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ ∈R)，但不包括l2．
变式训练2 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．
题型三　距离公式的应用
例3　已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：
x＋y－1＝0．且l1与l2的距离是．
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P在第一象限； ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．
若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
探究提高:　(1)在应用两条直线间的距离公式时．要注意两直线方程中x、y的系数必须相同．(2)第(2)问是开放探索性问题，要注意解决此类问题的一般策略．
变式训练3 已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
五、解题思想方法示范(对称与变换的思想)
试题：(12分)光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．
审题视角　(1)入射光线所在直线与反射光线所在直线关于l对称．(2)对称点的连线被对称轴垂直平分．
规范解答
解:　方法一:　由得
∴反射点M的坐标为(-1,2)． [2分]
又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点
P′(x0，y0)，由PP′⊥ l可知， k PP′＝－＝． [4分]

而PP′的中点Q的坐标为，
Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0． [6分]
由得 [8分]
根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为
29x－2y＋33＝0． [12分]
方法二:　设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则＝－， [4分]
又PP′的中点Q在l上，
∴3×－2×＋7＝0， [6分]
由可得P点的坐标为
x0＝，y0＝， [10分]
代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，
∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0． [12分]
批阅笔记:　(1)综合利用物理学知识，利用对称变换的思想方法求解是本题的关键．(2)构建方程解方程组是本题的又一重要方法．(3)坐标转移法是对称变换中常用的方法之一．(4)本题的易错点，一是计算错误，二是不能用对称的思想求解，亦即找不到解决问题的突破口．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．
2．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称．利用坐标转移法．
失误与防范
1．在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．
2．在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．
§8.2 两条直线的位置关系
A组　专项基础训练
一、选择题
1．已知直线l1的方向向量为a＝(1,3)，直线l2的方向向量为b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为 (　　)
A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0
2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为 (　　)
A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0
3．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
二、填空题
4．若直线ax－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值为________．
5．已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.
6．已知a＝(6,2)，b＝，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的一般式方程是______________．
7．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°
其中正确答案的序号是________．
三、解答题
8．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是 (　　)
A. B．5 C. D．15
2．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与b x－y sin B＋sin C＝0的位置关系是 (　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
3．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射
后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经
过的路程是 (　　)
A．2 B．6
C．3 D．2
二、填空题
4．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值
是________．
5．已知直线x＋2y＝2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则a b的最大值为________．
6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则
m＋n＝________.
三、解答题
7．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0 (a，b ∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|a b|的最小值．
8．如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．
设点P是函数图像上任一点，过点P分别作直线
y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.
(1)证明：|PM|·|PN|为定值；
(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
§8.2 两条直线的位置关系 答案
要点梳理
1．(1)k1＝k2　平行　(2)k1·k2＝－1　垂直
2．唯一解　无解　无数个解
3．(1)
(2)　(3)
基础自测
1．－6　2. －9　 3.x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 4． A　5. D
题型分类·深度剖析
例1　解　(1)方法一：　①当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，l1∥l2；
②当m≠0时，l1：y＝－x－，l2：y＝x－，
由－＝且－≠－，
∴m＝－1.
故所求实数m的值为0或－1.
方法二　直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的等价条件是：
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.
由所给直线方程可得：
1·3m－m2·(m－2)＝0且1·2m－6·(m－2)≠0?m(m2－2m－3)＝0且m≠3?m＝0或－1.
故所求实数m的值为0或－1.
(2)方法一：　由直线l1的方程知其斜率为－，
当a＝1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；
当a≠1时，直线l2的斜率为－.
由－·＝－1?a＝. 故所求实数a的值为.
方法二　直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是
A1A2＋B1B2＝0.
由所给直线方程可得：a·1＋2·(a－1)＝0?a＝. 故所求实数a的值为.
变式训练1　解　(1)由题意得
，解得m＝1，n＝7.
(2)当m＝0时，显然l1不平行于l2；
当m≠0时，由＝≠，得
∴或
即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
例2　解　方法一：　先解方程组
，得l1、l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率求出l的斜率为－，
于是由直线的点斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
方法二　由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程为5x＋3y－1＝0.
方法三　由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.
其斜率－＝－，解得λ＝，代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0.
变式训练2　解　方法一：　设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2的交点为B(－2－x0,4－y0)，并且满足
即解得
因此直线l的方程为＝， 即3x＋y＋1＝0.
方法二　设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即k x－y＋k＋2＝0.
由得x＝.
由得x＝.则＋＝－2，解得k＝－3.
因此所求直线方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0.
方法三　两直线l1和l2的方程为(4x＋y＋3)(3x－5y－5)＝0①
将上述方程中(x，y)换成(－2－x,4－y)
整理可得l1与l2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x＋y＋1)(3x－5y＋31)＝0.②
①－②整理得3x＋y＋1＝0.
例3　解　(1)∵l1：4x－2y＋2a＝0 (a>0)，l2：4x－2y－1＝0，∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝，
由已知，可得＝.
又a>0，可解得a＝3.
(2)设点P的坐标为(x，y)，由条件①，可知x>0，y>0.由条件②和③，可得
化简得
于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，
也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1， 或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，
解得y＝，或8x＋2y－5＝0.
当y＝时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，
解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去．
由，化简得，或，
解得或(舍去)．
即存在满足题设条件的点P，其坐标为.
变式训练3　解　(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即k x－y－2k－1＝0.
由已知，得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l ⊥ OP，得k l k OP＝－1，所以k l＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)， 即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点，且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点，且到原点距离为6的直线．
A组　专项基础训练
1．B　2. A　3. D　4. 1　5.  6．2x－3y－9＝0　7. ①⑤
8．解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3. 解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由　解得交点P(2,1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA| (当l⊥PA时等号成立)．
∴d max＝|PA|＝.
B组　专项能力提升
1．B　 2. C　 3. A　 4. 　 5. 　 6. 
7．解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，
因为a2≥0，所以b≤0.
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6. 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，
|a b|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，
因此|a b|的最小值为2.
8．(1)证明　设P (x0>0)．则|PN|＝x0，|PM|＝＝，
因此|PM|·|PN|＝1.
(2)解　直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋2x0＋.
解方程组得 x＝y＝x0＋，
S OMPN＝S△NPO＋S△OPM
＝|PN||ON|＋|PM||OM|
＝x0＋＝＋≥1＋，
当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，
因此四边形OMPN的最小值为1＋.
§8.3 圆与方程
一、要点梳理
1．圆的定义
在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆．
2．确定一个圆，最基本的要素是________和________．
3．圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中___ ___为圆心，__ ____为半径．
4．圆的一般方程
x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0表示圆的充要条件是________________，其中圆心为________________，半径r＝________________．
5．确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
6．点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上： ；
(2)点在圆外： ；
(3)点在圆内： ．
二、难点正本　疑点清源
1．确定圆的方程必须有三个独立条件
不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a、b、r或D、E、F的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值．
2．圆的一般方程的特征
圆的一般方程：x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，若化为标准式，即为
由于r2相当于．
所以①当D2＋E2－4F>0时，圆心为，半径r＝．
②当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点．
③当D2＋E2－4F<0时，这样的圆不存在．
三、基础自测
1．圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)的圆的方程为____________________．
2．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．
3．(2011·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为__________________．
4．圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋y－3＝0的距离为________．
5．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程
是 (　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
四、题型分类 深度剖析
题型一　求圆的方程
例1　根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
探究提高:求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
变式训练1 (1)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线
x＋y＝0上，则圆C的方程为 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线
x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________．
题型二　与圆有关的最值问题
例2　已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．
(1)求y－x的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2的最大值和最小值．
探究提高:与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
变式训练2 (2012·海淀模拟)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
题型三　与圆有关的轨迹问题
例3　已知P(4,0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足
∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
探究提高:求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
②定义法：根据圆、直线等定义列方程；
③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
变式训练3 设定点M(－3,4)，动点N在圆 x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
五、解题思想方法示范(利用方程的思想方法求解圆的问题)
试题：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
审题视角　(1)圆心及半径，关键是求m．
(2)利用OP⊥OQ，建立关于m的方程求解．
(3)利用x1x2＋y1y2＝0和韦达定理或利用圆的几何性质．
规范解答
解:　方法一:　
将x＝3－2y，代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0. [2分]
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1、y2满足条件：y1＋y2＝4，y1y2＝． [4分]
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0．而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2．
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝． [6分]
故＋＝0，解得m＝3， [9分]
此时Δ>0，圆心坐标为，半径r＝． [12分]
方法二:　如图所示，设弦PQ中点为M，
∵O1M⊥PQ，∴kO1M=2． [2分]
∴O1M的方程为y－3＝2， 即y＝2x＋4．[4分]
由方程组．解得M的坐标为(－1,2)． [6分]
则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2．
∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上．
∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，|MQ|2＝r2．
在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2．
∴＝2＋(3－2)2＋5．
∴m＝3． [9分]
∴半径为，圆心为． [12分]
方法三:　设过P、Q的圆系方程为
x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)＝0． [2分]
由OP⊥OQ知，点O(0,0)在圆上． [4分]
∴m－3λ＝0，即m＝3λ．∴圆系方程可化为
x2＋y2＋x－6y＋3λ＋λ x＋2λy－3λ＝0．
即x2＋(1＋λ)x＋y2＋2(λ－3)y＝0． [6分]
∴圆心M，又圆心在PQ上．
∴－＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m＝3． [9分]
∴圆心为，半径为． [12分]
批阅笔记:　(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算；
(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值；
(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
失误与防范
1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．
2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
§8.3 圆与方程
A组　专项基础训练
一、选择题
1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 (　　)
A．－1 B．1 C．3 D．－3
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为 (　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是 (　　)
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
二、填空题
4．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为_______ ___．
5．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是______ ____．
6．直线x－2y－2k＝0与2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的范围
是____________________．
三、解答题
7．根据下列条件求圆的方程：
(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(3)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
8．已知以点P为圆心的圆，经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于
点C和D，且|CD|＝4.
(1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) (　　)
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
2．已知圆C：x2＋y2＋m x－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的
值为 (　　)
A．8 B．－4
C．6 D．无法确定
3．已知函数y＝，x∈[1,2]，对于满足1论：①f(x2)－f(x1)>x2－x1； ②x2f(x1)>x1f(x2)； ③(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；
④(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0.
其中正确结论的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围
是________．
5．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段
PQ的长为________．
6．若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是_______________．
三、解答题
7．已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心M在直线x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
8．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，
试求圆C的方程．
§8.3 圆与方程 答案
要点梳理
1．定点　 定长　 集合　 2. 圆心　 半径 3． (a，b)　 r
4．D2＋E2－4F>0　 
6．(1)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2　(2)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2　(3)(x0－a)2＋(y0－b)2基础自测
1．(x－8)2＋(y＋3)2＝25　 2. 3．(x－2)2＋y2＝10　 4. 1　 5. C
题型分类·深度剖析
例1　解：　(1)设圆的方程为x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，
将P、Q点的坐标分别代入得
 
又令y＝0，得x2＋D x＋F＝0. ③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36， ④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题
意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
变式训练1　(1)B (2)(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
例2　解：　圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.
(1)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为
-2＋，最小值为-2-.
(2)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
变式训练2　(1)|MQ| max＝6，|MQ| min＝2
(2)的最大值为2＋，最小值为2－
例3　 解 设AB的中点为R，坐标为(x1，y1)，则在R t △ABP中，|AR|＝|PR|.
又因为R是弦AB的中点，故|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x21＋y21)，
又|AR|＝|PR|＝，
所以有(x1－4)2＋y21＝36－(x21＋y21)，即x21＋y21－4x1－10＝0.
因此点R在一个圆上．而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q(x，y)，因为R是PQ的中点，所以x1＝，y1＝.
代入方程x21＋y21－4x1－10＝0，
得2＋2－4·－10＝0，整理得x2＋y2＝56.
即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.
变式训练3　解：　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，
则线段OP的中点坐标为，线段MN的
中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，
故＝，＝. 从而.
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和(点P在直线OM上时的情况)．
A组　专项基础训练
1．B　 2.A　 3.A　 4．(x＋2)2＋2＝ 5．x＋y－1＝0
6. ∪
7．解：　(1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意列出方程组
，解之得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2)过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心
为(1，－4)．
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(3)方法一　设圆的一般方程为x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，
则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
方法二：　由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，k AB＝－，
则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.
联立，得，
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
8．解：　(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，
∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，
则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴(a＋1)2＋b2＝40 ②
由①②解得或 ∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，
∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
B组　专项能力提升
1．B　 2. C　 3. B　 4．(－∞，1)　 5. 4　 6.π
7．解　(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，
根据题意得：解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题意知，四边形PAMB的面积为
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|.
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝， 即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM| min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为S min＝2＝2＝2.
8．解　设圆C的方程为x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0，则k、2为x2＋D x＋F＝0的两根，
∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，
又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.
故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，
圆心坐标为.
∵圆C在点P处的切线斜率为1， ∴k CP＝－1＝，∴k＝－3.
∴D＝1，E＝5，F＝－6.
∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.


§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系与方程
要点梳理
1．直线与圆的位置关系
(1)位置关系有三种：________、________、________．
(2)判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：
dr?相离．
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用韦达定理及弦长公式
|AB|＝|x A－x B|＝．
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
3．求过点P(x0，y0)的圆x2＋y2＝r2的切线方程
(1)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则以P为切点的圆的切线方程
为________________．
(2)若P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过P的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，利用待定系数法求解．
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况．
4．圆与圆的位置关系的判定
设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，
则有：
|C1C2|>r1＋r2?⊙C1与⊙C2____ ____；
|C1C2|＝r1＋r2?⊙C1与⊙C2______ __；
|r1－r2|<|C1C2||C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1与⊙C2______ __；
|C1C2|<|r1－r2|?⊙C1与⊙C2___ _____．
二、难点正本　疑点清源
1．解决直线与圆的位置关系的有关问题，要充分利用平面几何中圆的性质使问题简化．一般要求圆心到直线的距离与半径．
2．当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形．
3．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
三、基础自测
1．已知圆C经过M(2，－1)和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上，则圆C的方程为_______________________________．
2．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是________．
3．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________________．
4．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a＝________．
5．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有
且仅有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
四、题型分类 深度剖析
题型一　直线与圆的位置关系
例1　m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5．
(1)无公共点； (2)截得的弦长为2；
(3)交点处两条半径互相垂直．
探究提高:　(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；
(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；
(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·k2＝－1．
变式训练1已知直线l：y＝k x＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12．
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
题型二　圆的切线问题
例2　已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．
探究提高:　求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．
变式训练2 已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4．
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．
题型三　圆与圆的位置关系
例3　a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆
C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0．
(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．
探究提高:　判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
变式训练3 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
五、解题思想方法示范(与圆有关的探索问题)
试题：(12分)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝k x－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．
审题视角　(1)假设存在两点A、B关于直线对称，则直线过圆心．(2)若以AB
为直径的圆过原点，则OA⊥OB．转化为·＝0．
规范解答
解:　圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为
C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B满足条件，
则圆心C(1，－2)在直线y＝k x－1上，即k＝－1． [3分]
于是可知，k AB=1．
设l AB：，代入圆C的方程，整理得，
则Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0，即b2+6b-9<0．
解得-3-设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝b2＋2b－2．
由题意知OA⊥OB，则有x1x2＋y1y2＝0，
也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0．
∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0． [10分]
∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0．
解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0，
即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0． [12分]
答题步骤：
第一步：假设符合要求的结论存在．
第二步：从条件出发(即假设)求解．
第三步：确定符合要求的结论存在或不存在．
第四步：给出明确结果．
第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范．
批阅笔记:　(1)本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质答题．(2)要注意解答这类题目的答题格式．使答题过程完整规范．(3)本题的易错点是转化方向不明确，思路不清晰．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程的求法有两种：
(1)用待定系数法设出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求 出切线的斜率，进而求得直线方程．
(2)用待定系数法设出直线方程，再利用直线与圆相切时交点唯一列出关系式求出切线的斜率，进而求得直线方程．
2．若两圆相交时，把两圆的方程作差,消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
4．求圆外一点P到圆O上任意一点距离的最小值为|PO|－r，最大值为
|PO|＋r(其中r为圆O的半径)．
失误与防范
1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．注意利用圆的性质解题，可以简化计算．§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系与方程
A组　专项基础训练
一、选择题
1．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为 (　　)
A. B. C. D．0
2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为 (　　)
A. B．2 C. D．2
3．直线y＝k x＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的
取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0 (a>0)的公共弦长为2，则a＝________.
5．已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是___________________________________________．
6．在平面直角坐标系中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线
12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．
三、解答题
7．一直线经过点P被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在的直线方程．
8．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝4和圆外一点A(1，2)，
(1)若直线m经过原点O，且圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，求直线m的方程；
(2)若经过A的直线l与圆C相切，切点分别为D，E，求切线l的方程及D、E两切点所在的直线方程．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．若直线2ax－by＋2＝0 (a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则
＋的最小值为 (　　)
A. B. C．2 D．4
2．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－m x－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－，) B．(－，0)∪(0，)
C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞)
3．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于 (　　)
A．4 B．4
C．8 D．8
4．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆
P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是 (　　)
A．x2＋y2＋x＝0 B．y2－2x＋2y＋3＝0
C．y2－6x＋2y－2＝0 D．x2＋y2＋2x＋2y＝0
二、填空题
5．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m ∈R)相交于A、B两点，且两圆在点
A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
6．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若
圆C1与圆C2相切，则实数m＝____ ______.
7．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB
最小时，直线l的方程为______ ________．
三、解答题
8．在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x
相切于坐标原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系与方程 答案
要点梳理
1．相离　相切　相交　3.(1)x0x＋y0y＝r2 4．相离　外切　相交　内切　内含
基础自测
1．(x－1)2＋(y＋2)2＝2　2.相交 3．(－∞，0)∪(10，＋∞)　4.0　5.B
题型分类·深度剖析
例1 解：(1)由已知，圆心为O(0,0)，半径r＝，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离
d＝＝，
∵直线与圆无公共点，∴d>r，即>，
∴m>5或m<－5.
故当m>5或m<－5时，直线与圆无公共点．
(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12.
即5－＝1. 得m＝±2，
∴当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2.
(3)如图，由于交点处两条半径互相垂直，
∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，
∴d＝r， 即＝·，解得m＝±.
故当m＝±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．
变式训练1　方法一：(1)证明　
由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长
|AB|＝|x1－x2|＝2＝2 ，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k ∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
方法二：(1)证明　圆心C(1，－1)到直线l的距离d＝，圆C的半径R＝2，R2－d2＝12－＝，而在S＝11k2－4k＋8中，
Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k ∈R恒成立，
所以R2－d2>0，即d(2)解　由平面几何知识，
知|AB|＝2＝2 ，
以下解法同方法一．
方法三：　(1)证明　因为不论k为何实数，直线l总过点A(0，1)，
而|AC|＝<2＝R，所以点A(0,1)在圆C的内部，
即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点A.
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解　由平面几何知识知过圆内定点A(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点A(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，
即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
例2　解：　(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，
①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．
②当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
即k x－y＋1－3k＝0.
由题意知＝2，解得k＝.
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为，∴2＋2＝4，
解得a＝－.
变式训练2　解：　(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，∴a＝±.
当a＝时，A(1，)，切线方程为x＋y－4＝0；
当a＝－时，A(1，－)，切线方程为x－y－4＝0，
∴a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，
a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，∴1＋a＝b，
∴直线方程为：x＋y＝1＋a，即x＋y－a－1＝0.又直线与圆相切，∴d＝＝2，
∴a＝±2－1.∴切线方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
例3　解　将两圆方程写成标准方程．
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9， C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，
设两圆的圆心距为d，
则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.
(2)当1(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5.
(4)当d＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或a＝－2.
变式训练3　解：　(1)设圆O2的半径为r2，由于两圆外切，
∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是 (x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22，又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为
＝＝，
解得r22＝4或r22＝20.
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
A组　专项基础训练
1．B　2.D　3.B　4.1 5．(x－1)2＋2＝1　6.(－13,13)
7．解　(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，
代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.
∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
(2)当斜率k存在时，设所求直线方程为y＋＝k(x＋3)，即k x－y＋3k－＝0.
由已知，弦心距|OM|＝＝3，
∴＝3，解得k＝－.
所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.
所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
8．解　(1)方法一：　圆C的圆心为(－1,0)，半径r＝2，
圆C上恰有三个点到直线m的距离为1，则圆心到直线m的距离恰为1，
由于直线m经过原点，圆心到直线m的距离最大值为1.
所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC的直线，即y轴，
所以直线方程为x＝0.
方法二：　圆C的圆心为(－1,0)，半径r＝2，
圆C上恰有三个点到直线m的距离为1.则圆心到直线m的距离恰为1.
设直线方程为y＝k x，d＝＝1， k无解．
直线斜率不存在时，直线方程为x＝0显然成立．所以所求直线为x＝0.
(2)设直线方程为y－2＝k(x－1)，
d＝＝2，解得k＝，
所求直线为y－2＝(x－1)，即x－3y＋5＝0，
斜率不存在时，直线方程为x＝1，
∴切线l的方程为x＝1或x－3y＋5＝0，
过点C、D、E、A有一外接圆，x2＋(y－)2＝4，即x2＋y2－2y－1＝0，
过切点的直线方程为x＋y－1＝0.
B组　专项能力提升
1．D　2.B　3.C　4.C　5．4　6.±2或－5或－1　7.2x－4y＋3＝0
8．解　(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直，知O，C两点的斜率
K OC＝＝－1，故b＝－a，则|OC|＝2，即＝2，
可解得或，
结合点C(a，b)位于第二象限知.
故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)假设存在Q(m，n)符合题意，
则，解得.
故圆C上存在异于原点的点Q符合题意．
§8.5 椭圆
一、要点梳理
1．椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的____．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若_____ ___，则集合P为椭圆；
(2)若___ _____，则集合P为线段；
(3)若_____ ___，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1 (a>b>0)
＋＝1 (a>b>0)
图形
性
质
范围
－axa
－byb
－bxb
－aya
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
二、难点正本　疑点清源
椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，而焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关．因此确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．
(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c．易见c2＝a2－b2，若记∠OF1B2=θ，则 ==e．
(2)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|．因为当平面内的
动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就
是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．
三、基础自测
1．如果椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离等于______．
2．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点(4,0)和(0,2)，则该椭圆的离心率等于________．
3．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为__________．
4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 (　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
5． “－3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
四、题型分类 深度剖析
题型一　求椭圆的标准方程
例1　已知F1，F2是椭圆＋＝1 (a>b>0)的左，右焦点，A，B分别是此
椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，
|F1A|＝＋，则此椭圆的方程是_________ ___．
探究提高:　求椭圆的标准方程常用方法为定义法、待定系数法．在利用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列出关于a、b、c的方程，解之．
变式训练1 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
题型二　椭圆的几何性质
例2　已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°．
(1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
探究提高:　(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c的关系．
(2)对△F1PF2的处理方法
?．
变式训练2 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标．
题型三　直线与椭圆的位置关系
例3　已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的离心率为e＝，连接椭圆的四个
顶点得到的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4．求y0的值．
探究提高:　(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l与x轴重合的特殊形式而失分．
变式训练3(2011·北京)已知椭圆G：＋y2＝1．过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
五、解题思想方法示范(对称与变换的思想在椭圆中的应用)
试题：(12分)在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．则点P在何处时，所求椭圆的长轴最短？并求出长轴最短时的椭圆方程．
审题视角　(1)所求椭圆的焦点即椭圆＋＝1的焦点，因而可求．(2)P到两焦点F1、F2的距离之和即为所求椭圆的长轴长．(3)要使长轴最短，即为在l上求一点P到F1、F2的距离之和最短，因而，利用平面几何的对称求解．
规范解答
解：F1(-3,0)，F2(3,0)在l同侧，如图所示，
作F2关于l的对称点F2′，连接F1F2′，则
F1F2′与l的交点即为所求点P．连接PF1、PF2．
设F2′(x0，y0)，
则得F2′(－9,12)． [5分]
所以F1F2′的方程为y＝－2(x＋3)，
将其与x－y＋9＝0联立，解方程组得
即P点坐标为(－5,4)． [9分]
此时，2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2′|＝|F1F2′|＝6， [11分]
所以当长轴最短时，a＝3，c＝3，b＝6．
所以椭圆的方程为＋＝1． [12分]
批阅笔记：(1)利用对称思想求最值是平面几何中一种巧妙的方法，注意总结规律，找出其适用的情况．
(2)本题易错原因：不会审题，或审题不准，找不到问题的切入点，无从下手．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c．
2．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合
b2＝a2－c2就可求得e (03．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．
失误与防范
1．求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简方程——椭圆的标准方程．
2．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，如求函数的单调区间、最值时．
§8.5 椭圆
A组　专项基础训练
一、选择题
1．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距
离为 (　　)
　 A．9 B．1 C．1或9 D．以上都不对
2．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是 (　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
3．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题
4．方程为＋＝1 (a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它
短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为________．
5．如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆＋＝1 (a>b>0) 上一点，
若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率是________．
6．如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB
的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭
圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的
方程为__________．
三、解答题
7．设椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的离心率e＝，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
8．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B.
(1)求椭圆的方程；
(2)试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，且|PF1|＝t|PF2|，则t的值为 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为 (　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
3．在椭圆＋＝1内，通过点M(1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为(　　)
A．x＋4y－5＝0 B．x－4y－5＝0
C．4x＋y－5＝0 D．4x－y－5＝0
二、填空题
4．如图，在平面直角坐标系中，A1、A2、B1、B2分别为
椭圆＋＝1 (a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，
直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰
为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为__________．
5．在平面直角坐标系中，设椭圆＋＝1 (a>b>0)的焦距为2c，以点O为圆心，
a为半径作圆M.若过点P所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率
为________．
6．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．
7．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________ ______．
三、解答题
8．设A、B分别为椭圆＋＝1 (a>b>0)的左、右顶点，为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x) (x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．
§8.5 椭圆 答案
要点梳理
1．椭圆 　焦点 　焦距　 (1)a>c 　(2)a＝c (3)a基础自测
1．14　 2. 　 3. 　 4. A　 5. B　
题型分类·深度剖析
例1　＋＝1
变式训练1　解：　设椭圆的标准方程是＋＝1 (a>b>0)或＋＝1 (a>b>0)，
两焦点分别为F1，F2，则由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，
∴a＝.
在方程＋＝1中令x＝±c 得|y|＝，
在方程＋＝1中令y＝±c 得|x|＝，
依题意并结合图形知＝.∴b2＝.
即椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
例2　(1)解：　设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a.
在△PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn
＝4a2－3mn≥4a2－3·2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．
∴≥，即e≥.
又0(2)证明　由(1)知m n＝b2，
∴S△PF1F2＝m n sin 60°＝b2， 即△PF1F2的面积只与短轴长有关．
变式训练2　＋y2＝1
椭圆上到点P的距离等于的点的坐标为和
例3　解：　(1)由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，
得a＝2b，由题意可知×2a×2b＝4，即a b＝2.
解方程组，得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
( 2)由(1)知A(－2,0)，且直线l的斜率必存在．
设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A，B两点的坐标满足方程组由方程消去y并整理，
得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得x1＝， 从而y1＝.
设线段AB的中点为M，则M点的坐标为.
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，
于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)．
由·＝4，得y0＝±2.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y －＝－.
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)，
·＝－2x1－y0(y1－y0)＝＋
＝＝4，
整理得7k2＝2. 故k＝±，所以y0＝±.
综上，y0＝±2或y0＝±.
变式训练3　(1)焦点坐标为(－，0)，(，0)，离心率为
(2)|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)　|AB|的最大值为2
A组　专项基础训练
1．C　 2. A　 3. B　 4. 　 5. 　 6. ＋＝1
7．解　(1)依题意知，2a＝4，∴a＝2.
∵e＝＝，∴c＝，b＝＝.
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，
∴解得：x1＝，y1＝.
∴3x1－4y1＝－5x0.
∵点P(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，
∴－2≤x0≤2，则－10≤－5x0≤10.
∴3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．
8．解　(1)∵2a＝4，＝，
∴a＝2，c＝1，b＝. ∴椭圆的方程为＋＝1.
(2)能．设点P(x0，y0) (x0≠0，y0≠0)，由题意知直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入＋＝1，
整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0.
∵x＝x0是方程的两个相等实根，∴2x0＝－，解得k＝－.
∴直线l的方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得点A的坐标为.
又∵＋＝1，∴4y20＋3x20＝12. ∴点A的坐标为.
又直线l′的方程为y－y0＝(x－x0)，
令x＝0，得点B的坐标为.
∴以AB为直径的圆的方程为x· x＋·＝0.
整理，得x2＋y2＋y－1＝0. 令y＝0，得x＝±1，
∴以AB为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．
B组　专项能力提升
1．D　 2.C　 3.A　 4.2－5 5.　 6.15　 7.＋＝1
8．(1)解　依题意得，a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，
设椭圆方程为＋＝1，将代入，得c2＝1，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　由(1)知，A(－2,0)，B(2,0)，
设M(x0，y0)，则－2由P，A，M三点共线，得x＝，
＝(x0－2，y0)，＝，
·＝2x0－4＋＝(2－x0)>0，
即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．

§8.6 双曲线
一、要点梳理
1．双曲线的概念
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫____________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：
(1)当________时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是____________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
xa或x≤－a，y ∈R
x ∈R，y≤－a或ya
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
二、难点正本　疑点清源
1．双曲线中a，b，c的关系
双曲线中有一个重要的R t △OAB(如右图)，
它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2＋b2，
若记∠AOB＝θ，则e＝＝．
2．双曲线的定义用代数式表示为||MF1|－|MF2||＝2a，
其中2a<|F1F2|，这里要注意两点：
(1)距离之差的绝对值． (2)2a<|F1F2|．
这两点与椭圆的定义有本质的不同：
①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；
②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；
③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；
④当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
3．渐近线与离心率
－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝＝．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．
三、基础自测
1．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是_________________________________________．
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝_____________．
3．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
4．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
5．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 (　　)
A． B．5 C． D．2
四、题型分类 深度剖析
题型一　双曲线的定义
例1　已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
探究提高：　双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．
变式训练1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________．
题型二　双曲线的标准方程
例2　根据下列条件，求双曲线方程：
(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3,2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
探究提高：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素
(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为a x ±b y＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ (λ≠0)．
变式训练2 (1)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(，0)，求双曲线的方程；
(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．
题型三　双曲线的几何性质
例3　中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
探究提高：　在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．
变式训练3 如图，已知F1、F2为双曲线－＝1 (a>0，b>0)
的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，
且∠PF1F2＝30°，求：(1)双曲线的离心率；
(2)双曲线的渐近线方程．
题型四　直线与双曲线的位置关系
例4　过双曲线－＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|； (2)求△AOB的面积；
(3)求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|．
探究提高：双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|．
变式训练4 直线l：y＝k x＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
　五、易错警示（忽视直线与双曲线相交的判断致误）
试题：(12分)已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？
审题视角　(1)本题属探索性问题．若存在，可用点差法求出AB的斜率，进而求方程；也可以设斜率k，利用待定系数法求方程．(2)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验．
规范解答
解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意． [2分]
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝k ＋1－k． [3分]
由
得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0 (2－k2≠0)．①　 [6分]
∴x0＝＝．
由题意，得＝1，解得k＝2． [8分]
当k＝2时，方程①成为2x2－4x＋3＝0．
Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解． [11分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P(1,1)是线段AB的中点．
[12分]
批阅笔记:　(1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确．错误原因是考生忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的．(2)如将本题中点P的坐标改为(1,2)，看看结论怎样？
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心．
2．焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b．
3．有共同渐近线的两条双曲线可能是：共轭双曲线；放大的双曲线；共轭放大或放大后共轭的双曲线．所以与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为－＝t (t≠0)．
4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程－＝0就是双曲线
－＝1的两条渐近线方程．
失误与防范
1．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．
2．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x．
4．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
5．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
§8.6 双曲线
A组　专项基础训练
一、选择题
1．双曲线中心在原点，且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是 (　　)
　 A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于 (　　)
A. B．2 C. D．2
3．若双曲线－＝1 (a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
4．(2011·新课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 (　　)
A. B. C．2 D．3
二、填空题
5．已知中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，则双曲线C的标准方程为______________________．
6．如图，点P是双曲线－＝1上除顶点外
的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为
半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，
则|F1M|·|F2M|＝________.
7．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点．若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率为________．
三、解答题
8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点
P(4，－)．
(1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．已知点F1(－，0)、F2(，0)，动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是 (　　)
A. B. C. D．2
2．已知点F是双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2)
C．(1,1＋) D．(2，＋∞)
3．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1 (a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为 (　　)
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C. D.
二、填空题
4．设双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．
5．设点F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为________．
6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
三、解答题
7．设A，B分别为双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
8．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝k x＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2 (其中O为原点)，求k的取值范围．
§8.6 双曲线 答案
要点梳理
1． 双曲线　 焦点　 焦距　 (1) ac
基础自测
1. －＝1 (x≥3)　 2. － 3. 　 4. －＝1　 5. A
题型分类·深度剖析
例1　解：　设F(x，y)为轨迹上的任意一点，
∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，
∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，
∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，
∴|FA|－|FB|＝2<14.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，
∴点F的轨迹方程是y2－＝1 (y≤－1)．
变式训练1　 
例2　解　(1)设所求双曲线方程为－＝λ (λ≠0)，
将点(－3,2)代入得λ＝，
∴所求双曲线方程为－＝， 即－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1，
将点(3，2)代入得k＝4，(k＝－14舍去)．
∴所求双曲线方程为－＝1.
变式训练2　 (1)x2－＝1 (2)－＝1或－＝1
例3　解：　(1)由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚
轴长分别为m、n，则，
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为＋＝1， 双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，
|PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10， |PF2|＝4.
又|F1F2|＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝＝.
变式训练3　 (1)　 (2)y＝±x
例4　(1)解：　由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1(－3,0)，F2(3,0)． 直线AB的方程为y＝(x－3)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2＋6x－27＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.
(2)解　直线AB的方程变形为x－3y－3＝0.
∴原点O到直线AB的距离为d＝＝.
∴S△AOB＝|A B| ·d＝××＝.
(3)证明　如图，由双曲线的定义得
|AF2|－|AF1|＝2， |BF1|－|BF2|＝2，
∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，
即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.
变式训练4　解：　(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线
C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. ①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，
故解得k的取值范围是－2(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得：(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0.
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0. ③
把②式及c＝代入③式化简得5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝?(－2，－)(舍去)，可知存在k＝－使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点．
A组　专项基础训练
1．B　2.B　3.C　4.B　5. －＝1或－＝1　6. b2　 7. 
8．(1)解：　∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，
即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明　方法一　由(1)可知，双曲线中a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝， kMF1·kMF2＝＝－.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，
∴·＝0.
方法二：　∵＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.
(3)解　△F1MF2的底|F1F2|＝4，由(2)知m＝±.
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.
B组　专项能力提升
1．A　 2.D　 3.B　 4.ab　 5.3　 6.
7．解：　(1)由题意知a＝2，一条渐近线为y＝x，即b x－ay＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则 x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴　∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
8．解　(1)设双曲线C2的方程为－＝1，则a2＝4－1＝3，c2＝4，
由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝k x＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得

∴k2≠且k2<1. ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0， 解得由①②得故k的取值范围为∪.
§8.7 抛物线
一、要点梳理
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2p
x(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y ∈R
x≤0，y ∈R
y≥0，x ∈R
y≤0，x ∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
二、难点正本　疑点清源
1．抛物线的定义
抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．
2．抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程．
三、基础自测
1．抛物线y2＝8x上到焦点的距离等于6的点的坐标是______________．
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值
为________．
3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程
为______ ____．
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 (　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
5．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　)
A． B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
四、题型分类 深度剖析
题型一　抛物线的标准方程及几何性质
例1　如图，已知抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F，
A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，
A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直
于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
探究提高：(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
(2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．
变式训练1 如图，已知抛物线y2=2px (p>0)有
一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边
OA与OB的长分别为1 和8，求抛物线方程．
题型二　抛物线的定义及应用
例2　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)
求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．
探究提高：重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
变式训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|＋|PM|的最小值是 (　　)
A． B．4 C． D．5
题型三　直线与抛物线的位置关系
例3　如图，倾斜角为α的直线经过抛物线
y2=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，
(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
(2)若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x
轴于点P，证明|FP|-|FP| cos 2α为定值，并求此定值．
探究提高：　(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式
|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
变式训练3已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程．
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
五、易错警示(对抛物线开口方向的审题要规范)
试题：(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程．
学生解答展示
审题视角　点A(m，－3)的纵坐标为－3，即点A在x轴下方，故开口方向不能向上．但横坐标m不确定，因而应对抛物线的开口方向分向下、向左、向右三种情况讨论．
规范解答
解：　①若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为x2＝－2py (p>0)，
这时准线方程为y＝，由抛物线定义知－(－3)＝5，解得p＝4，
∴抛物线方程为x2＝－8y， [4分]
这时将点A(m，－3)代入方程，得m＝±2． [5分]
②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y2＝2ax (a≠0)，从
p＝|a|知准线方程可统一成x＝－的形式，于是从题设有，
解此方程组可得四组解
，，，
∴y2＝2x，m＝；y2＝－2x，m＝－；y2＝18x，m＝；
y2＝－18x，m＝－． [11分]
综上所述，所求结果为：y2＝2x，m＝；
y2＝－2x，m＝－； y2＝18x，m＝；
y2＝－18x，m＝－； x2＝－8y，m＝±2． [12分]
批阅笔记：　(1)本题考查的是抛物线的方程．抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2＝ay (a≠0)或y2＝ax (a≠0)，然后利用待定系数法和已知条件求解．
(2)有关抛物线标准方程的问题，在审题时一般是一看轴，二看开口方向．平时要注意审题的规范性．
(3)本题错误的原因就在于审题不规范，导致漏解．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率为e＝1，所以与椭圆、双曲线相比，它有许多特殊性质，可以借助几何知识来解决．
2．抛物线的标准方程有四种形式，要掌握抛物线的方程与图形的对应法则，将抛物线y2＝2px关于y轴、直线x＋y＝0与x－y＝0对称变换可以得到抛物线的其他三种形式；或者将抛物线y2＝2px绕原点旋转±90°或180°也可得到抛物线的其他三种形式，这是它们的内在联系．
3．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝．
失误与防范
1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．
2．注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题．
§8.7 抛物线
A组　专项基础训练
一、选择题
1．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是 (　　)
A. B. C．1 D.
2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 (　　)
A. B．1 C. D.
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A ⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于 (　　)
A．4 B．8 C．8 D．16
4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为 (　　)
A．5 B．10 C．20 D.
二、填空题
5．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程是________________．
6．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点B(－1，1)的距离与点P到直线
x＝－1的距离之和的最小值为________．
7．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程
是__________．
三、解答题
8．已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点)．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·<0，求直线l的斜率的取值范围．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为 (　　)
A．48 B．56 C．64 D．72
2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于 (　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为 (　　)
A．(2,2) B．(2，－2) C．(2，±) D．(2，±2)
二、填空题
4．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝________.
5．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．
6．设抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p的值为________．
三、解答题
7.设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别
作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，
且l1与l2相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
8．已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足·＝0，＝，
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，·＝97，其中Q(－1,0)，求直线l的方程．
§8.7 抛物线 答案
要点梳理
1．相等 　焦点 　准线
基础自测
1．(4,4)或(4，－4)　 2. 4 3．y2＝4x　 4. B　 5. C
题型分类·深度剖析
例1　解：　(1)抛物线y2＝2px (p>0)的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，
∵F(1,0)，∴k FA＝. ∵MN⊥FA，∴k MN＝－.
则FA所在直线的方程为y＝(x－1)．
MN所在直线的方程为y－2＝－x.
解方程组，得. ∴N.
变式训练1　解：设直线OA的方程为y＝k x，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，
由得x＝0或x＝.
∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，
可得
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝＝.
又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.
例2　解：　将x=3代入抛物线方程
y2=2x，得y=.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图．
设抛物线上点P到准线l：x=-的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA| +d，当PA⊥l时，|PA| +d最小，最小值为，即|PA|+|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．
变式训练2　C　[设抛物线y2＝2x的焦点为F，则F，又点A在抛物线的
外侧，抛物线的准线方程为x＝－，则|PM|＝d－，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥.]
例3　(1)解：　由已知得2p＝8，∴＝2.
∴抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x＝－2.
(2)证明　设A(x A，y A)，B(x B，y B)，直线AB的斜率为k＝tan α，
则直线方程为y＝k(x－2)．
将此式代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0，故x A＋x B＝.
设直线m与AB的交点为E( x E，y E)，
则x E＝＝， y E＝k(x E－2)＝，
故直线m的方程为y－＝－.令y＝0，
得点P的横坐标为x P＝＋4，故|FP|＝x P－2＝＝.
∴|FP|－|FP| cos 2α＝(1－cos 2α)＝＝8.
∴|FP|－|FP|cos 2α为定值．
变式训练3　解：　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，
从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1，4λ－2)，又y23＝8x3，
所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
A组　专项基础训练
1．D　 2.C 　3.B　 4.B　 5．y2＝16x或x2＝－8y　 6.　 7.x2＝12y
8．解　(1)设P(x，y)，E(－1，y E)，F(－1，y F)．
∵·＝(－2，y E)·(－2，y F)＝y E· y F＋4＝0，
∴y E· y F＝－4， ①
又＝(x＋1，y－y E)，＝(1，－y F)，且∥，∥，
∴y－y E＝0且x(－y F)－y＝0，
∴y E＝y，y F＝－，代入①得y2＝4x(x≠0)，
∴动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．
(2)设l：y－2＝k x(易知k存在)，
联立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0，
令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1·y2＝，
·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝－＋1＋y1y2
＝2－＋y1y2＋1
＝＋1<0，∴－12则实数k的取值范围为(－12,0)．
B组　专项能力提升
1．A　 2.B　 3.D　 4. p　 5. 　 6. 
7．(1)解　设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为
y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，则A，B，
设P(x，y)，由得， ①
因为|AB|＝1，所以|n－m|＝2，
即(m＋n)2－4mn＝4，将①代入上式得：y＝x2－1，
∴点P的轨迹方程为y＝x2－1.
(2)证明　设直线MN的方程为y＝k x＋b (b>0)．
联立方程，消去y得x2－k x－b＝0，
所以m＋n＝k，m n＝－b， ②
点P到直线MN的距离d＝，
|MN|＝|m－n|，
∴S△MNP＝d· |MN|＝·|m－n|＝·(m－n)2·|m－n|＝2.
即△MNP的面积为定值2.
8．解：　(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；
则＝(－8，b)，＝(x，y－b)，＝(c，－b)，＝(x－c，y)．
∴·＝－8x＋b(y－b)＝0. ①
由＝，得∴b＝－y代入①得y2＝－4x.
∴动点P的轨迹方程为y2＝－4x.
(2)当直线l的斜率不存在时，x＝8与抛物线没有交点，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，
则l：y＝k(x－8)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
由·＝97，得(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝97.
即x1x2＋x1＋x2＋1＋k2(x1－8)(x2－8)＝97，
∴(1＋k2)x1x2＋(1－8k2)(x1＋x2)＋1＋64k2＝97. ②
将y＝k(x－8)代入y2＝－4x 得k2x2＋(4－16k2)x＋64k2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝64.
代入②式得：64(1＋k2)＋(1－8k2)＋1＋64k2＝97.
整理得k2＝，∴k＝±.
∴l的方程为y＝±(x－8)，
即x－2y－8＝0或x＋2y－8＝0.
§8.8 直线与圆锥曲线
一、要点梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程f(x，y)＝0．
由，消元
如消去y后得ax2＋b x＋c＝0．
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac．
a．Δ______0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；
b．Δ______0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
c．Δ______0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝_ __________或|P1P2|＝________________．
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
(3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px (p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝．
二、难点正本　疑点清源
1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点．
还可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法．
2．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．
当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能
三、题型分类 深度剖析
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　已知定圆A：(x＋1)2＋y2＝16，圆心为A，动圆M过点B(1,0)且和圆
A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若点P(x0，y0)为曲线C上一点，求证：直线l：3x0x＋4y0y－12＝0与曲线C有且只有一个交点．
探究提高：将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组，然后判断方程组是否有解，有几个解，这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法中最常用的方法，注意：在没有给出直线方程时，要对是否有斜率不存在的直线的情况进行讨论，避免漏解．
变式训练1 在平面直角坐标系中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q．
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
题型二　圆锥曲线中的弦长问题
例2　设点F，动圆P经过点F且和直线y＝－相切，记动圆的圆心
P的轨迹为曲线W．
(1)求曲线W的方程；
(2)过点F作互相垂直的直线l1，l2分别交曲线W于A，B和C，D．求四边形ACBD面积的最小值．
探究提高：由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通法，而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一步转化为函数法或不等式法来求解．
变式训练2 (x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1 (a>b>0)上的两点，已知向量m＝ n＝，若m· n＝0且椭圆的离心率e＝，短轴长为2，O为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；
(3)试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
题型三　圆锥曲线中的定值或定点问题
例3　已知定点C(－1,0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于
A，B两点，在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
探究提高：本题的难点是由·的表达式，如何确定m值使其与直线的斜率无关，化解的方法就是对k进行集项，只有当k的系数等于零时，式子的值才能与k无关，即在m2＋2m－－中6m＋14＝0．本题当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和M的坐标，再进行具体证明．
变式训练3椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝k x＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
题型四　圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题
例4　已知椭圆＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点．
(1)求过点O、F，并且与直线l：x＝－2相切的圆的方程；
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
探究提高：直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不
求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．
变式训练3 已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点．
(1)当椭圆的半焦距c＝1，且a2，b2，c2成等差数列时，求椭圆的方程；
(2)在(1)的条件下，求弦AB的长度；
(3)当椭圆的离心率e满足≤e≤，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．
四、解题思想与方法（圆锥曲线中的函数思想）
试题：(12分)已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，
Q(x2，y2)且x1＋x2＝2．
(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标．
审题视角　(1)引入参数PQ中点的纵坐标，先求kPQ，利用直线PQ的方程求解．(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．
规范解答
(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2．
当x1≠x2时，由，得＝－·．
设线段PQ的中点N(1，n)，∴k PQ＝＝－， [4分]
∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A(，0)． [6分]
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)．
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)． [7分]
(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，
故点B(－，0)． [8分]
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，
|PB|2＝(x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥， [10分]
∴当点P的坐标为(0，±)时，|PB| min＝． [12分]
批阅笔记：(1)本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题，通常是先建立一个
目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图像、函数的有界性或重要不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图像求最值．
(2)本题的第一个易错点是，表达不出线段PQ的中垂线方程，原因是想不到引入参数表示PQ的中点．第二个易错点是，易忽视P点坐标的取值范围．实质上是忽视了椭圆的范围．
六、思想方法 感悟提高
方法与技巧
1．解决直线与椭圆的位置关系问题，如果直线与椭圆有两个不同交点，①若根据已知条件能求出两交点的坐标，这不失为一种彻底有效的方法；②若两交点的坐标不好表示，可将直线方程y＝k x＋c代入椭圆方程＋＝1整理出关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋B x＋C＝0，Δ＝B2－4AC >0，可利用根与系数之间的关系求弦长(弦长为)．
2．弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题．①求弦
长可注意弦是否过圆锥曲线焦点；②弦的中点问题还可利用“点差法”和“对称法”；③解决AO⊥BO，可以利用向量⊥的充要条件即
·＝0．
失误与防范
在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．
§8.8 直线与圆锥曲线
A组　专项基础训练
一、选择题
1．直线y＝k x＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 (　　)
　 A．1 B．1或3 C．0 D．1或0
2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　)
A．b2 B．a b C．ac D．b c
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为 (　　)
A．2 B. C. D.
二、填空题
4．已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝______.
5．直线y＝k x－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________．
6．直线y＝k x＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是__________．
三、解答题
7．已知直线y＝k x－1与双曲线x2－y2＝1的左支交于A、B两点，若另有一条直线l经过P(－2,0)及线段AB的中点Q.
(1)求k的取值范围；
(2)求直线l在y轴上的截距b的取值范围．
8．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线y＝k x＋m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．
B组　专项能力提升
一、选择题
1．过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于 (　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
2．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
3．如图，已知过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线
x-m y+ m=0与抛物线交于A、B两点，且△OAB
(O为坐标原点)的面积为2，则+的值是 (　　)
A．1 B.
C．2 D．4
二、填空题
4．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则||＋||＝________.
5．已知双曲线－＝1 (a>1，b>0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线－＝1的距离之和s≥ c，则e的取值范围是__________．
6．若过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为____________．
三、解答题
7．已知椭圆G：＋＝1 (a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
§8.8 直线与圆锥曲线 答案
要点梳理
1． (2)② >　 ＝　 < 2．(1)|x1－x2| 　|y1－y2|
题型分类·深度剖析
【例1】　(1)＋＝1
(2)证明　当y0＝0时，由＋＝1，可得x0＝±2.
①当x0＝2，y0＝0时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0)．
②当x0＝－2，y0＝0时，直线l的方程为x＝－2，此时直线l与曲线C有且只有一个交点(－2,0)．
当y0≠0时，直线l的方程为y＝，
联立方程组，得消去y，得(4y20＋3x20)x2－24x0x＋48－16y20＝0.(*)
由点P(x0，y0)为曲线C上一点，得＋＝1.于是方程(*)可化简为x2－2x0x＋x20＝0，解得x＝x0，把x＝x0代入方程y＝，可得y＝y0.故直线l与曲线C有且只有一个交点P(x0，y0)．
综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P(x0，y0)．
变式训练1　(1)∪
(2)解：　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)
由方程①得，x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
∵(＋)⊥，∴(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得：k＝－，由(1)知k2>，与此相矛盾，所以不存在常数k使＋与垂直．
【例2】　(1)x2＝6y　(2)四边形ACBD面积的最小值是72
变式训练2　(1)＋x2＝1　(2)±
(3)解　①当直线AB的斜率不存在时，即x1＝x2，y1＝－y2，
由m·n＝0，得-＝0，即＝4，
又A(x1，y1)在椭圆上，所以＋＝1，
所以|x1|＝，|y1|＝，
所以S△AOB＝|x1|·|y1－y2|＝|x1|·|y1|＝1，所以△AOB的面积为定值．
②当直线AB的斜率存在时：
设直线AB的方程为y＝k x＋b，
由，得(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
由x1x2＋＝0，得x1x2＋＝0，
整理得：2b2－k2＝4，
所以S△AOB＝·|AB|＝|b|＝＝＝1，
所以△AOB的面积为定值．
【例3】　解　假设在x轴上存在点M(m,0)，使·为常数．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，
消去y整理，得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.
则
所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2.
整理，得·＝＋m2＝＋m2
＝m2＋2m－－.
注意到·是与k无关的常数，从而有6m＋14＝0，m＝－，此时·＝.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为A、B，
当m＝－时，亦有·＝.
综上，在x轴上存在定点M，使·为常数．
变式训练3　(1)＋＝1
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0.
则 ①
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋m k(x1＋x2)＋m2＝.
∵椭圆的右顶点为A2(2,0)，AA2⊥BA2，
∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，
∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
∴＋＋＋4＝0，∴7m2＋16mk＋4k2＝0，
解得m1＝－2k，m2＝－，
由①，得3＋4k2－m2>0，
当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾．
当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，
∴直线l过定点，定点坐标为
【例4】　(1)2＋(y±)2＝
(2)点G横坐标的取值范围为
变式训练4　(1)＋＝1　 (2) (3)(，)
A组　专项基础训练
1．D　 2.D　 3.C　 4．　 5.2　 6.m≥1且m≠5
7．(1)－2＋
8．解　(1)依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，
则右焦点F(，0)，由题设得＝3，
解得a2＝3.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设P为弦MN的中点，由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
∵直线与椭圆相交，
∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)>0 得m2<3k2＋1. ①
∴x P＝＝－，从而y P＝k x P＋m＝，
∴k AP＝＝－，
又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，
则－＝－，即2m＝3k2＋1. ②
把②代入①得m2<2m，解得0由②得k2＝>0，解得m>.
综上求得m的取值范围是B组　专项能力提升
1．C　 2.A　 3.C　 4.10 5.　 6.y2＝3x
7．解　(1)由已知得c＝2，＝.
解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.
所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m. 由，
得4x2＋6mx＋3m2－12＝0. ①
设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) (x1则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1.
解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.
所以|AB|＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离
d＝＝，
所以△PAB的面积S＝|A B| ·d＝.
专题八 解析几何综合测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案直接填写到答题卡相应位置）
1.“”是“直线和直线平行”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2.（2012陕西文）已知圆,过点的直线,则 （ ）
A．与相交 B．与相切
C．与相离 D．以上三个选项均有可能
3.抛物线的焦点到准线的距离是 （ ）
A． 1 B．2 C．4 D．8
4.（2012广东文）在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于 （ ）
A． B． C． D．1
5.已知点，则轴上与点、距离之和最短的点的坐标是（ ）
A. (-1,0) B. (1,0) C. D.
6.（2012新课标文）等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为 （ ）
A． B． C．4 D．8
7．圆与圆的位置关系为 （ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8.抛物线与直线交于、两点，其中点的坐标为，设抛物线的焦点为，则等于 （ ）
A．7 B． C．6 D．5
9.【2012唐山市高三上学期期末】已知双曲线的渐近线为，焦点坐标为（-4，0
（4，0），则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
10.设集合U={(,)｜∈R,∈R},A={(,)｜2-+>0},B={(,)｜+-≤0}，那么点P(2，3)∈A ∩(CUB)的充要条件是 （ ）
A．>－1且<5 B．<－1且<5
C．>－1且>5 D．<－1且>5
11.（2012新课标文）设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直线 上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
12.【2012武昌区高三年级元月调研文】已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则 的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
13. 点在直线上，则的最小值是_______________.
14．（2012天津文）设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值
为________.
15．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则______,_______.
16．已知两点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y2＝4x上存在点C使△ABC为等边三角形，则
b＝________.
17.【2012黄冈市高三上学期期末考试文】已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 .
18．（2012四川文）椭圆为定值,且的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.
答题卡
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
题号
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题
13． ； 14. ；
15. ； 16. ；
17. ； 18. .
三、解答题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.
20. 双曲线，过右焦点F1作斜率为的直线交双曲线于P、Q两点，F2为左焦点，若，求双曲线方程.
21．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
(1)求直线PA，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
22. 若椭圆：的离心率等于，抛物线：的焦点在椭圆的顶点上。
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）过的直线与抛物线交、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程.
23. 已知F1、F2分别是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点.
（1）根据条件求出b和k满足的关系式；
（2）若，求直线的方程.
专题八 解析几何综合测试题 答案
一、选择题 AACBB CBADA CD
二、填空题
13. 8 14. 3 15. 1, 2 16. 5或－ 17. 18.
三、解答题
19.解： (Ⅰ)由左焦点可知,点在上,所以,即,
所以,于是椭圆的方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,假设其方程为.
联立,消去,可得,
由可得①.联立,消去,
可得,由可得②.由①②,解得或,所以直线方程为或.
20.解F1（，0），F2（－，0），过F1斜率为的直线方程为=（－），代入双
曲线方程整理得：（7－3）+6－3－7=0，
设P（，）、Q（，），则有＋=,=……①
由得：＋＋（＋）＋=0，
即：8－（＋）＋8=0 ……②
①代入②整理得：3＋4－4=0，又=＋3，联立此两式解得：=1。
∴双曲线方程为：。
21.解 (1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即k x―y―2k―1＝0．
因为圆心(1，2)到直线的距离为，＝， 解得k＝7，或k＝－1．
故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．
(2)在R t△PCA中，因为|PC|＝＝，|CA|＝，
所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以过点P的圆的切线长为2．
(3)容易求出k PC＝－3，所以k AB＝．
如图，由CA2＝CD·PC，可求出CD＝＝．
设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．
由＝解得b＝1或b＝(舍)．
所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．
22.解 (1)由椭圆方程得，，所以，
由题意得：抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即
所以 抛物线方程为
(2) 可判断直线的斜率存在，设直线的方程为
设、坐标为 联立
整理得 所以
由 得 所以
由 所以直线的方程为
23.解（1）双曲线=1的两个焦点分别是F1（，0），F2（，0），
从而圆O的方程为由于直线与圆O相切，所以有
即为所求.
（2）设则由 消去y并整理得，
根据韦达定理，得
从而

又由（1）知
即
所以直线的方程为

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