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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第17节 三角形的有关概念
【考试要求】
1.了解三角形的有关概念，理解三角形的三边关系，理解三角形内角和等于180°及外角和的性质；
2.理解三角形是最简单的几何图形，能在复杂的几何图形中找到三角形，并应用三角形的边角关系解决问题.
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为8 分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。
【考点梳理】
1．三角形的边角关系：
(1)边与边：三角形任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边．
(2)角与角：三角形三个内角的和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的分类：
(1)按边的大小分：
(2)按角的大小分：
3．三角形中的特殊线段：
名称 定义
角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段
高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
中位线 连结三角形两边的中点的线段
【重难点突破】
考向1. 三角形三边关系
【典例精析】
【例】（2020 绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【详解】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．故选：B．
【变式训练】
变式1-1．（2021 鄞州区一模）三角形的两边长分别是4，7，则第三边长不可能是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．12
【思路点拨】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【答案】解：根据三角形的三边关系：7﹣4＜x＜7+4，解得：3＜x＜11，
故第三边长不可能是：12，故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
变式1-2．（2021 金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
【思路点拨】根据三角形三边关系定理判断即可．
【答案】解：∵5+6＜12，∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
变式1-3．（2019 台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【分析】根据三角形的三边关系即可求
【详解】解：A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形故选：B．
【考点巩固训练】
1．（2019 金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【详解】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有3，故选：C．
2．（2021 泰顺县模拟）现有2根长分别为1米、4米的钢管，若再选一根钢管首尾顺次连接，焊成一个三角形的固定架（接头不计），则下列符合条件的钢管长为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【思路点拨】首先利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围，然后从中确定第三边的长即可．
【答案】解：∵有2根长分别为1米、4米的钢管，
∴根据三角形的三边关系得：3＜第三边＜5，∴4米符合，故选：C．
【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边之间的关系，难度不大．
3．（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．
【答案】4
【分析】用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4＋1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，∴a为4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．
4．（2021·湖南娄底市·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，，解得：，
，故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
5．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
【答案】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到，再根据三角形的三边关系得到，求解不等式组即可．
【详解】解：∵3，在数轴上从左到右依次排列，∴，解得，
∵这三个数为边长能构成三角形，∴，解得，
综上所述，的取值范围为，故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
6．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解．
【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键．
考向2. 三角形的内角与外角
【典例精析】
【例】（2021 绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是　 　．
【分析】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【详解】解：如右图所示，当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，∴∠CAP1＝∠CP1A55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，∴∠CAP2＝∠CP1A35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2﹣∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，故答案为：15°或75°．
【变式训练】
变式2-1. （2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】解：∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．故选：D．
变式2-2. （2021 杭州模拟）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．
变式2-3. （2021 绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【思路点拨】根据对顶角相等求出∠3，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【答案】解：∠3＝∠2＝100°，∴木条a，b所在直线所夹的锐角＝180°﹣100°﹣70°＝10°，故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 温州二模）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠ACD＝110°，则∠A＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【思路点拨】根据三角形的外角的性质计算即可．
【答案】解：由三角形的外角的性质可知，∠A＝∠ACD﹣∠B＝60°，故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2．（2021 海曙区一模）已知钝角△ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（　　）
A．0°＜∠B＜60° B．90°＜∠B＜150° C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150° D．以上都不对
【思路点拨】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
【答案】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝30°，∴∠B+∠C＝150°，
若∠B为钝角 则90°＜∠B＜150°且0°＜∠C＜60°
若∠C为钝角 则90°＜∠C＜150°且0°＜∠B＜60°
∴0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150°，故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，是一个基础题，熟记三角形的内角和定理是解题的关键．三角形的三个内角和等于180°．
3．（2021·广西河池·中考真题）如图，，是的外角，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角性质直接求解即可．
【详解】是的外角，，，．
．故选B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键．
4．（2021 吴兴区期末）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【思路点拨】设三个内角度数为2x、3x、4x，根据三角形内角和定理列出方程，解方程即可．
【答案】解：设三个内角度数为2x、3x、4x，由三角形内角和定理得，2x+3x+4x＝180°，解得，x＝20°，则三个内角度数为40°、60°、80°，则这个三角形一定是锐角三角形，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
5．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
6．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余角的性质，求出∠CAB=50°，由旋转的性质，得到，，然后求出，即可得到答案．
【详解】解：在中，，∴∠CAB=50°，
由旋转的性质，则，，∴，
∴；故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是掌握所学的性质，正确求出．
考向3. 三角形的中线、高线、角平分线、中位线
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
【分析】分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．
【详解】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，
∴四边形GMNP是矩形，∴GM＝PN，GP＝MN，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，∴CA⊥AB，
又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，
∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，
∴GM1，AMAE，FNAC，ANAB，
∴MN＝AN﹣AMAE，∴PN＝1，FP，
设AE＝m，∴AMm，GP＝MNm，
在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，
在Rt△GPF中，GF2＝（m）2+（）2，
∵AG＝GF，∴（m）2+12＝（m）2+（）2，
解得m＝3，即DE＝3，在Rt△ADE中，DE．故选：A．
【变式训练】
变式3-1. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
【答案】
【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案．
【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，∴BF⊥AC，
∵AB＝5，BC＝4，AC＝6，∴，
∴，∴CE：AD：BF=，故答案是：．
【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．
变式3-2. （2021·江苏连云港市·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
【答案】
【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】解：连接ED 是的中线，，
设，
与是等高三角形，
，故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的中线、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
变式3-3. （2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【答案】C
【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021 宁波）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】由直角三角形的性质求出AD＝BD,由锐角三角函数的定义求出DC＝1,由三角形的中位线定理可求出答案．
【详解】解:∵AD⊥BC,∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
∵∠B＝45°,BD,∴AD＝BD,
∵∠C＝60°,∴DC1,∴AC＝DC＝2,
∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EFAC＝1．故选：C．
2．（2021 江干区期末）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
【思路点拨】根据垂线段最短即可判断．
【答案】解：如图，
∵PA⊥BC，∴根据垂线段最短可知：PA≤AQ，故选：D．
【点睛】本题考查三角形的高，中线，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2021 下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
【思路点拨】根据三角形的中线的定义即可判断．
【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，故选：D．
【点睛】本题考查三角形的中线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
4．（2021 柯桥区期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　）
A．B．C．D．
【思路点拨】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知．
【答案】解：过点A作直线BC的垂线段，即画BC边上的高，所以画法正确的是D．故选：D．
【点睛】考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．
5．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过作图过程可得AD平分∠BAC,DE⊥AB,然后证明△ACD≌△AED说明C、D正确，再根据直角三角形的性质说明选项A正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意．
【详解】解：由题意可得：AD平分∠BAC,DE⊥AB,
在△ACD和△AED中∠AED=∠C，∠EAD=∠CAD,AD=AD∴△ACD≌△AED（AAS）
∴DE=DC,AE=AC,即C、D正确；在Rt△BED中，∠BDE=90°-∠B
在Rt△BED中，∠BAC=90°-∠B ∴∠BDE=∠BAC，即选项A正确；
选项B，只有AE=EB时，才符合题意．故选B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．
6．（2020 宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BFCD．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10．
又∵CD为中线，∴CDAB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BFCD＝2.5．故选：B．
7.（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的中心是三角形中线的交点．
考向4. 三角形的面积问题
【典例精析】
【例】（2019 湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24 B．30 C．36 D．42
【分析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，根据角平分线的性质得到DH＝CD＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDAB DHBC CD6×49×4＝30，故选：B．
【变式训练】
变式4-1. （2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
【答案】A
【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC DE=×5×3=7.5．故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
变式4-2. （2021 鄞州区一模）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为　　．
【思路点拨】可设S△ADF＝m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出△AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积．
【答案】解：如图，连AF，设S△ADF＝m，
∵S△BDF：S△BCF＝6：9＝2：3＝DF：CF，则有m＝S△AEF+S△EFC，S△AEF＝m﹣6，
而S△BFC：S△EFC＝9：6＝3：2＝BF：EF，
又∵S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝3：2，而S△ABF＝m+S△BDF＝m+6，
∴S△ABF：S△AEF＝BF：EF＝3：2＝（m+6）：（m﹣6），解得m＝12．
S△AEF＝12，SADEF＝S△AEF+S△ADF＝12+12＝24．故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算．
变式4-3. （2021 椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【思路点拨】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题．
【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝3．
∵DE为△ABD中AB边上的中线，∴S△ADE＝S△ABD＝．故选：B．
【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．
【考点巩固训练】
1．（2021 滦南县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【思路点拨】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【答案】解：解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，S△EBC＝S△ABC，∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，∴S△BEF＝4，
即阴影部分的面积为4．故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
2．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
【答案】12．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵直线DE垂直平分BC，∴，
∴△ABD的周长，故答案为：12．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2021·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段 C． D．
【答案】C
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论．
【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A正确；，，
且为等边三角形且
，平分，，
垂直平分，故B正确；，，，
，，故C错误；
，，，故D正确故选C．
【点睛】本题考查30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些基础知识为解题关键．
4.（2021 衢州期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为　　．
【思路点拨】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可．
【答案】解：∵AB＝BE，BD⊥AE，∴AD＝DE，∴S△CDE＝S△ACE，
∵点E是BC的中点，∴S△ACE＝S△ABC＝1，∴△CDE的面积＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第17节 三角形的有关概念
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据相关概念逐项分析即可．
【详解】A、五边形的内角和是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．
2．（2021 下城区期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
【思路点拨】先求出∠C的度数，进而可得出结论．
【答案】解：∵△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣20°﹣70°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
3．（2020·四川中考真题）如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）
A．160° B．110° C．100° D．70°
【答案】B
【分析】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行线的性质定理可得∠ACH，易得∠ACG．
【详解】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵EF∥GH，∴∠ACH＝∠ABD＝70°，∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角的关系，然后利用三角形内角和进行求解即可．
4．（2021 诸暨市模拟）已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形，则a的整数解有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【思路点拨】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个．
【答案】解：解不等式①，可得x＜2a，
解不等式②，可得x≥4，
∵不等式组至少有三个整数解，∴a＞3，
又∵存在以3，a，5为边的三角形，∴2＜a＜8，
∴a的取值范围是3＜a＜8，∴a的整数解有4、5、6，7共4个，故选：B．
【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
5．（2021·陕西中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【分析】由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得，
∵，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
6．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设AB与EF交于点M，根据，得到，再根据三角形的内角和定理求出结果．
【详解】解：设AB与EF交于点M，∵，∴，
∵，，∴，∴,
∵,∴=，故选：A．
．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记平行线的性质并应用是解题的关键．
7．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
【答案】A
【分析】直接根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵ ，且∠A＝20°，∠B＝4∠C，
∴ ∴ ∴∠C=32°故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用以及解一元一次方程，运用方程思想解答此类试题是常用的思想方法．
8．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】由平行线的性质可得∠CFA＝∠D＝90°，由外角的性质可求∠BAD的度数．
【详解】解：如图，设AD与BC交于点F，
∵BC∥DE，∴∠CFA＝∠D＝90°，
∵∠CFA＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD，∴∠BAD＝30°故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及外角的性质，熟知以上知识点是解题的关键．
9．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
【答案】C
【分析】延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，
【详解】解：延长，交于，
是等腰三角形，，，
，，，
，故选：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】过作，交于点，可得，得到与平行，再由为中点，得到，同时得到四边形为矩形，再由角平分线定理得到，进而求出的长，得到的长．
【详解】解：过作，交于点，
，，，，
为中点，，，即，
，四边形为矩形，，
平分，，，，，
则．故选：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，角平分线定理，以及平行线的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
二、填空题
11.（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键．
12．（2021·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
【答案】
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求得．
【详解】如图，过D作，则D到的距离为DE
平分，，
点D到的距离为．故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离等知识，理解点到直线的距离的定义，熟知角平分线的性质是解题关键．
13．（2021·西藏·中考真题）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4.按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是_______________．
【答案】4
【分析】利用基本作图得到∠FCB＝∠B，则FC＝FB，再利用勾股定理计算出CF＝5，则AB＝8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【详解】解：由作法得∠FCB＝∠B，∴FC＝FB，在Rt△ACF中，∵∠A＝90°，AC＝4，AF＝3，
∴CF＝＝5，∴BF＝5，∴AB＝AF＋BF＝8，在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质作图，逐步操作即可．
14．（2021·江苏常州市·中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
【答案】100
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A=80°，再根据平行线的性质，求出，即可．
【详解】解：∵，∴∠A=180°-40°-60°=80°，
∵，∴180°-80°=100°．答案是100．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
15．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
【答案】减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
16．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6∴则的最大值与最小值的差为12．故答案为：12
【点睛】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．
17.（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
【答案】3
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作CF⊥AB交AD于E，
则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，∴CE+EF的最小值为3，故答案为：3．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形．
18．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________．
【答案】≤m≤
【分析】作AB的中点M，连接CM、QM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得QM和CM的长，然后在△CQM中根据三边关系即可求解．
【详解】解：作AB的中点M，连接CM、QM．
在以为圆心，为半径的圆上运动，
在直角△ABC中，AB＝，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CM＝AB＝5．
∵Q是BP的中点，M是AB的中点，∴MQ＝AP＝．
∴在△CMQ中，5 ≤CQ≤＋5，即≤m≤．故答案是：≤m≤．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，三角形三边长关系，勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作圆，作AB的中点M，连接CM、QM，构造三角形，是解题的关键．
三、解答题
19．（2021 新昌县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝114°，∠B＝46°，CD平分∠ACB，CE为AB边上的高，求∠DCE的度数．
【思路点拨】由图知∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB，又由角平分线定义得∠DCB＝∠ACB，然后利用内角和定理，分别求出∠BCE即可．
【答案】解：∵∠ACB＝114°，CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝57°．
∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°．∵∠B＝46°，∴∠BCE＝44°，∴∠DCE＝57°﹣44°＝13°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
20．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，．
在中，，，，
，．．
（2），的关系：．
理由如下：设，．在中，，
，．，
在中，，．
．．．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
21．（2021 江干区期末）如图，在△ABC中，D是EC上一点，F是AC上的一点，DE∥AC，交AB于点E，∠AED＝∠AFD（1）找出图中所有与∠A相等的角；（2）求证：DF∥AB；
（3）若∠B+∠C＝130°，求∠FDE的度数．
【思路点拨】（1）根据平行线的性质解答；（2）根据平行线的性质定理和判定定理证明结论；
（3）根据三角形内角和定理求出∠A，根据平行线的性质定理和判定定理计算即可．
【答案】解：（1）与∠A相等的角有∠BED、∠CFD、∠EDF；
（2）∵DE∥AC，∴∠AED+∠A＝180°，
∵∠AED＝∠AFD，∴∠AFD+∠A＝180°，∴DF∥AB；
（3）∵DE∥AC，∴∠A＝∠BED，
∵DF∥AB，∴∠EDF＝∠BED，∴∠A＝∠EDF，
∵∠B+∠C＝130°，∴∠A＝180°﹣130°＝50°，∴∠FDE＝50°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、平行线的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
22．（2020·山西孝义初三期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学时候我们就知道三角形内角和是 180度，学行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：
如图1，已知：三角形．求证．
证法一：如图2，过点作直线
即三角形内角和是180°
证法二：如图3，延长至，过点作
···
任务：(1)证法一的思路是用平行线的性质得到将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是________(将正确选项代码填入空格处)
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
【答案】（1）C；（2）见解析．
【分析】（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想；（2）根据题意可知CN∥AB，进而利用平行线的性质以及转化思想进行等量代换得出∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°即可．
【解析】（1）由题意三角形内角和问题转化为一个平角，可知运用了转化思想，故答案为：C；
（2）证明：∵CN//AB∴∠A=CAN，∠B=∠NCM，
∵∠ACB+∠CAN+∠NCM=180°， ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°．
【点睛】本题考查三角形的内角和以及平行线的性质，熟练掌握行线的性质以及运用转化思想进行分析是解题的关键．
23．（2021·重庆巴川中学校期中）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，
求，的度数．
【答案】20°，125°
【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=90°根据三角形的内角和即可得到结论；根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵∠C=70°，∴∠CAD=180°-90°-70°=20°；
∵∠BAC=60°，∠C=70°，AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAO=30°，∠ABC=180°-∠BAC -∠C =50°，
∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO=25°，∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-30°-25°=125°．
故∠CAD，∠BOA的度数分别是20°，125°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO．
24．（2021·云南昆明·八年级期末）已知的周长为，是边上的中线，．
（1）如图，当时，求的长．（2）若，能否求出的长？为什么？
【答案】（1）6cm；（2）不能求出的长，理由见解析
【分析】（1）根据，及的周长为，可求得BC，再根据三角形中线的性质解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可
判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．
【详解】解：（1）∵，，∴，
又∵的周长为，∴，
∴，
又∵是边上的中线，∴；
（2）不能，理由如下：∵，，∴，
又∵的周长为，∴，
∴，∴BC+AC=16∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．
【点睛】此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．
25.（2022 阜宁县期中）问题1
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　 　
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　 　
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　 　．
【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，再由两平角的和为360°得：∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，根据四边形的内角和得：∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，代入前式可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，
∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；
（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，
故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．
【点评】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．
26.（2021 南海区期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC∠ABC∠A∠ABC∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD
∴∠OBC+∠OCB（∠EBC+∠BCD）（∠A+∠ACB+∠BCD）（∠A+180°）（60°+180°）＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
【点评】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第17节 三角形的有关概念
【考场演练】
一、选择题
1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
2．（2021 下城区期末）已知△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形
3．（2020·四川中考真题）如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）
A．160° B．110° C．100° D．70°
4．（2021 诸暨市模拟）已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以3，a，5为边的三角形，则a的整数解有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2021·陕西中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（ ）
A．60° B．70° C．75° D．85°
6．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广西梧州·中考真题）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（　　）
A．32° B．36° C．40° D．128°
8．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC∥DE，如图②所示，则旋转角∠BAD的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．（2020·四川绵阳市·中考真题）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（　　）
A．16° B．28° C．44° D．45°
10．（2020·四川绵阳市·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11.（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
12．（2021·福建中考真题）如图，是的角平分线．若，则点D到的距离是_________．
13．（2021·西藏·中考真题）如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4.按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所面的弧相交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是_______________．
14．（2021·江苏常州市·中考真题）如图，在中，点D、E分别在、上，．若，则________．
15．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．
16．（2020·湖北中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为_____．
17.（2020·辽宁营口市·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．
18．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是__________．
三、解答题
19．（2021 新昌县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝114°，∠B＝46°，CD平分∠ACB，CE为AB边上的高，求∠DCE的度数．
20．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在中，，点D，E分別在边AB，AC上，，连结CD，BE．（1）若，求，的度数．（2）写出与之间的关系，并说明理由．
21．（2021 江干区期末）如图，在△ABC中，D是EC上一点，F是AC上的一点，DE∥AC，交AB于点E，∠AED＝∠AFD（1）找出图中所有与∠A相等的角；（2）求证：DF∥AB；
（3）若∠B+∠C＝130°，求∠FDE的度数．
22．（2020·山西孝义初三期末）阅读下列材料，并完成相应任务．
三角形的内角和
小学时候我们就知道三角形内角和是 180度，学行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：
如图1，已知：三角形．求证．
证法一：如图2，过点作直线
即三角形内角和是180°
证法二：如图3，延长至，过点作
···
任务：(1)证法一的思路是用平行线的性质得到将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180°，这种方法主要体现的数学思想是________(将正确选项代码填入空格处)
A．数形结合思想 B．分类思想 C．转化思想
(2)将证法二补充完整．
23．（2021·重庆巴川中学校期中）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求，的度数．
24．（2021·云南昆明·八年级期末）已知的周长为，是边上的中线，．
（1）如图，当时，求的长．（2）若，能否求出的长？为什么？
25.（2022 阜宁县期中）问题1
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　 　
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　 　
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　 　．
26.（2021 南海区期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
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第四章 图形与性质 （浙江省专用）
第17节 三角形的有关概念
【考试要求】
1.了解三角形的有关概念，理解三角形的三边关系，理解三角形内角和等于180°及外角和的性质；
2.理解三角形是最简单的几何图形，能在复杂的几何图形中找到三角形，并应用三角形的边角关系解决问题.
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为8 分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。
【考点梳理】
1．三角形的边角关系：
(1)边与边：三角形任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边．
(2)角与角：三角形三个内角的和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的分类：
(1)按边的大小分：
(2)按角的大小分：
3．三角形中的特殊线段：
名称 定义
角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段
高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
中位线 连结三角形两边的中点的线段
【重难点突破】
考向1. 三角形三边关系
【典例精析】
【例】（2020 绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式训练】
变式1-1．（2021 鄞州区一模）三角形的两边长分别是4，7，则第三边长不可能是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．12
变式1-2．（2021 金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（　　）
A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
变式1-3．（2019 台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，6，11
【考点巩固训练】
1．（2019 金华）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
2．（2021 泰顺县模拟）现有2根长分别为1米、4米的钢管，若再选一根钢管首尾顺次连接，焊成一个三角形的固定架（接头不计），则下列符合条件的钢管长为（　　）
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
3．（2021·江苏淮安·中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是___．
4．（2021·湖南娄底市·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
5．（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3，在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则的取值范围为______
6．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考向2. 三角形的内角与外角
【典例精析】
【例】（2021 绍兴）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是　 　．
【变式训练】
变式2-1. （2019 衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）
A．60° B．65° C．75° D．80°
变式2-2. （2021 杭州模拟）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
变式2-3. （2021 绍兴）如图，墙上钉着三根木条a，b，C，量得∠1＝70°，∠2＝100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（　　）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【考点巩固训练】
1．（2021 温州二模）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠ACD＝110°，则∠A＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
2．（2021 海曙区一模）已知钝角△ABC中，∠A＝30°，则下列结论正确的是（　　）
A．0°＜∠B＜60° B．90°＜∠B＜150° C．0°＜∠B＜60°或90°＜∠B＜150° D．以上都不对
3．（2021·广西河池·中考真题）如图，，是的外角，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021 吴兴区期末）若三角形三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
5．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
6．（2020·辽宁大连市·中考真题）如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
考向3. 三角形的中线、高线、角平分线、中位线
【典例精析】
【例】（2021 嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）
A． B． C． D．4
【变式训练】
变式3-1. （2021·山东聊城市·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．
变式3-2. （2021·江苏连云港市·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．
变式3-3. （2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【考点巩固训练】
1．（2021 宁波）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（　　）
A． B． C．1 D．
2．（2021 江干区期末）若线段AP，AQ分别是△ABC边上的高线和中线，则（　　）
A．AP＞AQ B．AP≥AQ C．AP＜AQ D．AP≤AQ
3．（2021 下城区期末）如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AC D．BD＝CD
4．（2021 柯桥区期末）在△ABC中，∠A是钝角，下列图中画BC边上的高线正确的是（　　）
A．B．C．D．
5．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020 宁波）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
7.（2021·江苏泰州市·中考模拟）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
考向4. 三角形的面积问题
【典例精析】
【例】（2019 湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
A．24 B．30 C．36 D．42
【变式训练】
变式4-1. （2021·青海中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定
变式4-2. （2021 鄞州区一模）在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为　　．
变式4-3. （2021 椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点巩固训练】
1．（2021 滦南县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．
3．（2021·山东济南·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段 C． D．
4.（2021 衢州期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为　　．
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