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第四章 图形与性质（浙江省专用）
第18节 全等三角形
【考试要求】
1.了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等；
2.掌握全等三角形的性质；
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题、解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
全等三角形的判定与性质：
一般三角形 直角三角形
判定 (1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等(2)一直角边、一锐角对应相等(3)斜边、直角边对应相等(HL)
性质 (1)对应边相等，对应角相等(2)对应角平分线、对应中线、对应高线相等
备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等
【重难点突破】
考向1. 全等三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021 海曙区期末）如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论错误的是（　　）
A．AC＝AF B．∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D．∠EAB＝∠FAC
【思路点拨】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【答案】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故A，C正确；
∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB，故D正确；∠AFE＝∠C，故B错误；故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
【变式训练】
变式1-1．（2021 北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　）
A．70° B．68° C．65° D．60°
【思路点拨】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【答案】解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，
∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B＝＝70°，∴∠AED＝70°，故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
变式1-2．（2021 上虞区期末）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．58° B．72° C．50° D．60°
【思路点拨】根据全等三角形对应角相等解答即可．
【答案】解：∵两个三角形全等，∴α＝180°﹣58°﹣72°＝50°，故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键．
变式1-3．（2021 越秀区校级一模）已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝　　度，EF＝　　cm．
【思路点拨】根据全等三角形的性质即可求出推出各个边和角的量，做题时要找准对应边、角．
【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝15cm，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，
∠C＝∠F＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣52°﹣67°＝61°．故填61，15．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质；做题时只要找对各个对应边和角，就能得到答案，也是正确解答本题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2021·黑龙江中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，∴，
∴，即，
∵，∴，
∵，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2020·江苏连云港市九年级期末）如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A．82° B．78° C．68° D．62°
【答案】B
【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案．
【详解】∵如图是两个全等三角形，∴∠1＝∠2＝180° 40° 62°＝78°．故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
3．（2021·山东济阳初三期中）如图，沿直线边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选择正确答案．
【解析】沿直线边BC所在的直线向右平移得到，
，，，
，，
，，但不能得出，故选C．
【点睛】本题考查了平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
4．（2021·山西翼城期末）如图，，如果，那么的长是______．
【答案】
【分析】根据三角形全等的性质即可得．
【解析】，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质，熟记性质是解题关键．
5．（2020·全国初三课时练习）如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当，时，线段AE的长为________；
（2）已知，，①求的度数；②求的度数．
【答案】（1）3；（2）①；②
【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案；
（2）①根据三角形全等的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得到结论；②根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出即可；
【解析】（1），，，
，，．
（2）①，，．
，，
．
②是的外角，．
是的外角，．
【点睛】本题考查了三角形外角性质、全等三角形性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
考向2. 全等三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021 绍兴期末）如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）
A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD
【思路点拨】依据AE∥DF，CE∥BF，即可得到∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，根据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，即可得出结论．
【答案】解：∵AE∥DF，CE∥BF，∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF，
∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC＝BD，∴当AB＝CD时，可得AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式训练】
变式2-1. （2021·重庆中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】解：BF=EC，
A. 添加一个条件AB=DE，又 故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D又故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD 又
故D不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式2-2. （2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）
【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分）
【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可．
【详解】解：如图所所示，
∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD．∴∠BAC=∠EAD．
（1）当∠B=∠E时，
（2）当∠C=∠D时，
（3）当AB=AE时，
故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键．
变式2-3. （2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
【答案】2或
【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
【详解】解：①当，时，，
，，，，解得：，
，，解得：；
②当，时，，，，，解得：，
，，解得：，
综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【考点巩固训练】
1．（2021·重庆中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】选项A，添加，
在和中， ，∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，在和中， ，∴≌（SAS）；
选项D，添加，在和中， ，∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
2．（2021·山东济宁市·中考真题）如图，四边形中，，请补充一个条件____，使．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【详解】解：添加的条件为，
理由是：在和中，，
∴(AAS)，故答案为：．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有HL．
3．（2021 新昌县期末）如图，已知BC平分∠ACD，下列所给出的条件不能证明△ABC≌△DBC的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DBC C．AC＝DC D．AB＝DB
【思路点拨】结合图形根据三角形全等的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【答案】解：∵BC平分∠ACD，∴∠ACB＝∠DCB，BC为△ABC和△DCB的公共边，
A、∠A＝∠D，满足“AAS”，能证明△ABC≌△DCB；
B、∠ABC＝∠DCB满足“边角边”，能证明△ABC≌△DCB；
C、AC＝DC满足“边角边”，能证明△ABC≌△DCB；
D、AB＝BD满足“边边角”，不能证明△ABC≌△DCB．故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意BC是两个三角形的公共边．
4．（2021 义乌市期末）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DE D．AB＝DE，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF
【思路点拨】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【答案】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2021 衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．
【思路点拨】根据等式的性质可得BC＝EF，根据平行线的性质可得∠B＝∠E，再添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【答案】解：添加AB＝ED，
∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AB＝ED．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
考向3. 全等三角形的证明
【典例精析】
【例】（2021 杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 　 　，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】若选择条件①，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；选择条件②，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD；选择条件③，利用∠ABC＝∠ACB得到AB＝AC，再证明∠ABE＝∠ACD，则可根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD，从而得到BE＝CD．
【详解】证明：选择条件①的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD；
选择条件②的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD；
选择条件③的证明为：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，
∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠FCB，即∠ABE＝∠ACD，
在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．
故答案为①AD＝AE（②∠ABE＝∠ACD或③FB＝FC）
【变式训练】
变式3-1. （2021 柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【思路点拨】先根据AB∥DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC＝∠DEF，再结合∠A＝∠D，BC＝EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF．
【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出证三角形全等的三个条件是解此题的关键．
变式3-2. （2021 温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．
【思路点拨】（1）利用ASA即可证明；（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD＝AE＝AB即可解决问题；
【答案】（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC，
∵E是AB中点，∴AE＝EB，∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC．
（2）解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC，
∵AD∥EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴CD＝AE，
∵AB＝6，∴CD＝AB＝3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式3-3. （2021 台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
【分析】(1)根据已知条件利于SSS即可求证△ABC≌△ADC；
(2)过点B作BE⊥AC于点E,根据已知条件利于锐角三角函数求出BE的长，再根据Rt△ABE边的关系即可推出∠BAC的度数，从而求出∠BAD的度数．
【详解】解：（1）证明：在△ABC和△ADC中，
，∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）过点B作BE⊥AC于点E，如图所示，
∵∠BCA＝45°，BC＝10，
∴sin∠BCA＝sin45°,∴BE＝10，
又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10，∴∠BAE＝30°，
又∵△ABC≌△ADC，∴∠BAD＝∠BAE+∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°．
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉兴期末）已知：如图，点F，B，E，C在同一条直线上，AC＝DF，BF＝EC，∠F＝∠C．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠F+∠FED＝80°，求∠A的度数．
【思路点拨】（1）由“SAS”可证△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的性质和三角形内角和的性质可求解．
【答案】证明：（1）∵BF＝EC，∴FE＝CB，且∠F＝∠C，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）∵∴△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D，
∵∠F+∠FED＝80°，∴∠D＝180°﹣80°＝100°，∴∠A＝100°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABC≌△DEF是本题的关键．
2．（2020 台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）△BOC是等腰三角形，
理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC＝∠OCB，
∴BO＝CO，∴△BOC是等腰三角形．
3．（2020 温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；
（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．
【详解】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，
又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；
（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，
∵∠ACE＝90°，∴AE13．
4．（2019 温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE+BE＝1+2＝3，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)根据∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”证明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性质，即可得到OD=OE；
(2)根据D、E分别是AB、AC的中点，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根据BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”证明两个三角形全等.
【详解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；
(2)∵D、E分别是AB、AC的中点∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC
又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
考向4. 全等三角形综合问题
【典例精析】
【例】（2021 北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
【思路点拨】（1）根据SAS证明△BAP≌△CAQ，则可得出结论；
（2）证明∠PQC＝150°﹣60°＝90°，由勾股定理可求出答案．
【答案】（1）证明：∵△APQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，∴∠BAP＝∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴PB＝QC；
（2）解：∵△APQ是等边三角形，∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，
∵∠APB＝150°，∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，
∵PB＝QC，∴QC＝4，∴△PQC是直角三角形，
∴PC＝＝＝5．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．
【变式训练】
变式4-1. （2020 宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．
变式4-2. （2021 杭州期中）如图，在△ABC中高AD和BE交于点H，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，下列结论：①∠DAC＝22.5°；②BH＝2CE；③若连结CH，则CH⊥AB；④若CD＝1，则AH＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】由角平分线和直角三角形的性质得出①正确；由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出②正确；由三角形的高的性质得出③正确；由勾股定理和等腰三角形的性质得出④不正确，即可得出答案．
【答案】解：∵在△ABC中高AD和BE交于点H，∴∠BEA＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝22.5°，∴∠BAE＝∠BCE，∴BA＝BC，
∵∠CBE+∠C＝∠DAC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠CBE＝22.5°，①正确；
∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，
∵BA＝BC，BE平分∠ABC，∴AE＝CE，
在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（ASA），∴BH＝AC＝2CE，②正确；
∵△ABC的高AD和BE交于点H，∴E是△ABC的三条高的交点，∴CH⊥AB，③正确；
∵△BDH≌△ADC，∴DH＝CD＝1，∴CH＝＝，
∵△ABC是等腰三角形，BA＝BC， BE平分∠ABC，
∴直线BE是△ABC的对称轴，∴AH＝CH＝≠2，④不正确；故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识；证明三角形全等是解题的关键．
变式4-3.（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
【考点巩固训练】
1．（2020 金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
【分析】证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FGx，由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，则可得出答案．
【详解】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，
∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，
又∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，
∵∠BGP＝∠BGC＝90°，BG＝BG，∴△BPG≌△BCG（ASA），
∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，
∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FGx，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，
∴BG＝xx，∴BC2＝BG2+CG2，
∴．故选：B．
2．（2021 温岭市期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△AMD和△DMN的面积相等，其中错误的结论个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【思路点拨】根据题意可得：AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，即可证AE＝AF，△ADN≌△BFD，△ABF≌△ANC，AM＝MN；即可得结论．
【答案】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，
∴AB＝AC，∠BCA＝∠ABC＝45°＝∠DAC＝∠DAB，AD＝BD＝CD，AD⊥BC
∵BE是平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°
∵AB⊥AC，AD⊥BC∴∠AEB＝67.5°，∠AFD＝67.5°＝∠AFE
∴∠AFE＝∠AEB∴AF＝AE故①不符合题意，
∵M是EF的中点，AE＝AF∴AM⊥BE，∠DAM＝∠CAM＝22.5°
∴∠DAN＝∠CBE＝22.5°，且∠ADB＝∠ADN，AD＝BD
∴△ADN≌△BDF∴DF＝DN故②不符合题意，
∵AB＝AC，∠ACB＝∠DAB＝45°，∠ABF＝∠CAN＝22.5°
∴△ABF≌△ACN∴AF＝CN，且AE＝AF∴AE＝CN故③不符合题意，
∵∠BAN＝∠BAD＝∠DAN＝67.5°，∠BNA＝∠ACB+∠NAC＝67.5°
∴∠BAN＝∠BNA∴BA＝BN且AM⊥BE∴AM＝MN
∴△AMD和△DMN的面积相等故④不符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定解决问题是本题的关键．
3．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点C作CE⊥AD于点E，证明≌即可解决问题．
【详解】过点C作CE⊥AD于点E，则CE//AB，
，且PD=PC，为等边三角形，
， ，
，，
， ，∴ ，∴ ，
∴ ，，
在和中， ，
∴≌，，故选：D．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，作辅助线CE是解答此题的关键．
4．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．
【答案】
【分析】由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG，，利用等腰三角形的性质，求出，然后得到AB=CD=，则，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，即可求出FE的长度．
【详解】解：根据题意，在矩形中，则AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为的中点，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG，；
∵CE⊥FG，∴，∴AB=CD=，∴，
在直角△BCF中，由勾股定理则，∴AD=3，∴，
在直角△AEF中，由勾股定理则；故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到．
5．（2020·湖北中考真题）如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F，
（1）猜想：线段与的数量关系为_____；
（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．
【答案】(1)AF=EF；(2)成立，理由见解析；(3)12
【分析】(1) 延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；(2)证明原理同(1)，延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，证明△ACF△EDG，进而得到△GEF为等腰三角形，即可证明AF=GE=EF；
(3)补充完整图后证明四边形AEGC为矩形，进而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．
【详解】解：(1)延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示
∵，∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，
又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF；
(2)仍旧成立，理由如下：延长DF到G点，并使FG=DC，连接GE，如下图所示
设BD延长线DM交AE于M点，
∵，∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，∴∠MDF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，
又延长DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，
在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G=∠AFC，
又∠AFC=∠GFE，∴∠G=∠GFE∴GE=EF，∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF. 故答案为：AF=EF；
(3)如下图所示：
∵BA=BE，∴∠BAE=∠BEA，∵∠BAE=∠EBG,∴∠BEA=∠EBG，
∴AECG，∴∠AEG+∠G=180°，∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，∴四边形AEGC为矩形，∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACBRt△EGB(HL)，∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
又∵ED=AC=EG，且EB=EB，∴Rt△EDBRt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，∴∠BAC=30°，
∴在Rt△ABC中由30°所对的直角边等于斜边的一半可知：．故答案为：．
【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，矩形的性质和判定，本题的关键是延长DF到G点并使FG=DC，进而构造全等，本题难度稍大，需要作出合适的辅助线．
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第四章 图形与性质（浙江省专用）
第18节 全等三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 柯桥区期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2．请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．AC＝DE B．BC＝BE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
【思路点拨】本题要判定△ABC≌△DBE，依据AB＝DB，∠1＝∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【答案】解：A、添加AC＝DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
B、添加BC＝BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
C、添加∠A＝∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB＝∠DEB，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确．故选：A．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2021 临安区期末）如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件（　　）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF
【思路点拨】由BE＝CF，可得BC＝EF，增加条件AC＝DF，即可依据SSS即可得到△ABC≌△DEF．
【答案】解：由BE＝CF，可得BC＝EF，
又∵AB＝DE，∴当AC＝DF时，可得△ABC≌△DEF（SSS），
而增加BC＝EF或∠A＝∠D或AC∥DF，均不能证明△ABC≌△DEF，故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．（2021·重庆中考模拟）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ）
A．含有45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合全等的判定方法对各个选项逐一判断即可．
【解析】解：A、含有45°角的两个直角三角形，缺少对应边相等，所以两个三角形不一定全等；
B、腰相等的两个等腰三角形，缺少两腰的夹角或底边对应相等，所以两个三角形不一定全等；
C、边长相等的两个等边三角形，各个边长相等，符合全等三角形的判定定理SSS，所以两个三角形一定全等，故本选项正确；
D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形的腰长或底边不一定对应相等，所以两个三角形不一定全等，故本选项错误．故选：C．
【点睛】本题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2021·山东中考模拟）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（　　　）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS判定即可得出答案．
【解析】在和中，故选：D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键．
5．（2022·陕西中考模拟）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）.
A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
【答案】D
分析：②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．
【解析】带③、④可以用“角边角”确定三角形，带①、④可以用“角边角”确定三角形，带②④可以延长还原出原三角形，故选D．
点评：本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件．
6．（2021·湖北鄂州市·九年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】B
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．
【详解】∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），∴∠3=∠ACB，
∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，
∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．
7．（2021·全国初三课时练习）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形对应边相等，对应角相等，结合图象逐个分析即可．
【解析】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
8．（2021·北京西城区·九年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】连接，交于点，由点与点关于直线对称，可证得，继而可证明，由全等三角形对应边相等解得，同理可证及，最后结合线段的和差与已知条件解题即可．
【详解】连接，交于点，由点与点关于直线对称，
在与中，
同理，在与中，
，，，的周长为：
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．（2020·四川雅安初三期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①根据，是高，可得,,又因为是角平分线，可得，故能得到∠AEG=∠DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；
②因为是中线，是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③,,可得∠EAG=∠DBA，因为∠DBA=2∠EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．
【解析】解：①∵，是高∴,
∵是角平分线∴∴∠AEG=∠DGB
∵∠DGB=∠AGE∴，故该说法正确；
②因为是中线，是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；
③∵,∴∠EAG=∠DBA
∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；
④根据中线平分面积，可得，故该说法正确．故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，熟练各线的特点和性质是解决本题的关键．
10．（2021·黑龙江松北初三期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】①根据直角三角形斜边上的中线性质进行判断；
②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，由角平分线定理和三角形边的关系判断便可；
③根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断③正确；
④根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断④正确．
【解析】解：①∵CD⊥AB于D，∴∠BDC=90°，∵H是BC边的中点，∴DH=CD，∴①正确；
②过F作FM⊥BC于M，则FM＜FC，
∵BE平分∠ABC，∴DF=FM，∴DF＜FC，∴②错误；
③∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∴③正确；④∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC，
∵AC=BF，∴CE=BF，∴④正确．所以，正确的结论是①③④，故选：C．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2021 北仑期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD=　cm．
【思路点拨】先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长．
【答案】解：∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠EFC，
∵∠AED＝∠FEC，E为DF的中点，∴△ADE≌△CFE（ASA），∴AD＝CF＝9cm，
∵AB＝13cm，∴BD＝13﹣7＝6cm．故答案为6
【点睛】本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定定理及性质，比较简单．
12．（2021·福建泉州市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝_____．
【答案】7
【分析】由题意知：BD⊥AC，EF⊥AB，∠ADB＝∠FEB＝90°，∠A＝∠F，△ABC≌△FEB（AAS），
AB＝EF＝12，AE＝7．
【详解】解：∵BD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADB＝∠FEB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FEB中， ，∴△ABC≌△FEB（AAS），∴AB＝EF＝12，
∵BE＝BC＝5，∴AE＝AB﹣BE＝7．故填：7．
【点睛】本题主要考查三角全等的证明，难点在复杂图形中如何迅速确定需要证明全等的三角形；
13．（2020·江苏南通田家炳中学期末）如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．
【答案】66°
【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解析】解：，，，
在和中，，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（2020·浙江九年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
【答案】110°
【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答可求∠BFC的度数．
【详解】解：设∠C′=α，∠B′=β，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，
∴∠ACD=∠C′=α，∠ABE=∠B′=β，∠BAE=∠B′AE=35°，
∴∠CDB=∠BAC+ACD=35°+α，∠CEB′=35°+β．
∵C′D∥EB′∥BC，∴∠ABC=∠C′DB=35°+α，∠ACB=∠CEB′=35°+β，
∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即105°+α+β=180°．则α+β=75°．
∵∠BFC=∠BDC+∠DBE，∴∠BFC=35°+α+β=35°+75°=110°．故答案为：110°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．
15.（2020·贵州铜仁初三月考）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．
【答案】2或．
【分析】“与”字型全等，需要分△ACP≌△BPQ和△ACP≌△BQP两种情况讨论，当△ACP≌△BPQ时，P，Q运动时间相同，得值；当△ACP≌△BQP时，由PA=PB，得出运动时间t，由AC=BQ得出值
【解析】当△ACP≌△BPQ，∴AP＝BQ，∵运动时间相同，∴P，Q的运动速度也相同，∴x＝2．
当△ACP≌△BQP时，AC＝BQ＝4，PA＝PB，∴t＝1.5，∴x＝＝
故答案为2或．
【点睛】本题要注意以下两个方面：①“与”字全等需要分类讨论；②熟练掌握全等时边与边，点与点的对应关系是分类的关键；③利用题干条件，清晰表达各边长度并且列好等量关系进行计算
16．（2020 安陆市期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝　 　．
【分析】延长BA、CE相交于点F，利用“角边角”证明△BCE和△BFE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝EF，根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角边角”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，然后求解即可．
【详解】解：如图，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE＝8，∴CE＝4．故答案为：4．
17.（2020 瑶海区期末）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　 　（请写序号，少选、错选均不得分）．
【分析】（1）欲证明AE＝CD，只要证明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE＝∠BCD，由∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∠ABC＝90°，可得∠NMC＝90°；（3）结论：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分线的判定定理证明即可；
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．
（3）结论：② 理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴ AE BK CD BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然可不能，故①错误．故答案为②．
18．（2021·湖南岳阳市·九年级期末）已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④
【答案】①②④
【分析】根据补角的性质计算可得①；连接D，证明，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；
【详解】，
，，；
故①正确；连接AD，
∵，，∴，
又∵点为的中点，∴，，，即，
又∵，∴，
又∵，∴，
在△BED和△AFD中，，∴，∴ED=FD；故②正确；
∵，∴，
则，故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即；
故③错误；故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
19．（2021·四川南充市·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
【详解】证明：∵，∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，∴△BAE≌△ACF，∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；（2）求的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，∴，即，
∵，，∴，∴；
（2）解：∵，，∴，
∴根据三角形内角和可得，∴，
由（1）可得，∵，∴，∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
21．（2021·江苏常州市·中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．
（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到．
①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则直线与l的位置关系是__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行
【分析】（1）根据“SAS”即可证明；（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于，连接B，C，即可；②过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，证明四边形MND是平行四边形，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，∴BC=EF，∵，∴∠ABC=∠DEF，
又∵，∴；
（2）①如图所示，即为所求；
②∥l，理由如下：
∵，与关于直线l对称，∴，
过点作M⊥l，过点D 作DN⊥l，则M∥DN，且M=DN，
∴四边形MND是平行四边形，∴∥l，故答案是：平行．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
22．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，
∵∠ADC＝∠ABC＝，
∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．
23．（2020·湖南中考真题）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
【答案】（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM∴即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝PC＝EP
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF
∵EB＝EP∴EF是线段BP的垂直平分线∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线∴QF＝DF
∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°
【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．
24．（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．
（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC cos（180°﹣），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，
∵AM＝AN，∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m cos（180°﹣）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，
∵AT＝AC cos（180°﹣）＝m cos（180°﹣），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m cos（180°﹣）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
25．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．
（1）如图1，若，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论；
（3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．
【详解】（1）解 ，，
，，是等边三角形，是的中点，，
在中，，，．
（2）证明：连结，，，
，， ，
，，又，，
是等边三角形，，，
又，， ，．
（3）存在这样的． 过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则，
，由（2）得AE=2AP，DE=AC，∴CG=EN，
∵，∴AE=BC，∵∠ANE=∠BGC=90°，， ∴∠EAN=∠CBG
∵AE=BC，AB=BA，∴ ∴AC=BE，∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，∴∠DEB=90°，∴，
∵∴
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．
26．（2019·山东·中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
（一）猜测探究:在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　 　，与的数量关系是　 　；
（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用:如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．
【答案】（一）（1）结论：，．理由见解析；（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由见解析；（二）的最小值为．
【分析】（一）①结论：，．根据证明≌即可．
②①中结论仍然成立．证明方法类似．（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．理由全等三角形的性质证明，推出当的值最小时，的值最小，求出的值即可解决问题．
【详解】（一）（1）结论：，．
理由：如图1中，
∵，∴，∴，
∵，，∴≌（），∴．
故答案为，．
（2）如图2中，①中结论仍然成立．
理由：∵，∴，∴，
∵，，∴≌（），∴．
（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于．
∵，∴，∵，，∴≌（），
∴，∴当的值最小时，的值最小，
在中，∵，，∴，
∵，∴，∴，
在，∵，∴，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，∴的最小值为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
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第四章 图形与性质（浙江省专用）
第18节 全等三角形
【考场演练】
一、选择题
1．（2021 柯桥区期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2．请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．AC＝DE B．BC＝BE C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DEB
2．（2021 临安区期末）如图，△ABC与△DEF的边BC与EF在同一条直线上，且BE＝CF，AB＝DE．若需要证明△ABC≌△DEF，则可以增加条件（　　）
A．BC＝EF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AC＝DF
3．（2021·重庆中考模拟）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ）
A．含有45°角的两个直角三角形 B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
4．（2021·山东中考模拟）在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“不用量了，肯定相等”，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（　　　）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
5．（2022·陕西中考模拟）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）.
A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
6．（2021·湖北鄂州市·九年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
7．（2021·全国初三课时练习）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021·北京西城区·九年级期末）如图，在中，点D，E分别在边，上，点A与点E关于直线对称．若，，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
9．（2020·四川雅安初三期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（ ）
①②③④
A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
10．（2021·黑龙江松北初三期末）如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD⊥AB 于 D，BE 平分∠ABC，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连接 DH 与 BE 相交于点 G，则①DH=HC；②DF=FC；③BF=AC；④CE BF 中正确有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
11．（2021 北仑期末）如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13cm，CF＝7cm，则BD=　cm．
12．（2021·福建泉州市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝5，BD⊥AC于点D，点E在边AB上，且BE＝BC，过点E作EF⊥AB交BD延长线于点F，若EF＝12，则AE＝_____．
13．（2020·江苏南通田家炳中学期末）如图，，的延长线交于，交于，，，，则的度数为_________．
14．（2020·浙江九年级开学考试）如图，在锐角中，D、E分别是、上的点，，，且，、相交于点F，若，则_________．
15.（2020·贵州铜仁初三月考）如图，AB＝6cm，AC＝BD＝4cm．∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为_____．
16．（2020 安陆市期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD＝8，则CE＝　 　．
17.（2020 瑶海区期末）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　 　（请写序号，少选、错选均不得分）．
18．（2021·湖南岳阳市·九年级期末）已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③；④
三、解答题
19．（2021·四川南充市·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．
20．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；（2）求的度数．
21．（2021·江苏常州市·中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，．
（1）求证：；（2）将沿直线l翻折得到．
①用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则直线与l的位置关系是__________．
22．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
（探究发现）（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
（拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
23．（2020·湖南中考真题）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
24．（2021·江苏淮安·中考真题）（知识再现）
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
（简单应用）如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 　　．
（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
25．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．
（1）如图1，若，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
26．（2019·山东·中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
（一）猜测探究:在中，，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．
（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是　 　，与的数量关系是　 　；
（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
（二）拓展应用:如图3，在中，，，，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接．求线段长度的最小值．
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第四章 图形与性质（浙江省专用）
第18节 全等三角形
【考试要求】
1.了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等；
2.掌握全等三角形的性质；
【考情预测】
该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题、解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础。
【考点梳理】
全等三角形的判定与性质：
一般三角形 直角三角形
判定 (1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)角角边(AAS)(4)边边边(SSS) (1)两直角边对应相等(2)一直角边、一锐角对应相等(3)斜边、直角边对应相等(HL)
性质 (1)对应边相等，对应角相等(2)对应角平分线、对应中线、对应高线相等
备注 判定两个三角形全等，至少要有一组对应边相等
【重难点突破】
考向1. 全等三角形的性质
【典例精析】
【例】（2021 海曙区期末）如图，△ABC≌△AEF且点F在BC上，若AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论错误的是（　　）
A．AC＝AF B．∠AFE＝∠BFE C．EF＝BC D．∠EAB＝∠FAC
【变式训练】
变式1-1．（2021 北仑区期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　）
A．70° B．68° C．65° D．60°
变式1-2．（2021 上虞区期末）如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（　　）
A．58° B．72° C．50° D．60°
变式1-3．（2021 越秀区校级一模）已知△ABC≌△DEF，∠A＝52°，∠B＝67°，BC＝15cm，则∠F＝　　度，EF＝　　cm．
【考点巩固训练】
1．（2021·黑龙江中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·江苏连云港市九年级期末）如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A．82° B．78° C．68° D．62°
3．（2021·山东济阳初三期中）如图，沿直线边BC所在的直线向右平移得到，下列结论中不一定正确的是　　
A． B． C． D．
4．（2021·山西翼城期末）如图，，如果，那么的长是______．
5．（2020·全国初三课时练习）如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当，时，线段AE的长为________；
（2）已知，，①求的度数；②求的度数．
考向2. 全等三角形的判定
【典例精析】
【例】（2021 绍兴期末）如图AE∥DF，CE∥BF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（　　）
A．∠A＝∠D B．∠E＝∠F C．AB＝BC D．AB＝CD
【变式训练】
变式2-1. （2021·重庆中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
变式2-2. （2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）如图，，，要使，应添加的条件是_________．（只需写出一个条件即可）
变式2-3. （2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为_____时，与全等．
【考点巩固训练】
1．（2021·重庆中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东济宁市·中考真题）如图，四边形中，，请补充一个条件____，使．
3．（2021 新昌县期末）如图，已知BC平分∠ACD，下列所给出的条件不能证明△ABC≌△DBC的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠DBC C．AC＝DC D．AB＝DB
4．（2021 义乌市期末）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AB＝DE，∠B＝∠E，AC＝DF
C．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DE D．AB＝DE，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF
5．（2021 衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．
考向3. 全等三角形的证明
【典例精析】
【例】（2021 杭州）在①AD＝AE，②∠ABE＝∠ACD，③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上（不与点A，点B重合），点E在AC边上（不与点A，点C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F．若 　 　，求证：BE＝CD．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【变式训练】
变式3-1. （2021 柯桥区模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
变式3-2. （2021 温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B．
（1）求证：△AED≌△EBC．（2）当AB＝6时，求CD的长．
变式3-3. （2021 台州）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10．
（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
【考点巩固训练】
1．（2021 嘉兴期末）已知：如图，点F，B，E，C在同一条直线上，AC＝DF，BF＝EC，∠F＝∠C．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠F+∠FED＝80°，求∠A的度数．
2．（2020 台州）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．
（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．
3．（2020 温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
4．（2019 温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
5．（2021·广西百色·中考真题）如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．求证：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．
考向4. 全等三角形综合问题
【典例精析】
【例】（2021 北仑区期末）已知，如图，点P是等边△ABC内一点，以线段AP为边向右边作等边△APQ，连接PQ、QC．（1）求证：PB＝QC；（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．
【变式训练】
变式4-1. （2020 宁波）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）
A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
变式4-2. （2021 杭州期中）如图，在△ABC中高AD和BE交于点H，∠ABC＝45°，BE平分∠ABC，下列结论：①∠DAC＝22.5°；②BH＝2CE；③若连结CH，则CH⊥AB；④若CD＝1，则AH＝2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式4-3.（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（问题解决）（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
（类比探究）（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【考点巩固训练】
1．（2020 金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
2．（2021 温岭市期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③AE＝CN；④△AMD和△DMN的面积相等，其中错误的结论个数是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．（2020·贵州毕节市·中考真题）如图，在一个宽度为长的小巷内，一个梯子的长为，梯子的底端位于上的点，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点处，点到的距离为，梯子的倾斜角为；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点处，点到的距离为，且此时梯子的倾斜角为，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．
5．（2020·湖北中考真题）如图1，已知，，点D在上，连接并延长交于点F，
（1）猜想：线段与的数量关系为_____；
（2）探究：若将图1的绕点B顺时针方向旋转，当小于时，得到图2，连接并延长交于点F，则（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）拓展：图1中，过点E作，垂足为点G．当的大小发生变化，其它条件不变时，若，，直接写出的长．
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