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7.1.2 复数的几何意义第七章复数几何意义数形结合思想
引 入
1. 对虚数单位i的规定
① i2=-1；
② 可以与实数一起进行四则运算.
2. 复数z=a+bi (a、b R)中a叫z的 、b叫z的 .
实部
虚部
复数
z=a+bi
3. 复数相等
复数集C
探究新知
问题2 我们知道了实数可以用数轴上的点来表示.同学们能否类比推理复数的几何意义？
（1）我们根据复数的一般形式，一个复数由什么唯一确定？
z=a+bi(a, b∈R)
实部
虚部
（2）根据复数相等的定义，任何一个复数z＝a＋bi都可以由一个有序实数对（a,b）唯一确定；反之也对.由此你能想到复数的几何表示方法吗？
由一个有序实数对（a,b）唯一确定
问题1 实数的几何意义是什么？
实数可以用数轴上的点来表示
实数
数轴上的点
(形)
(数)
一一对应
数形结合思想
类比思想
探究新知
复数z＝a＋bi(a,b∈R)
有序实数对(a,b)
平面直角坐标系中的点
一一对应
一一对应
一一对应
复数集可以用平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系，因此可以用点表示复数.
（数）
（形）
复数的几何表示
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
1. 复平面定义
x轴—实轴
y轴—虚轴
Z(a,b)
a
b
Z:a＋bi
实轴
实轴
如：复平面内点（-2，3）
复数
判断：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数.（ ）
-2+3i
原点(0,0)
0
（-2，0）
-2
（0，-5）
-5i
实数
纯虚数

注：实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
探究新知
2. 复数的几何意义（一）
复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a,b)
一一对应
(形)
(数)
A. 对应于实数的点都在实轴上； B. 对应于纯虚数的点都在虚轴上；
C. 实轴上的点对应的复数都是实数； D. 虚轴上的点对应的复数都是纯虚数.
1.在复平面内，下列命题中的假命题是（ ）
练一练
D
2．“a=0”是“复数a+bi (a,b∈R)是纯虚数”的（ ）条件.
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3．“a=0”是“复数a+bi (a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的 ( )条件.
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 不充分不必要
A
C
注意：复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi).
课堂练习
解：点A表示的复数是4+3i；
点B表示的复数是3-3i；
点C表示的复数是-3+2i；
点D表示的复数是-3-3i；
点E表示的复数是5；
点F表示的复数是-2；
点G表示的复数是5i；
点H表示的复数是-5i.
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).
课堂练习
2. 已知在复平面内，描出表示下列复数的点.
(1) 2＋5i；(2) －3＋2i ；(3) 2－4i；(4) －3－i；(5) 5 ；(6) －3i.
A(2,5)
B(-3,2)
C(2,-4)
D(-3,-1)
E(5,0)
F(0,-3)






探究新知
问题3 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
a
b
Z:a＋bi
复数z＝a＋bi(a,b∈R)
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
一一对应
规定: 相等的向量表示同一个复数.
2. 复数的几何意义（二）
平面向量
注意：复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上 与相等的向量有无数个.
方便起见，常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量
探究新知
3. 复数的模
定义：向量 的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.
几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
Z(a,b)
a
b
Z:a＋bi
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
实数绝对值的几何意义
实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离.
x
O
A
a
| a | = | OA |
类比思想
课堂练习
√
×
×
×
例题讲解
(3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
(2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
例1 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i
问题4
(4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0)
(1)复数的模能否比较大小？
这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
x
y
O
5
5
–5
–5
(4)满足2≤|z|≤3(z∈C)的z值有几个？
(3)以原点为圆心，半径为5的圆.
(4)以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.
数形结合思想
例题讲解
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.
(1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小.
Z1(4,3)
Z2(4,－3)
解：(1) 复数z1，z2对应的点和向量如图示.
(2)
3. 共轭复数
定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
表示方法：复数 的共轭复数用 表示，即
虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
探究新知
3. 共轭复数
共轭牛
定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
复数 的共轭复数用 表示，即
虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
探究新知
3. 共轭复数
实部相等，虚部互为相反数
互为共轭复数
问题4 若z1,z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
复数z1=-1-2i，z2=3，z3=5i的共轭复数为？
练一练
互为共轭的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
z＝a＋bi， ＝a-bi.
例题讲解
例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点
（1）位于第二象限，求实数m的取值范围
（2）在直线x-2y+4=0上，求实数m的值
∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）
(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0
（2）
∴ m=1或m=-2
解：
（1）
数形结合思想
转化思想
课堂练习
2.已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
1.设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　) A．1　 　B. C. D．2
B
3.已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
课堂小结
1．什么是复平面？
2．请你说说复数的几何意义？
3．什么是复数的模？又怎样求复数的模？
4．两个什么样的复数叫做互为共轭复数？
一、知识点
z＝a＋bi， ＝a-bi.
二、思想方法
2.类比思想
1.数形结合思想
3.转化思想
布置作业
（1）教材
（2）同步作业
THANKS

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