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8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题
一、选择题
1.正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为(　　)
A.3a2 B.2a2
C.a2 D.4a2
2.若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　)
A.27 cm3 B.60 cm3
C.64 cm3 D.125 cm3
3.一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为(　　)
A. B.1
C. D.
4.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)
A. B.2
C. D.3
5.如图所示，三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的体积比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶ D.1∶4
6.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
二、填空题
7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________.
8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为________ cm2.
9.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
10.如图所示，已知正四棱锥的侧棱长为4，底面边长为4，则该四棱锥的体积为________.
11.已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，全面积为512 cm2，则上、下底面边长分别为________cm，体积为________cm3.
三、解答题
12.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
13.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
14.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积.
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习题-参考答案
1答案　C
解析　S＝4××a·a＝a2.
2答案　B
解析　V长方体＝3×4×5＝60(cm3).
3答案　B
解析　依题意，正三棱台的高
h＝＝1.
4答案　B
解析　设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.
5答案　D
解析　三棱锥B－A1B1C1与三棱锥A1－ABC的高相等，故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比，而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB之比的平方，即1∶4.
6答案　A
解析　依题设，正三棱锥的侧棱长为a，
∴S侧＝3××＝a2，S底＝a2，
因此三棱锥的表面积S表＝S侧＋S底＝a2.
7答案　
解析　S△DD1E＝DD1×1＝，
又点F到平面DD1E的距离为1，
所以VD1－EDF＝VF－D1DE＝S△DD1E×1＝.
8答案　1 012
解析　易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为＝12，所以正四棱台的表面积S＝4××(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm2).
9答案　
解析　如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面BAD的距离为h.
∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝＝＝.
10答案　
解析　如图连接AC，BD，设AC和BD交于O，则O为点P在平面ABCD内的投影，即PO为四棱锥的高，
在△POC中，PC＝4，OC＝2，
则PO＝＝2，
故V＝Sh＝×16×2＝.
11答案　12，2　688
解析　O，O1分别是上底面和下底面的中心，E，E1分别是棱的中点，FE1⊥O1E1.
设OE＝x cm，则上底面边长为2x cm，
下底面边长为(2x－10)cm，故O1E1＝(x－5)cm，
则FE＝5 cm.
又∵正四棱台的高是12 cm，
∴EE1＝13 cm.
故正四棱台的全面积S＝(2x)2＋(2x－10)2＋4×(2x＋2x－10)×13＝8(x2＋8x－20)＝512(cm2)，
解得x＝6 cm，
所以正四棱台上底面边长为12 cm，下底面边长为2 cm.
V台＝×12×(122＋＋22)＝4×(144＋24＋4)＝688(cm3).
12解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.
∴点A到平面A1BD的距离为a.
13解　如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
14解　因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝ ＝a，
D1F∥EB，
所以四边形EBFD1是菱形.
连接EF，则△EFB≌△EFD1.
易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等，
故VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1.
又因为S△EBA1＝EA1·AB＝a2，
则VF－EBA1＝a3，
所以VA1－EBFD1＝2VA1－EFB＝2VF－EBA1＝a3.

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