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11.3正弦余弦定理在三角形中的应用
知识点
（一）. 正弦定理和余弦定理
1．公式
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R. ； ； .
2.三角形常用面积公式:
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2).
3.常用结论：
(1)．在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B;
(2)．三角形中的射影定理
在△ABC中，；；．
(3)．内角和公式的变形
①sin(A＋B)＝sin C；②cos(A＋B)＝-cos C.
(4)．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则＝.
（二）. 利用正、余弦定理解三角形
已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.
在△ABC中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：
一解 一解 两解 无解
② 若A为直角或钝角时：
（三）. 三角形的形状的判定
1.判断三角形形状的
(1). 若或,则△ABC为等腰三角形;
(2). 若,则△ABC为以C为直角的直角三角形；
(3). 若,则△ABC为以C为钝角的钝角三角形；
(4). 若,则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
(5). 若且,则△ABC为等腰直角三角形；
(6). 若,即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
(7). 用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号）
①.在中，,则△ABC为锐角三角形；
②.在中，，则△ABC为直角三角形；
③.在中，，则△ABC为钝角三角形；
2.判断三角形形状的2种思路
(1).化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2).化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用这个结论．
（四）. 解三角形时的常用结论
在中，，
（1）在中
（2）角的变换--互补关系：，，；
（3）角的变换--互余关系：，，
（4）或或.
二、典型例题
类型一：利用正、余弦定理解三角形
【例1】.△ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.
【解答】：解法一 ：由正弦定理
若C=60°，则B=75°，
若C=120°，则B=15°，
解法二：余弦定理
若
若
解法三：正余弦定理
若
因为b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；
若
因为c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.
类型二：用正、余弦定理判断三角形的形状
【例2】.已知△ABC 中，试判断△ABC的形状.
【解答】：方法一：用余弦定理化角为边的关系
由得，
即，
当时，为等腰三角形；
当即时，则为直角三角形；
综上：为等腰或直角三角形.
方法二：用正弦定理化边为角的关系
由正弦定理得：,即，
因为，所以，即,
因为, 所以或，即或
故为等腰三角形或直角三角形.
【总结升华】
（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？
（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断.
（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角.
（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可.一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理.
（5）或，不要丢解.
【变式】
在△ABC中，已知，试判断三角形的形状.
【解答】：因为,所以，
由正弦定理得：,
因为中，, ,所以,即，
所以或,即：或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
类型三：与三角形面积有关的问题
【例3】.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【解答】：(1)由已知条件可得tan A＝－，，所以，
在△ABC中，由余弦定理得，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得，所以，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为，
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
法二：由余弦定理得cos C＝，
在Rt△ACD中，cos C＝，所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.
法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.
【总结升华】
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；
(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；
(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
【变式】
(2021·新高考2)在△ABC中，角、、所对的边长分别为、、，，．
（1）若，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数，使得△ABC为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】：（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，因为，故.
类型四：利用正、余弦定理求边角的范围问题
【例4】.锐角 △ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边.
(1)若求A的大小
(2)取最大值时，求B的大小.
【解答】：（1）因为，所以，
故由余弦定理得，
因为A是锐角三角形的内角，所以,所以.
（2）=
,当且仅当时取等号,
所以.
【总结升华】
对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题.
【变式】
已知在锐角中, 为角A,B,C 所对的边,
(1)求角A的值;
(2)若,则求的取值范围.
【解答】：（1）在锐角中，根据
利用正弦定理可得 ，
即 ，即，
即 所以,所以,
若 则由正弦定理可得，
所以.
由于,
所以,所以.
类型五：正、余弦定理与平面向量的综合
【例5】.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，,，且,求角C的大小.
【解答】：因为，所以,
所以.
又，所以，.
又，所以，
所以,所以.
由正弦定理,得
因为，所以C为锐角，所以.
【总结升华】
利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时，注意数量积定义的应用，其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系，例如与的夹角等于内角A,但与的夹角等于内角A的补角.
【变式】
在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,.
(1). 求
(2). 若 且求c
【解答】：（1）因为所以
又因为，解得.
因为所以C是锐角，
（2）因为所以,所以
又因为，所以，所以，
所以,所以.
类型六：正、余弦定理在几何中的运用
【例6】.如图所示，已知半圆O的直径为2，点A为直径延长线上的一点，OA＝2，点B为半圆上任意一点，
以AB为一边作等边三角形ABC，求B在什么位置时，四边形OACB面积最大.
【解答】：设∠AOB＝α，在△ABO中，由余弦定理，
所以
.
因为，所以当，，即时，四边形OACB的面积最大.
【变式】
如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，，△BCD是正三角形．
(1)将四边形ABCD的面积S表示为的函数；
(2)求S的最大值及此时角的值．
【解答】:(1)△ABD的面积，
由于△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝BD2.
在△ABD中，由余弦定理可知，
于是四边形ABCD的面积，
所以S＝＋sin，.
(2)由S＝＋sin及，得，
当，即时，S取得最大值1＋.
类型八：与正、余弦定理有关的综合题
【例8】.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin C.
【解答】：①由已知得，故由正弦定理得.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为，所以A＝60°.
②由①知，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－.
由于，所以sin(C＋60°)＝，
故 ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
【变式】
（2017四川理）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.
（I）证明：；
（II）若，求.
【解答】:（I）根据正弦定理，可设 ,(K>0),
代入中，变形可得.(*)
在中，由 ,有
所以.
（II）由已知，，根据余弦定理，有
由（*），
所以
故
三、巩固练习
1．（2017新课标Ⅲ文）在中，，BC边上的高等于,则( )
A. B. C. D.
2. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
cos A＝－，则＝(　　)
A．6　 B．5 C．4 D．3
3. 在中,, ，，则等于 ( )
4. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，，则△ABC的面积是(　　)
A. B. C. D.3
5．△ABC中，三边a、b、c与面积S的关系式为，则C=（ ）.
A、 B、 C、 D、
6.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，,则A的取值范围是（ ）.
8. (2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
9. 已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则实数x的取值范围是_______.
10. 已知的周长为，面积为，且，则角C=_______.
11 .中三边分别为a,b,c,若则角A=________．
12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为　　．
13.（2018四川高考文）已知A、B、C为△ABC的内角，、是关于方程x2＋两个实根.
(I). 求C的大小
(II). 若AB＝1，AC＝，求p的值.
14．（2017浙江理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.
（I）证明：A=2B；
（II）若△ABC的面积，求角A的大小.
15.在锐角中，角所对的边分别为，已知
（1）求角A的大小；
（2）求的面积.
16.在如图所示的四边形ABCD中， 记
（1）求用含 的代数式表示DC；
（2）求面积S的最小值
(2019·理1)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
四、答案与解析
【解析】：设边上的高线为，则，所以,
由正弦定理，知，即，解得，故选D.
2.【解答】：因为，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6.故选A.
3. 【解析】：因为, b=1，，所以c=4
由余弦定理有，所以,
由正弦定理有，且，
所以.故选B.
4.【解析】：由题意得，c2＝a2＋b2－2ab＋6，
又由余弦定理可知，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab，所以－2ab＋6＝－ab，即ab＝6．
所以S△ABC＝．故选C．
5.【解析】：因为S△ABC＝ ，所以，
即，所以 ，故,故选B.
6.【解析】：设中间角为，则为所求.故选B.
7.【解析】：由已知得，，即，所以，
因为,所以.故选C.
8.【解答】：因为a＝2c，b＝6，，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得，得c＝2，所以a＝4，
所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×＝6.
或：a2＝b2＋c2，所以，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.
9.【解析】：由题意，得，解得.
10.【解析】：因为，
因为，所以，解得，所以
因为，所以，
所以 ，所以.
11.【解析】：由可得,所以，
由正弦定理得：.又因为a12.【解析】：在△ABC中，因为b－c＝a ①，2sinB＝3sinC，所以2b＝3c ②，
所以由①②可得a＝2c，b＝．
再由余弦定理可得 ，
13.【解析】：(I)因为方程的判别式△＝(p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以p≤－2或p≥，
由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p，于是1－tanAtanB＝1－(1－p)＝p≠0，
从而tan(A＋B)＝，所以tanC＝－tan(A＋B)＝，所以C＝60°.
(II)由正弦定理，得sinB＝.
解得B＝45°或B＝135°(舍去),
于是A＝180°－B－C＝75°
则tanA＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝.
所以p＝－(tanA＋tanB)＝－(2＋＋1)＝－1－.
14.【解析】：（1）由正弦定理可得,
故,
所以,
又 ，故 ，所以或B=A-B ,
因此（舍去） 或A=2B,
所以A=2B.
（II）由得，故有，
因，得．
又，所以．
当时，；
当时，．
综上，或．
15.【解析】：（1）在中，由正弦定理，得 即
又因为, 解得，
因为为锐角三角形，所以.
（2）在中，由余弦定理， 得，即，
解得c=1 或c=2，
当c=1时，因为,
所以角B为钝角，不符合题意，舍去；
当c=2时，因为，且b>c,b>a,
所以为锐角三角形，符合题意.
所以的面积.
16.【解答】：（1）在中，，
由正弦定理可得 ，即 ，
于是：
（2）在中，由正弦定理得 即
由（1）知：
所以 = =
故，S取得最小值为.
17.【详解】：（1）
即：
由正弦定理可得：
所以
因为 ，所以.
（2）因为，由正弦定理得：
又，
所以
因为 ，所以，
解得：或
因为所以，故.
（2）法二：因为，由正弦定理得：
又，
所以，
整理可得：，即
所以，
由，所以
.
15

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