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(共24张PPT)
矩形的性质
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
平行四边形有哪些性质？
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
边
角
对角线
对称性
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
几何画板.GSP
点击播放
不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
探究新知，经历过程
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流.
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
你能用集合表示它们之间的关系吗？
四边形
平行四边形
矩 形
既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
想一想
性质 边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行
且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；
（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
探索活动
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几何画板.GSP
定理
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
定理
你能证明这两个定理吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
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请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
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矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
（1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？
（4）你能借助于矩形加以证明吗？
议一议
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
∴BE = DE = AE = CE,
在Rt△ABC 中，
AC为斜边，BE 为斜边上中线，
∴BE = AC.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180°-120°) = 30°。
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于
点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长.
【选自教材P13 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等），
∴BD = 2AO = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，
∴AD = .
【选自教材P13 习题1.4 第1题】
2. 一个矩形的对角线长为 6 ，对角线与一边的夹角是 45°，
求这个矩形的各边长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = .
【选自教材P13 习题1.4 第2题】
3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长
为 15，求这个矩形较短边的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD = 7.5 .
【选自教材P13 习题1.4 第3题】
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形.
【选自教材P134 习题1.4 第4题】
5. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形.
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质：
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等且平分.
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(共17张PPT)
矩形的性质与判定的综合运用
1
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，已知∠AOD = 120°，AB = 2.5cm，则∠DAO = ______，AC=______cm，
30°
5
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，添加一个条件__________________，可使它成为矩形。
∠ABC = 90°或 AC = BD
探究新知，经历过程
例3 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE. 求 AE 的长.
解∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°（矩形的四个都是直角），
AC = BD（矩形的对角线相等）
AO = CO = AC，BO = DO = BD（矩形的对角线互相平分）.
∴AO = BO = DO = BD.
∵ED = 3BE，∴BE = OE，
又∵AE⊥BD，∴AB = AO. ∴AB = AO = BO，
即 △ABO是等边三角形. ∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE = AD = ×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD = ∠BAC，∠CAN = ∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= （∠BAC +∠CAM）
= ×180°
= 90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论.
四边形 ABDE 是平行四边形，
证明：∵△ABC 是等腰三角形且 AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵ADCE是矩形，∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
想一想
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
（2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
DF∥AB，DF = AB.
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∴DF∥AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
【选自教材P18 随堂练习】
巩固练习，深化提高
证明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点，
∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD ,
∠DMB＝ 90°,∠DNB ＝ 90°,
∠DBM ＝60°,∠DBN ＝30°,
即∠NBM ＝90°, 得证四边形 BMDN 是矩形．
【选自教材P18 习题1.6 第1题】
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面积.
解: ∵∠ACB ＝ 30°, AC＝BD ＝4，
∴AB＝2，BC＝ ．
∴S矩形ABCD ＝AB·BC ＝ ．
【选自教材P19 习题1.6 第2题】
3. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
过点 A 作 BD 的垂线，垂足为 E. 已知∠EAD=3∠BAE，
求∠EAO 的度数.
解:由题意,可得∠EAD ＝ × 90°＝ 67.5°．
∵AE⊥BD ，
∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．
∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,
则∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°．
4. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
【选自教材P19 习题1.6 第3题】
证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四边形 ABDE 是平行四边形,
∴ BD AE, 则 CD AE．
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四边形 ADCE 为矩形．
∥
=
∥
=
5. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，
将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合. 请在图中画出
折痕的长.
【选自教材P19 习题1.6 第4题】
解: 如图,连接 EC．在矩形 ABCD 中,
AB ＝ 6 cm, BC＝ 8 cm,
∴AC ＝ 10 cm, ∴AO＝CO＝ 5 cm．
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE, AE ＝ EC．
由勾股定理,得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2, 得 EC＝ cm．
∴OE ＝ cm,折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm．
6. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD
上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD
的垂线，垂足为 E，F. 求 PE + PF 的值.
【选自教材P19 习题1.6 第5题】
解: 如图, 连接 PO．在矩形 ABCD 中,
AB＝3, AD ＝4,
∴AC＝ BD ＝5, OA ＝OD ＝ ．
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ,
即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ,
∴PE＋PF＝ ．
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？

矩形的定义
矩形判定定理
矩形判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形.
有一个角是直角的平行四边形.
对角线相等的平行四边形是矩形.(共20张PPT)
矩形的判定
一
北师版九年级上册
创设情境，导入新课
有一个角是直角的平行四边形.
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角是直角
性质 边 角 对角线
矩形
矩形的对边平行且相等.
矩形的两条对角线相等且互相平分.
矩形的四个角都是直角.
探究新知，经历过程
探索活动
如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化.
点击播放
（1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：如图，在 □ ABCD 中，AC ，DB 是它的两条对角线，AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
证明：四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = DC，AB∥DC.
又∵BC = CB，AC = DB，
∴△ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
∵AB∥DC，∴∠ABC+ ∠DCB = 180°.
∴∠ABC=∠DCB= 90°.
∴□ABCD 是矩形（矩形的定义）.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
四边形 ABCD 是矩形
□ ABCD
AC = BD
我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流.
想一想
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形吗
已知:如图，在四边形 ABCD, ∠A =∠B=∠C = 90°. 求证: 四边形 ABCD 是矩形.
证明: ∵∠A =∠B =∠C= 90°,
∴∠A+∠B = 180°, ∠B +∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∴四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
∠A =∠B =∠C = 90°
四边形 ABCD 是矩形
1. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？
议一议
用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
2. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？
议一议
拿绳子测量四边形的每一个边长，如果四边长度一样，那么根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形。
3. 如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？
议一议
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形.
再用绳子测量对角线是否相等.
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4.
求 □ ABCD 的面积.
解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴OA = OC,OB = OD.
又∵△ABO 是等边三角形，
∴OA = OB = AB = 4.
∴OA = OB = OC = OD = 4.
∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.
∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2，
∴BC=
∴S□ABCD = AB·BC = 4× = .
已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，
且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材P16 随堂练习】
巩固练习，深化提高
证明：在□ ABCD 中，AB = CD，M 是 AD 边的中点，
∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D.
又∵∠A +∠D = 180°，
∴∠A =∠D = 90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材P16 习题1.5 第1题】
2. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE.
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形．
【选自教材P16 习题1.5 第2题】
3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，
分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.
试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论.
证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线,
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB,
且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ．
∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB,
则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC,
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形．
4. 如图，已知菱形 ABCD ，画一个矩形，使得 A，B，C，
D 四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形
ABCD 面积的 2 倍.
【选自教材P16 习题1.5 第3题】
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
定理
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理

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