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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第16节 几何图形初步
【考试要求】
1.了解线段、射线、直线、角的概念及表示方法，会进行线段和角的度量与计算；
2.掌握余角、补角、对顶角等角的概念及性质，能在几何图形中确定角之间的数量关系；
3.理解两直线相交于平行的概念，掌握平行线的判定与性质，掌握两直线垂直的概念与性质.
【考情预测】
该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为6-8分左右，预计2022年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。.
【考点梳理】
1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线．
线段有以下的基本事实：两点之间线段最短．
连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
3．由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的顶点．角也
可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ．
4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余．同角或等角的
余角相等．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补．同角或等角的补角相等．
5．两条直线相交，只有一个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对
角叫做对顶角．对顶角相等．
6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
9．平行线的判定及性质：
(1)判定：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
②同位角相等，两直线平行．③内错角相等，两直线平行．④同旁内角互补，两直线平行．
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)性质：①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③两直线平行，同旁内角互补．
【重难点突破】
考向1. 线段、射线、直线的概念、度量及计算
【典例精析】
【例】（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【详解】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
【变式训练】
变式1-1．（2021 瓯海区一模）已知线段AB＝6cm，P是线段AB的中点，C是直线AB上一点，且AC＝AB，则CP＝　1或5　cm
【思路点拨】此题分两种情况：①若点C是线段AB上一点，②若点C是线段BA延长线上一点，然后根据中点定义可得AP＝AB，再根据AC＝AB结合图形进行计算即可．
【答案】解：∵AB＝6cm，P是线段AB的中点，AC＝AB，
∴AP＝AB＝3cm，AC＝AB＝2cm，
①若点C是线段AB上一点，如图1，CP＝AP﹣AC＝3﹣2＝1（cm）；
②若点C是线段BA延长线上一点，如图2，CP＝AP+AC＝3+2＝5（cm）．故答案为：1或5．
【点睛】此题主要考查两点之间的距离，关键是正确画出图形，分类讨论．
变式1-2．（2021 厦门期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是（　　）
A．CD＝DB B．BD＝AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC
【思路点拨】根据线段中点的定义，结合图形判断即可．
【答案】解：如图，∵CD＝DB，∴点D是线段BC的中点，A不合题意；
∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，又∵BD＝AD，∴点D是线段BC的中点，B不合题意；
∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，2AD＝3BC，∴2（BC+CD）＝3BC，∴BC＝2CD，
∴点D是线段BC的中点，C不合题意；3AD＝4BC，不能确定点D是线段BC的中点，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
变式1-3．（2021 来宾期末）下列说法错误的是（　　）
A．图①中直线l经过点A B．图②中直线a、b相交于点A
C．图③中点C在线段AB上 D．图④中射线CD与线段AB有公共点
【思路点拨】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案．
【答案】解：A、图①中直线l经过点A，正确；B、图②中直线a、b相交于点A，正确；
C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误；D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了直线、射线、线段，用到的知识点是点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等，是一道基础题．
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
【详解】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．
2．（2021 乐清市模拟）如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是（　　）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．A′B′≤AB
【思路点拨】根据比较线段的长短进行解答即可．
【答案】解：由图可知，A'B'＞AB，故选：A．
【点睛】本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短．
3．（2021 杭州）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　　）
A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN
【思路点拨】根据垂线段最短解答即可．
【答案】解：因为线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，所以AM≤AN，故选：D．
【点睛】此题考查垂线段问题，关键是根据垂线段最短解答．
4．（2021·内蒙古中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,∴AD=AC=1
如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,∴AD=AC=3故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
5．（2021·河北中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直线的特征，经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断．
【详解】解:设线段m与挡板的交点为A，a、b、c、d与挡板的交点分别为B，C，D，E，
连结AB、AC、AD、AE，根据直线的特征经过两点有且只有一条直线，
利用直尺可确定线段a与m在同一直线上，故选择A．
【点睛】本题考查直线的特征，掌握直线的特征是解题关键．
6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
7．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断．
【详解】解：①当点A在B、C两点之间，则满足，即，
解得：，符合题意，故选项A正确；
②点B在A、C两点之间，则满足，即，
解得：，不符合题意，故选项B错误；
③点C在A、B两点之间，则满足，即，
解得：a无解，不符合题意，故选项C错误；故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题主要考查线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键．
考向2. 角的概念、度量及计算
【典例精析】
【例】（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】若两个角的和为 则这个角互为余角，若两个角的和为 则这两个角互为补角，由余角与补角的含义，直接可得答案．
【详解】解： 一个角的余角是60°， 这个角是
这个角的补角是 故选：
【点睛】本题考查的是余角与补角的含义，掌握利用余角与补角的含义是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021 乐陵市一模）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．50° C．70° D．30°
【思路点拨】根据图形得出∠1+∠2＝90°，然后根据∠1的度数比∠2的度数大50°列出方程求解即可．
【答案】解：由图可知∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，所以∠2＝90°﹣∠1，
又因为∠1﹣∠2＝∠1﹣（90°﹣∠1）＝50°，解得∠1＝70°．故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，准确识图，用∠1表示出∠2，然后列出方程是解题的关键．
变式2-2. （2021·河北·三模）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中α和β互为补角的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据图形和补角定义，只需满足α+β=180°即可．
【详解】解：A、∠α与∠β相等，不互补，故本选项不合题意；
B、∠α与∠β互余，故本选项不合题意；C、∠α与∠β相等，不互补，故本选项不合题意；
D、∠α和∠β互补，故本选项符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了对余角和补角的应用、三角板中角度的计算问题，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
变式2-3. （2021·湖南中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】解：设，是的平分线，，
平分，，
又，，解得，即，
由对顶角相等得：，故答案为：60．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
【考点巩固训练】
1.（2021·陕西城固·二模）如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为（ ）
A．155° B．140° C．130° D．135°
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质和邻补角的性质计算即可；
【详解】∵，∴，
又∵射线平分，∴，
∴．故答案选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和邻补角的定义，准确计算是解题的关键．
2．（2021 嘉兴一模）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于　 　度．
【思路点拨】根据两个角的和为90°，则这两个角互余解答．
【答案】解：∠α的余角＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．
【点睛】本题考查的是余角和补角，两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
3．（2021 旅顺口区校级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
【思路点拨】先把∠C的度数化成度、分、秒，再比较即可，也可把∠A和∠B的度数化成度，再进行比较．
【答案】解：∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′，
∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C．故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，主要考查学生能否正确进行度分秒之间的换算．
4．（2020·广西河池市·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【详解】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
5．（2021 奉化区期末）已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝a，则∠DOE＝　　（用含a的代数式表示）
【思路点拨】（1）根据∠AOC＝40°，∠COD是直角，OE平分∠BOC，即可求∠DOE的度数；
（2）根据∠AOC＝a，结合（1）即可求得∠DOE．
【答案】解：（1）∵∠AOC＝40°∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°
∵OE平分∠BOC∴
∵∠COD＝90°∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．
（2）∵∠AOC＝α∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α
∵OE平分∠BOC∴∠COE＝BOC＝（180﹣α）＝90°﹣
∵∠COD＝90°∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90﹣）＝．故答案为．
【点睛】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
考向3. 两直线相交及其性质
【典例精析】
【例】（2021·北京中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，∴，，
∵，∴，∴；故选A．
【点睛】本题考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
【变式训练】
变式3-1. （2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得夹角α的度数．
【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，∴CD//EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，
∵∠AGCAGB60°＝30°，∴α＝30°．故选：B．
【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
变式3-2.（2021 拱墅区期末）如图，直线AD、BE相交于点O，CO⊥AD于点O，OF平分∠BOC，若∠AOB＝32°，则∠AOF的度数为（　　）
A．29° B．30° C．31° D．32°
【思路点拨】根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，求得∠BOC＝90°+32°＝122°，根据角平分线的定义即可得到结论．
【答案】解：∵CO⊥AD，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB＝32°，∴∠BOC＝90°+32°＝122°，
∵OF平分∠BOC，∴∠BOF＝∠BOC＝61°，∴∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝29°，故选：A．
【点睛】本题考查了垂线，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式3-3. （2021 长兴县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠AOE的度数．
【思路点拨】（1）根据∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE直接解答即可；（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【答案】解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣36°﹣90°＝54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝40°，
∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝40°，
∵∠COE＝90°，∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝90°+40°＝130°．
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O．OE⊥AB，∠DOB＝60°，则∠EOC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义得∠AOC的度数，然后由垂直的概念及角的和差可得答案．
【详解】解：∵∠DOB＝60°，∴∠AOC＝60°，
∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴∠EOC＝∠AOE+∠AOC＝60°+90°＝150°．故选：D．
本题考查了垂直的定义和对顶角的性质，熟练掌握概念是解题的关键．
2．（2021·陕西莲湖·二模）如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1与∠2互余，∴，∴°，
∵，∴°，∴．
故选：A
【点睛】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（2021·河南开封·一模）如图，直线相交于点于点平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．与互为补角 D．的余角等于
【答案】D
【分析】根据垂线的性质，角平分线的定义及对顶角、邻补角的性质，逐一判断．
【详解】A、∵AB、CD相交于O点，∴正确，符合题意；
B、∵OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∴正确，符合题意；
C、∵OD过直线AB上一点O，∴与互为补角，正确，符合题意；
D、的余角等于，原说法错误，不合题意，故选：D．
【点睛】本题考查对顶角的性质及邻补角的定义，角平分线的定义，垂线的性质．是需要熟记的内容．
4．（2021 锦江区校级月考）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝45°，求∠COE的度数．
【思路点拨】根据垂直定义求出∠AOE，根据对顶角求出∠AOC，相加即可．
【答案】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝90°+45°＝135°．
【点睛】本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．
考向4. 平行线的判定与性质
【典例精析】
【例】（2021 金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】先证l1∥l2，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：已知∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行，得l1∥l2，
再根据两直线平行，同位角相等，得∠3＝∠4．故选：C．
【变式训练】
变式4-1. （2021 丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是　　．
【分析】如图2中，过点E作EI⊥FK于I，过点M作MJ⊥FK于J．想办法求出BM，MJ，FK与CD之间的距离，可得结论．
【详解】解：如图2中，过点E作EI⊥FK于I，过点M作MJ⊥FK于J．
由题意，△ABM，△EFK都是等腰直角三角形，AB＝BM＝2，EK＝EF＝2，FK＝4，FK与CD之间的距离为1，∵EI⊥FK，∴KI＝IF，∴EIFK＝2，∵MJ∥EI，∴，∴MJ，
∵AB∥CD，∴AB与CD之间的距离＝21，故答案为：
变式4-2. （2020 杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　．
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．
变式4-3. （2020 金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：由题意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b（垂直于同一条直线的两条直线平行），故选：B．
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（　　）
A．40° B．43° C．45° D．47°
【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质和三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：如图，∵∠1＝47°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝92°，
∵矩形对边平行，∴∠5＝∠3＝92°，∵∠6＝45°，∴∠2＝180°﹣45°﹣92°＝43°．故选：B．
2．（2021 江干区校级模拟）如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（　　）
A．25° B．35° C．40° D．60°
【思路点拨】由DE∥BC，推出∠EDB＝∠1＝110°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，求出∠A即可．
【答案】解：∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠1＝110°，
∵∠EDB＝∠A+∠AED，∴110°＝∠A+70°，∴∠A＝40°，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2021 东阳市模拟）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．108° D．110°
【思路点拨】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝50°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝100°．
【答案】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1＝∠3＝50°，
又∵∠4＝30°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
4．（2021 慈溪市模拟）如图，一个含有30°角的直角三角形的30°角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝117°，则∠2的度数为（　　）
A．27° B．37° C．53° D．63°
【思路点拨】利用矩形的性质，直角三角形的性质即可解决问题．
【答案】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠BEF＝117°，
∵∠FEG＝90°，∴∠2＝117°﹣90°＝27°，故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021 鄞州区期末）如图，AD⊥BE，BC⊥BE，∠A＝∠C，点C，D，E在同一条直线上．
（1）请说明AB与CD平行．（2）若∠ABC＝120°，求∠E的度数．
【思路点拨】（1）先根据AD⊥BE，BC⊥BE得出AD∥BC，故可得出∠ADE＝∠C，再由∠A＝∠C得出∠ADE＝∠A，故可得出结论；（2）由AB∥CD得出∠C的度数，再由直角三角形的性质可得出结论．
【答案】解：（1）∵AD⊥BE，BC⊥BE，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠C．
∵∠A＝∠C，∴∠ADE＝∠A，∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠C＝180°﹣120°＝60°，∴∠BEC＝90°﹣60°＝30°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出AD∥BC是解答此题的关键．
6．（2021 西湖区校级月考）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1与∠2互余．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠2＝25°，求∠CFB的度数．
【思路点拨】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定解答即可；（2）根据平行线的性质解答即可．
【答案】解：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∵∠1与∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠BDC＝180°，∴AB∥CD；
（2）∵∠2＝25°，∠1+∠2＝90°，∴∠1＝65°，
∵∠ABD的角平分线是BF，∴∠ABF＝65°，
∵AB∥CD，∴∠CFB＝180°﹣∠ABF＝180°﹣65°＝115°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．（2021 嵊州市期末）如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．
（1）DF与AC平行吗？请说明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．
【思路点拨】（1）根据平行线的性质得出∠2＝∠EDF，求出∠1+∠EDF＝180°，再根据平行线的判定得出即可；（2）根据平行线的性质求出∠EDF，根据角平分线定义求出∠FDB，再根据平行线的性质得出即可．
【答案】解：（1）DF∥AC
理由：∵DE∥AB，∴∠2＝∠EDF，
∵∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠EDF＝180°，∴DF∥AC；
（2）∵∠1＝100°，DF∥AC，∴∠EDF＝70°，
∵DF平分∠BDE，∴∠BDF＝∠EDF＝70°，
又∵DF∥AC，∴∠C＝∠BDF＝70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第16节 几何图形初步
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·浙江南浔·二模）已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接将180°减去∠α即可．
【详解】解：∵∠α=，∴∠α的补角为，故选A．
【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．
2．（2021·河北唐山·一模）如图，己知，直线，，，为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点到的距离是线段 B．点到点的距离是线段
C．、、三点共线 D．、、三点不一定共线
【答案】C
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A. 点A到的距离是线段的长度，故该选项错误；
B. 点到点A的距离是线段的长度，故该选项错误；
C. ∵，，∴A、、三点共线，故该选项正确；
D. A、、三点共线，故该选项错误，故选：C．
【点睛】本题主要考查三点共线和点到直线的距离，点与点的距离，掌握距离的定义是关键．
3．（2021 德州期末）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】根据题意，画出图形，观察图形，一一分析选项，排除错误答案．
【答案】
解：如图，若B是线段AC的中点，则AB＝AC，AB＝BC，AC＝2AB，
而AB+BC＝AC，B可是线段AC上的任意一点，
∴表示B是线段AC的中点的有①②③3个．故选：C．
【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
4．（2021·湖南娄星·模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小 B．减小 C．减小 D．不变
【答案】C
【分析】要知道入射角和反射角的概念：入射光线与法线的夹角，反射角是反射光线与法线的夹角，在光反射时，反射角等于入射角．
【详解】解：入射光线与平面镜的夹角是，所以入射角为．
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为，所以入射光线与反射光线的夹角是．
入射角减小，变为，所以反射角也变为，此时入射光线与法线的夹角为．
则反射光线与入射光线间的夹角和原来比较将减小．故选：C．
【点睛】本题考查了有关角的计算，首先要熟记光的反射定律的内容，搞清反射角与入射角的关系，特别要掌握反射角与入射角的概念，它们都是反射光线和入射光线与法线的夹角．
5．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【分析】根据同旁内角的概念求解即可．
【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角，∠1与∠2是内错角，∠4与∠2是同位角，故选：B．
【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键．
6．（2021·山东招远·一模）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义求出∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可．
【详解】∵平分，∴∠COD=∠BOD=∠BOC=28°
当射线OA在直线CE的左上方时，如左图所示
∵和互余∴AO⊥OD，即∠AOD=90°∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°
当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示
∵和互余∴∠COD+∠AOC=90°∴∠AOC=90°-28°=62°
∴∠AOB=∠BOC-∠AOC=62°-56°=6°故选：D．
【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义、互余，涉及分类讨论，关键是掌握互余的含义．
7．（2021·辽宁朝阳·中考真题）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【分析】由平角等于180°结合三角板各角的度数，可求出∠2的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠1的度数．
【详解】解：∵∠2＋60°＋45°＝180°，∴∠2＝75°．
∵直尺的上下两边平行，∴∠1＝∠2＝75°．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
8．（2021·四川达州市·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点B作，过点C作，与相交于点E；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案．
【详解】如下图，过点B作，过点C作，与相交于点E
∵， ∴
∴ ∵与平行∴
∵，∴
∴故选：B．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．
9．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取的交点为点，过点作平行于的线，利用两直线平行的性质，找到角之间的关系，通过等量代换即可求解．
【详解】解：取的交点为点，过点作平行于的线，如下图：
根据题意：， ，，
，，，
相交于点，，，故选：C．
【点睛】本题考查了两直线平行的性质和两直线相交对顶角相等，解题的关键是：添加辅助线，利用两直线平行的性质和对顶角相等，同过等量代换即可得解．
10．（2021·贵州铜仁市·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质依次判断．
【详解】解：∵，∴，故A选项正确；
∵，∴,∵,
∴,故B选项正确；，故C选项正确；
∵，∴EF=BE，故D选项错误，故选：D．
【点睛】此题考查平行线的判定定理、三角形的外角定理以及等腰三角形的等角对等边的性质，熟记各定理是解题的关键．
二、填空题
11．（2021·吉林乾安·一模）如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________．
【答案】两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线)
【分析】分别分析木条a、b，各得出一个数学知识.
【详解】用一根钉子钉木条时，木条会转动，是因为：过一点有无数条直线
用两根钉子钉木条时，木条被固定不动，是因为：过两点有且只有一条直线
故答案为：两点确定一条直线(过所点有且只有一条直线或过一点不能确定一条直线)
【点睛】本题主要考查直线的概念，注意要分析a、b两根木条，故答案要写2句话.
12．（2021·上海中考真题）的余角是__________．
【答案】
【分析】根据余角的定义即可求解．
【详解】的余角是90°-=故答案为：．
【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
13．（2021·云南·一模）如图，∠AOB=90°，OD，OE分别是∠BOC和∠AOC的平分线，若∠BOE=30°，则∠DOE的度数为________．
【答案】45°
【详解】先求出∠AOE=60°，再求出∠COE=∠AOE=60°，然后由OD平分∠BOC，得出∠BOD= ∠BOC=15°，即可求出∠DOE=∠BOD+∠BOE=45°．故答案为45°．
14．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
【详解】解：一副三角板如图摆放，∴，
∴（内错角相等，两直线平行），故答案为：；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
15．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
【答案】20
【分析】根据同位角相等两直线平行，得出当∠EHD＝∠EGN=80°，MN//CD，再得出旋转角∠BGN的度数即可得出答案．
【详解】解：过点G作MN，使∠EHD＝∠EGN=80°，∴MN//CD，
∵∠EGB＝100°，∴∠BGN=∠EGB-∠EGN=100°-80°=20°，∴至少要旋转20°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，以及图形的旋转，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
16．（2021 金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　 　．
【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A 的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．
【详解】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝DH＝a,∴OH＝4a,
∵点A的横坐标为1，∴4a＝1,∴a,
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a,∴PQPF,
∵FK⊥PQ,∴PK＝KQ,∴FK＝PK＝QK,
∵KJ，PT＝1+(),
∴FJ,KT＝PT﹣PK,
∴F(,)．故答案为：(,)．
17．（2021·广西玉林市·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
【答案】北偏东50°（或东偏北40°）
【分析】由题意易得海里，PB=16海里，，则有，所以∠APB=90°，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：海里，PB=1×16=16海里，，海里，
∴，∴∠APB=90°，∴，
∴乙船沿北偏东50°（或东偏北40°）方向航行；故答案为北偏东50°（或东偏北40°）．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键．
18．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，，则_____________度．
【答案】30
【分析】本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC，继而根据邻补角定义求解∠CDE，最后根据外角定义求解∠BCD．
【详解】令BC与EF相交于G点，如下图所示：∵，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC，∴∠BCD=75°-45°=30°，故答案：30．
【点睛】本题考查直线平行的性质，外角以及邻补角定义，难度一般，掌握一些技巧有利于解题效率，例如见平行推角等．
三、解答题
19．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
【答案】25°
【分析】使用平行线的性质得到，再根据得到结果．
【详解】解：∵∴
∵∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，及角度间的加减计算，熟知平行线的性质是解题的关键．
20．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】证明：∵，∴．
∵，∴．∴．∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
21．（2021·湖北东西湖·二模）如图，已知，平分，平分，交于点， 求证．
【答案】详见解析
【分析】由平行线的性质证明，再证明，得到，从而可得答案．
【详解】证明：∵∴
∵平分，平分∴，
∴∴ ∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平行线的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2021·浙江婺城·二模）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，过点B作AB的垂线．（2）在图2中，过点C作AB的垂线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）直接利用网格作出所求垂线即可；
（2）结合（1）的作图，再利用平行线分线段成比例定理作图即可．
【详解】解：（1）BD即为所求；
（2）CE即为所求．
【点睛】本题主要考查了过点作直线的垂线，灵活运用网格进行分析是解答本题的关键．
23．（2021·河北迁安·二模）下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ＝ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ，
∴PQl（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）PO，AO，∠QPO，∠BAO，内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据作图的步骤，直接作图，即可；
（2）先证明△POQ≌△AOB，从而得∠QPO＝∠BAO ，进入即可得到PQ∥l．
【详解】（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，∴△POQ≌△AOB， ∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【点睛】本题主要考查尺规作图，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据作图步骤，作出图形，是解题的关键．
24．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
【答案】见解析
【分析】先证明BE＝DF，然后证明Rt△AEB≌Rt△CFD得到∠B＝∠D，则AB∥CD．
【详解】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，∴BF+EF＝DE+EF，∴BE＝DF．
在Rt△AEB和Rt△CFD中，，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠D，∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握直角三角形全等的性质与判定条件．
25．（2021·湖北江岸·模拟预测）如图，D、B分别为AE、FC上的点，∠1＝∠2，∠A＝∠C．
求证：∠E＝∠F．
【答案】见解析
【分析】由∠1=∠2，可得AB∥DC，再根据平行线的性质及∠A=∠C，可以得到AE∥FC，从而可得∠E=∠F．
【详解】证明：∵∠1＝∠2 ， ∴DC//AB，∴∠C＝∠ABF，
又∵∠C＝∠A，∴∠ABF＝∠A ，∴AE∥FC ，∴∠E＝∠F．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
26．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．
【答案】（1）点在直线上，见解析；（2）18
【分析】（1）根据，，得到，可得线段逆时针旋转落在直线上，即可得解；
（2）作于，得出，再根据平行线的性质得到，再根据直角三角形的性质计算即可；
【详解】解：（1）结论：点在直线上；
∵，，∴，∴，即．
∴线段逆时针旋转落在直线上，即点在直线上．
（2）作于，∵，，∴，
∵，∴，∵，，∴，，
∴，即以、为邻边的正方形面积．
【点睛】本题主要考查了旋转综合题，结合平行线的性质计算是解题的关键．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第16节 几何图形初步
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·浙江南浔·二模）已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2021·河北唐山·一模）如图，己知，直线，，，为垂足，下列说法正确的是（ ）
A．点到的距离是线段 B．点到点的距离是线段
C．、、三点共线 D．、、三点不一定共线
3．（2021 德州期末）如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝2AB，④AB+BC＝AC，能表示B是线段AC的中点的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021·湖南娄星·模拟预测）入射光线和平面镜的夹角为，转动平面镜，使入射角减小，反射光线与入射光线的夹角和原来相比较将（ ）
A．减小 B．减小 C．减小 D．不变
5．（2021·广西贺州市·中考真题）如图，下列两个角是同旁内角的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
6．（2021·山东招远·一模）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2021·辽宁朝阳·中考真题）将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
8．（2021·四川达州市·中考真题）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，，点在边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·贵州铜仁市·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·吉林乾安·一模）如图，是两根木条，用两根钉子钉在墙上，其中木条可以绕点转动，木条被固定不动．这一生活现象用你学过的数学知识解释为___________________．
12．（2021·上海中考真题）的余角是__________．
13．（2021·云南·一模）如图，∠AOB=90°，OD，OE分别是∠BOC和∠AOC的平分线，若∠BOE=30°，则∠DOE的度数为________．
14．（2021·甘肃兰州·中考真题）将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______．
15．（2021·江苏泰州市·中考真题）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 ___°．
16．（2021 金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　 　．
17．（2021·广西玉林市·中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．
18．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，，则_____________度．
三、解答题
19．（2020·湖北宜昌市·中考真题）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，求的度数．
20．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
21．（2021·湖北东西湖·二模）如图，已知，平分，平分，交于点， 求证．
22．（2021·浙江婺城·二模）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图1中，过点B作AB的垂线．（2）在图2中，过点C作AB的垂线．
23．（2021·河北迁安·二模）下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ＝ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ＝ ，
∴PQl（ ）（填推理的依据）．
24．（2021·云南·昆明市第三中学模拟预测）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．
25．（2021·湖北江岸·模拟预测）如图，D、B分别为AE、FC上的点，∠1＝∠2，∠A＝∠C．
求证：∠E＝∠F．
26．（2021·四川绵阳·中考真题）如图，点是的边上的动点，，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）如图1，作，垂足在线段上，当时，判断点是否在直线上，并说明理由；（2）如图2，若，，求以、为邻边的正方形的面积．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第16节 几何图形初步
【考试要求】
1.了解线段、射线、直线、角的概念及表示方法，会进行线段和角的度量与计算；
2.掌握余角、补角、对顶角等角的概念及性质，能在几何图形中确定角之间的数量关系；
3.理解两直线相交于平行的概念，掌握平行线的判定与性质，掌握两直线垂直的概念与性质.
【考情预测】
该版块内容是初中几何的基础，是非常基础也是非常重要的，年年都会考查，分值为6-8分左右，预计2022年各地中考还将出现，大部分地区在选填题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。.
【考点梳理】
1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分．
2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线．
线段有以下的基本事实：两点之间线段最短．
连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
3．由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的顶点．角也
可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ．
4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余．同角或等角的
余角相等．
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补．同角或等角的补角相等．
5．两条直线相交，只有一个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对
角叫做对顶角．对顶角相等．
6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中
的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．
8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
9．平行线的判定及性质：
(1)判定：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
②同位角相等，两直线平行．③内错角相等，两直线平行．④同旁内角互补，两直线平行．
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(2)性质：①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③两直线平行，同旁内角互补．
【重难点突破】
考向1. 线段、射线、直线的概念、度量及计算
【典例精析】
【例】（2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【变式训练】
变式1-1．（2021 瓯海区一模）已知线段AB＝6cm，P是线段AB的中点，C是直线AB上一点，且AC＝AB，则CP＝　 　cm
变式1-2．（2021 厦门期末）已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC上一点，下列条件不能确定点D是线段BC的中点的是（　　）
A．CD＝DB B．BD＝AD C．2AD＝3BC D．3AD＝4BC
变式1-3．（2021 来宾期末）下列说法错误的是（　　）
A．图①中直线l经过点A B．图②中直线a、b相交于点A
C．图③中点C在线段AB上 D．图④中射线CD与线段AB有公共点
【考点巩固训练】
1．（2021 杭州）如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（　　）
A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ
2．（2021 乐清市模拟）如图，用圆规比较两条线段A′B′和AB的长短，其中正确的是（　　）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．A′B′≤AB
3．（2021 杭州）若线段AM，AN分别是△ABC的BC边上的高线和中线，则（　　）
A．AM＞AN B．AM≥AN C．AM＜AN D．AM≤AN
4．（2021·内蒙古中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
5．（2021·河北中考真题）如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
7．（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
考向2. 角的概念、度量及计算
【典例精析】
【例】（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）一个角的余角是60°，则这个角的补角等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【变式训练】
变式2-1. （2021 乐陵市一模）一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1比∠2大50°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．50° C．70° D．30°
变式2-2. （2021·河北·三模）如图，将一副三角板按不同位置摆放，其中α和β互为补角的是（　　）
A．B．C．D．
变式2-3. （2021·湖南中考真题）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【考点巩固训练】
1.（2021·陕西城固·二模）如图，直线相交于点，射线平分，若，则的度数为（ ）
A．155° B．140° C．130° D．135°
2．（2021 嘉兴一模）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于　 　度．
3．（2021 旅顺口区校级期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　）
A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C
4．（2020·广西河池市·中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
5．（2021 奉化区期末）已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝a，则∠DOE＝　　（用含a的代数式表示）
考向3. 两直线相交及其性质
【典例精析】
【例】（2021·北京中考真题）如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式3-1. （2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
变式3-2.（2021 拱墅区期末）如图，直线AD、BE相交于点O，CO⊥AD于点O，OF平分∠BOC，若∠AOB＝32°，则∠AOF的度数为（　　）
A．29° B．30° C．31° D．32°
变式3-3. （2021 长兴县期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE＝90°．
（1）若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠AOE的度数．
【考点巩固训练】
1．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，直线AB、CD相交于点O．OE⊥AB，∠DOB＝60°，则∠EOC的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．（2021·陕西莲湖·二模）如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南开封·一模）如图，直线相交于点于点平分，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．与互为补角 D．的余角等于
4．（2021 锦江区校级月考）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，已知∠BOD＝45°，求∠COE的度数．
考向4. 平行线的判定与性质
【典例精析】
【例】（2021 金华）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）
如图，已知直线l1，l2，l3，l4．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4．请完成下面的说理过程．解：已知∠1＝∠2，根据（内错角相等，两直线平行），得l1∥l2．再根据（※），得∠3＝∠4．
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
【变式训练】
变式4-1. （2021 丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是　　．
变式4-2. （2020 杭州）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　．
变式4-3. （2020 金华）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是（　　）
A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【考点巩固训练】
1．（2021 台州）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（　　）
A．40° B．43° C．45° D．47°
2．（2021 江干区校级模拟）如图，BC∥DE，∠1＝110°，∠AED＝70°，则∠A的大小是（　　）
A．25° B．35° C．40° D．60°
3．（2021 东阳市模拟）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．90° B．100° C．108° D．110°
4．（2021 慈溪市模拟）如图，一个含有30°角的直角三角形的30°角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若∠1＝117°，则∠2的度数为（　　）
A．27° B．37° C．53° D．63°
5．（2021 鄞州区期末）如图，AD⊥BE，BC⊥BE，∠A＝∠C，点C，D，E在同一条直线上．
（1）请说明AB与CD平行．（2）若∠ABC＝120°，求∠E的度数．
6．（2021 西湖区校级月考）如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1与∠2互余．（1）试说明：AB∥CD；（2）若∠2＝25°，求∠CFB的度数．
7．（2021 嵊州市期末）如图，D、E、F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°．
（1）DF与AC平行吗？请说明理由．（2）若∠1＝110°，DF平分∠BDE，求∠C的度数．
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