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泗阳实高2021-2022学年高二下学期3月第一次月考
数学试卷
一 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量,且，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．如图所示，从甲地到乙地有条公路可走，从乙地到丙地有条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有条水路可走．则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．若、、、为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A．，，共线 B．，共线
C．，共线 D．，，，四点共面
4．北京大兴国际机场是一座跨地域 超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道 西二跑道 东一跑道 北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上4条跑道中不同的2条跑道同时起飞，则不同的安排方法种数为（ ）
A．16 B．12 C．9 D．8
5.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.种 B.种 C.种 D.种
6．已知直线的方向向量为，0，，点，2，在上，则点，，到的距离为　　
A． B．4 C． D．
7．我国已进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为（）
A．30 B．60
C．90 D．120
8．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9．已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种
11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（　 　）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
12．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且，则m＝________.
14．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有______种.
15．如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现提供5种颜色给其中5个小区域，，，，涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种．
16．在三棱锥中，已知，，，则___________
四 解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(10分)某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，求在下列情况下各有多少种不同的报名方法．(用数字回答)
（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；
（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；
18．(12分)如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．
求证：（1）共面；
（2）求证：．
19. （12分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A、B、C三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加.分别求在下列情况下的不同报名方法的种数.
（1）甲、乙报同一项目，丙不报A项目；
（2）甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同.
20．(12分)如图，正三棱柱的棱长都为2，D为的中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点C到平面的距离．
21．(12分)某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法有多少种？
22．(12分)如图，，分别是圆台上、下底面的圆心，是下底面圆的直径，，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值．
数学参考答案
一、单选题
1.C 2.A 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. C
二、多选题
9. BD 10. BD 11. ABD 12. AD
三、填空题
13.
14.36
15.420
16.
四、解答题
17．（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，
由分步乘法计数原理知共有46＝4 096种不同的报名方法．
（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，
第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，
第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，
由分步乘法计数原理得共有6×5×4×3＝360种不同的报名方法．
18．证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，
共面.
（2），
．
19.答案：（1）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，共有种报名方法.
（2）由题意，若B、C项目各有一人，有种报名方法；
若B、C项目各有两人，有种报名方法，
所以甲不报A项目，且B、C项目报名的人数相同的报名方法共有种.
20．【解析】（1）以BC的中点O为原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，
所以，
因为，且，
所以平面；
所以是平面的一个法向量，又，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，
所以；
（2）因为，
则点C到平面的距离为．
21．25种
【解析】由题意知正方形（边长为3个单位）的周长是12个单位，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共6种组合.
其中1，5，6；2，4，6；3，4，5这三种组合每一种有种不同的结果，所以有种；其中3，3，6；5，5，2这两种组合每一种有种不同的结果，所以有种；其中4，4，4，这种组合只有1种结果.
根据分类加法计数原理知,共有种不同的结果，即某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法有25种.
22．（Ⅰ）证明：由题意可得平面，，
为直径，，
，
平面，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
，，，
可得，，，，2，，，0，，，，，
，，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
由，取，得；
由，取，得．
．
由图可知二面角为钝角，
二面角的余弦值为．

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