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(共30张PPT)
正方形的判定
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
正方形的定义
正方形的性质
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究新知，经历过程
提示：剪口线与折痕成 45°角即可。
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
对角线相等
对角线垂直
如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？
判断四边形是正方形有哪些方法？
1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）
2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.
3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD
又∵AC ⊥ BD，
∴△AOB ≌ △AOD（SAS）
∴AB = AD
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
又∵AC = BD ，
∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.
∴∠ABC = 90°.
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求证：四边形 BECF 是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.
∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）.
在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 90°.
∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，
求证：四边形 BECF 是正方形.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线，
①若∠BEF = 30°，则∠A =______.
②若 EF = 8 cm, 则 AC =______.
你还记得三角形的中位线定理吗？
30°
16 cm
一般四边形的中点四边形
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
任意四边形的中点四边形 是平行四边形.
几何画板.GSP
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
原四边形 中点四边形
一般四边形 平行四边形
平行四边形 ？
矩形 ？
菱形 ？
正方形 ？
平行四边形的中点四边形
平行四边形的中点四边形会是什么形状？
平行四边形的中点四边形是平行四边形.
你能试着证明这个结论吗？
（提示：连接AC、BD）
几何画板.GSP
矩形的中点四边形
矩形的中点四边形会是什么形状？
矩形的中点四边形是菱形.
你能试着证明这个结论吗？
几何画板.GSP
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴EF∥AC 且 EF = AC，
同理可证 HG∥AC且HG = AC，
EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是矩形
∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH
∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
菱形的中点四边形
菱形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形.
几何画板.GSP
你能试着证明这个结论吗？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1 = 90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
正方形的中点四边形
正方形的中点四边形会是什么形状？
几何画板.GSP
原四边形 中点四边形
一般四边形 平行四边形
平行四边形 平行四边形
矩形 菱形
菱形 矩形
正方形 ？
先猜一猜，再证明.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形.
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC 且EF = AC，
同理可证 HG∥AC 且 HG = AC，
EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD.
∴四边形 PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD（正方形的对角线相等）
AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°.
∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°.
∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形.
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线
不垂直，
不相等
平行四边形
对角线相等
菱形
对角线垂直
矩形
对角线相等且垂直
正方形
归纳
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形.
【选自教材P25 习题1.8 第2题】
巩固练习，深化提高
证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF,
易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,
即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,
∴四边形 AECF 是菱形．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的
四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是
什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形 EFGH 是正方形.
∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，
易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,
即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH ．
∵∠DGH ＋∠DHG＝90°,
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,
∴四边形 EFGH 是正方形
【选自教材P25 习题1.8 第3题】
3. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O
与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转
的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积
有什么关系？请证明你的结论.
【选自教材P25 习题1.8 第4题】
S重叠部分 = S正方形ABCD
几何画板.GSP
证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F．
∵OC ＝ OB,
∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°,
∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°,
∴ ∠COF ＝ ∠BOE,
则△OFC ≌ △OEB．
∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD .
E
F
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形(共22张PPT)
正方形的性质
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
生活中的正方形
好
好
学
习
天
天
向
上
像矩形
十
年
树
木
百
年
树
人
像菱形
矩形变正方形
一组邻边相等
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几何画板.GSP
菱形变正方形
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几何画板.GSP
一个角是90°
探究新知，经历过程
图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
正方形定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
议一议
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？
（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
相关图形性质的关系
平行四边形的性质
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
菱形的性质
四条边相等
对角线互相垂直
四个角都是直角
对角线相等
矩形的性质
正方形的性质
正方形的性质
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
想一想
正方形有几条对称轴？
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
正方形有 4 条对称轴.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都
相等，四个角都是直角）.
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
（2）延长 BE 交 DF 于点 M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
议一议
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
平行四边形
矩形
菱形
正方形
如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
【选自教材P21 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC,
△FCD与 △FCB,
△FAD 与 △FAB．
【选自教材P21 随堂练习】
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，
连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其
中一对进行证明.
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵正方形 ABCD,
∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
【选自教材P21 随堂练习】
【选自教材P22 习题1.7 第1题】
3. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
【选自教材P22 习题1.7 第2题】
4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形，
求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
【选自教材P22 习题1.7 第3题】
5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四
个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.
证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中,
∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ．
又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°,
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB．
∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条
直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考
虑道路的宽度）.你有几种方法？
【选自教材P22 习题1.7 第4题】
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
正方形的定义
正方形的性质
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.

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