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第1章第2节 洛伦兹力
考点一、洛伦兹力的基本知识
1、洛伦兹力定义
运动电荷在磁场中受到的磁场力，叫洛伦兹力。
2、洛伦兹力与安培力的联系和区别
（1）联系
①静止的通电导线在磁场中受到的安培力，在数值上等于大量定向运动电荷受到的洛伦兹力的总和。安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观解释；
②大小关系：F安＝Nf洛（N是导体中定向运动的电荷数）；
③方向关系：洛伦兹力与安培力的方向一致，均可用左手定则进行判断。
（2）区别
①洛伦兹力是指单个运动的带电粒子所受到的磁场力，而安培力是指通电导线（即大量带电粒子）所受到的磁场力；
②洛伦兹力永不做功，而安培力可以做功。
3、洛伦兹力的大小
（1）如果带电粒子速度方向与磁感应强度方向平行，f＝0。
（2）如果带电粒子速度方向与磁感应强度方向垂直，f＝qvB。
（3）如果电荷运动的方向与磁场方向夹角为θ，f＝qvBsinθ。
4、判断洛伦兹力的方向（左手定则）
（1）正电荷所受洛伦兹力的方向
伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场中，让磁感线垂直穿入手心，四指指向为正电荷运动的方向，那么，拇指所指的方向就是正电荷所受洛伦兹力的方向。
（2）负电荷所受洛伦兹力的方向
同样应用左手定则判断，只是四指指向负电荷运动的相反方向，拇指所指的方向即为负电荷所受洛伦兹力的方向。
5、对洛伦兹力方向的理解
（1）决定洛伦兹力方向的因素有三个：电荷的电性（正、负）、速度方向、磁感应强度的方向。
当电荷电性一定时，其他两个因素中，如果只让一个因素相反，则洛伦兹力方向必定相反；如果同时让两个因素相反，则洛伦兹力方向将不变。
（2）在研究电荷的运动方向与磁场方向垂直的情况时，由左手定则可知，洛伦兹力的方向既与磁场方向垂直，又与电荷的运动方向垂直，即洛伦兹力垂直于v和B两者所决定的平面。
（3）由于洛伦兹力的方向总是跟运动电荷的速度方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功，洛伦兹力只能改变电荷速度的方向，不能改变电荷速度的大小。
6、洛伦兹力计算的注意事项
（1）洛伦兹力必垂直于v、B方向决定的平面。
（2）v与B不一定垂直，当不垂直时，将v研垂直B方向分解。
（3）当运动电荷带负电时，四指应指向其运动的反方向。
（4）利用f＝qvBsin θ计算f的大小时，必须明确θ的意义及大小。
7、洛伦兹力公式的推导
设导线横截面积为S，单位体积中含有的自由电子数为n，每个自由电子的电荷量为e，定向移动的平均速率为v，垂直于磁场方向放入磁感应强度为B的磁场中，如图所示。
截取一段长度l＝vΔt的导线，这段导线中所含的自由电子数为N，则
N＝nSl＝nSvΔt
在Δt时间内，通过导线横截面的电荷为
Δq＝neSvΔt
通过导线的电流为
I＝＝neSv
这段导线所受到的安培力
F＝IlB＝neSv2BΔt
每个自由电子所受到的洛伦兹力
f＝＝evB
8、洛伦兹力与电场力的比较（都反映了电场和磁场都具有力的性质）
（1）电场力
①产生条件：带电粒子只要处在电场中，一定受到电场力；
②大小方向：F＝qE，F的方向与E同向或反向；
③特点：电场力可做正功、负功或不做功。
（2）洛伦兹力
①产生条件：仅在运动电荷的速度方向与B不平行时，运动电荷才受到洛伦兹力；
②大小方向：F＝qvBsinθ，方向与B垂直，与v垂直，用左手定则判断；
③特点：洛伦兹力永不做功。
【典例精析】
例1、如图所示，有一磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场，一束电子流以初速度v从水平方向射入，为了使电子流经过磁场时不偏转（不计重力），则磁场区域内必须同时存在一个匀强电场，这个电场的场强大小和方向是（ ）
A.，竖直向上 B.，水平向左
C．Bv，垂直于纸面向里 D．Bv，垂直于纸面向外
【答案】C。　
例2、在下列选项的四个图中，标出了匀强磁场的磁感应强度B的方向、带正电的粒子在磁场中速度v的方向和其所受洛伦兹力F洛的方向，其中正确表示这三个方向关系的图是（ ）
【答案】B。
例3、下列说法正确的是（ ）
A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用
B．同一电荷，以相同大小的速度进入磁场，速度方向不同时，洛伦兹力的大小不同
C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度
D．洛伦兹力对带电粒子不做功
【答案】D。
例4、来自宇宙的质子流，以与地球表面垂直的方向射向赤道上空的某一点，则这些质子在进入地球周围的空间时，将（ ）
A．竖直向下沿直线射向地面 B．相对于预定地点，稍向东偏转
C．相对于预定地点，稍向西偏转 D．相对于预定地点，稍向北偏转
【答案】B。
例5、带电油滴以水平速度v0垂直进入磁场，恰做匀速直线运动，如图所示，若油滴质量为m，磁感应强度为B，则下述说法正确的是（ ）
A．油滴必带正电荷，电荷量为 B．油滴必带正电荷，比荷＝
C．油滴必带负电荷，电荷量为 D．油滴带什么电荷都可以，只要满足q＝
【答案】A。
例6、如图所示，各图中匀强磁场的磁感应强度均为B，带电粒子的速率均为v，所带电荷量均为q，试求出各图中带电粒子所受洛伦兹力的大小，并标出洛伦兹力的方向。
【答案】
甲：因为v与B垂直，所以f＝qvB，方向与v垂直斜向左上方，如图。
乙：v与B的夹角为30°，v取与B的垂直分量，则f＝qvBsin 30°＝qvB，方向垂直纸面向里，图略。
丙：由于v与B平行，所以带电粒子不受洛伦兹力，图略。
丁：因为v与B垂直，所以f＝qvB，方向与v垂直斜向左上方，如图。
考点二、带电粒子在磁场中的运动
1、运动性质
由于带电粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力方向总是与速度方向垂直且大小不变，因此带电粒子将做匀速圆周运动，圆周运动的轨道平面与磁场方向垂直，其向心力来自洛伦兹力。
2、向心力
由洛伦兹力f提供，即qvB＝m。
3、半径公式
带电粒子q，以速度v垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。
qvB＝m，解得：R＝。由半径公式可知带电粒子运动的轨道半径与运动的速率、粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比。
4、周期公式
由T＝可得：T＝。由周期公式可知带电粒子的运动周期与粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而与轨道半径和运动速率无关。
【典例精析】
例7、一质量为m、电荷量为q的带电粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动，其效果相当于一环形电流，则此环形电流为多大（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A。
例8、两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行．一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子(不计重力)，从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的（ ）
A．轨道半径减小，角速度增大 B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大 D．轨道半径增大，角速度减小
【答案】D。
例9、两相邻匀强磁场区域的磁感应强度大小不同、方向平行。一速度方向与磁感应强度方向垂直的带电粒子（不计重力），从较强磁场区域进入到较弱磁场区域后，粒子的（ ）
A．轨道半径减小，角速度增大
B．轨道半径减小，角速度减小
C．轨道半径增大，角速度增大
D．轨道半径增大，角速度减小
【答案】D。
例10、（多选）有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子（ ）
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍 B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍 D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
【答案】AC。
考点三、带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1、画轨迹，定圆心
根据题意分析带电粒子在磁场中的受力情况，确定它在磁场中的运动轨迹是圆还是一段圆弧，根据粒子入射、出射磁场时的方向，粗略画出粒子在磁场中的运动轨迹，并在此基础上定出圆周运动的圆心位置。
（1）圆心的确定
带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，其圆心一定在与速度方向垂直的直线上。通常有两种确定方法。
①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心。
②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图乙所示，P为入射点，M为出射点，O为轨道圆心。
2、求圆心角、半径或运动时间：主要利用几何关系求出。
（1）圆心角的确定
①带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角，偏向角等于圆弧所对应的圆心角α，即α＝φ，如图所示。
②圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，即α＝2θ，如图所示。
（2）运动半径的确定
作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法，求解出半径的大小，并与半径公式r＝联立求解。
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：t＝T或者。可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长。
3、找联系用规律
首先寻找轨迹半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度（圆心角）与运动时间、周期的联系等，然后运用规律，即牛顿第二定律和圆周运动规律，特别是周期公式、半径公式去分析求解。
4、带电粒子在不同边界匀强磁场中的运动特点
（1）带电粒子在有界磁场中的圆周运动的几种常见情形
①直线边界：进出磁场具有对称性，射入和射出磁场时，速度与边界夹角大小相等，如图所示。
②平行边界：存在临界条件，如图所示。
③圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。
（2）有界磁场中运动的对称性
①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。
（3）带电粒子在磁场中的运动时间
①当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②当速率v变化时，必须看圆心角，圆心角越大的，运动时间越长
5、带电粒子在磁场中运动的临界问题
带电粒子在有界匀强磁场中运动，有时会出现临界（极值）问题。分析该类题目的关键是找出临界（极值）条件，而分析临界（极值）条件的方法是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况。必要时画几个不同半径的圆周的轨迹，就能顺利地找到临界条件。
【典例精析】
例11、（多选）长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为L，极板不带电。现有质量为m，电荷量为q的带正电粒子（重力不计），从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平射入，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ）
A．使粒子速度v＜ B．使粒子速度v＞
C．使粒子速度v＞ D．使粒子速度 ＜v＜
【答案】AB。
例12、如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电量大小为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁场时的位置。
【答案】，（，0）或 ，（，0）
例13、如图所示，直线MN上方为磁感应强度为B的足够大的匀强磁场，一电子质量为m，电荷量为e。以v的速度从点O与MN成30°角的方向射入磁场中，求：
（1）电子从磁场中射出时距O点多远？
（2）电子在磁场中运动的时间是多少？
【答案】（1）；（2）。
例14、如图所示，带负电的粒子沿垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，带电粒子质量m＝3×10-20 kg，电荷量q＝10-13 C，速度v0＝105 m/s，磁场区域的半径R＝3×10-1 m，不计粒子的重力，求磁场的磁感应强度B。
【答案】 T。
【课后练习】
1、关于安培力和洛伦兹力，下列说法正确的是（ ）
A．安培力和洛伦兹力是性质不同的两种力
B．安培力可以对通电导线做功，洛伦兹力对运动电荷一定不做功
C．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零
D．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的运动状态
【答案】B。
2、有关电荷所受电场力和洛伦兹力的说法中，正确的是（ ）
A．电荷在电场中一定受电场力的作用
B．电荷在磁场中一定受磁场力的作用
C．电荷受电场力的方向与该处的电场方向一致
D．电荷若受磁场力，则受力方向与该处的磁场方向不一定垂直
【答案】A。
3、（多选）以下四个图是表示磁场磁感应强度B、负电荷运动方向v和磁场对负电荷洛伦兹力F的相互关系图，这四个图中画得正确的是（B、v、F两两垂直）（ ）
A　　　　B　　　　C　　　 D
【答案】ABC。
4、下列各选项中，电荷的速度方向、磁场方向和电荷的受力方向之间关系正确的是（ ）
【答案】C。
5、地球有较强的磁场，由于地磁场的作用，可以使从太阳发出的高能粒子流在射向地面时发生偏转，因此起到保护地球上的生命免受高能粒子流伤害的作用。已知地球赤道上空地磁场的磁感线方向是由南向北的，从太阳喷射出的质子（带正电）垂直与地面射向赤道，在地磁场的作用下，这些质子将向哪个方向偏转（ ）
A．向东　　　　　　　 　B．向南
C．向西 D．向北
【答案】A。
6、带电荷量为＋q的粒子在匀强磁场中运动，下列说法中正确的是（ ）
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向、大小不变，则洛伦兹力的大小、方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子在只受洛伦兹力作用下运动的动能、速度均不变
【答案】B。
7、如图所示圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率沿着AO方向对准圆心O射入磁场，其运动轨迹如图所示。若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a粒子速率最大
B．c粒子在磁场中运动的时间最长
C．c粒子速率最大
D．它们做圆周运动的周期Ta【答案】C。
8、（多选）如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t。若加上磁感应强度大小为B、水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的（ ）
A．带电粒子的比荷 B．带电粒子在磁场中运动的周期
C．带电粒子的初速度 D．带电粒子在磁场中运动的半径
【答案】AB。
9、如图所示，一个带负电荷的物体从粗糙斜面顶端滑到斜面底端时的速度为v。若加上一个方向为垂直纸面向外的磁场，则物体滑到底端时（ ）
A．v变大 B．v变小 C．v不变 D．不能确定
【答案】B。
10、如图所示，在第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对正、负离子（质量相同）以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，则正、负离子在磁场中运动时间之比为（ ）
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶ D．1∶1
【答案】B。
11、一个单摆摆球带正电，在水平匀强磁场中振动。振动平面与磁场垂直，如图所示 ，图中C点为摆球运动的最低点，摆球向右运动和向左运动通过C点时，以下说法中正确的是（ ）
A．受到的洛伦兹力相同 B．悬线对摆球的拉力相等
C．具有相同的动能 D．具有相同的速度
【答案】C。
12、（多选）如图所示，横截面为正方形的容器内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一束电子从a孔垂直于边界和磁场射入容器中，其中有一部分从c孔射出，一部分从d孔射出，则（ ）
A．从两孔射出的电子速率之比为vc∶vd＝2∶1
B．从两孔射出的电子在容器中运动的时间之比为tc∶td＝1∶2
C．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为ac∶ad＝∶1
D．从两孔射出的电子在容器中运动时的加速度大小之比为ac∶ad＝2∶1
【答案】ABD。
13、如图所示，匀强磁场磁感应强度为B＝0.2 T，方向垂直纸面向里。在磁场中的P点引入一个质量为m＝2.0×10-8 kg、带电荷量为q＝＋5×10-6 C的粒子，并使之以v＝10 m/s的速度垂直于磁场方向开始运动，运动方向如图所示，不计粒子重力，磁场足够大。
（1）请在图上大致画出粒子做匀速圆周运动的轨迹；
（2）粒子做匀速圆周运动的半径和周期为多大；
（3）穿过粒子圆周运动轨迹平面内的磁通量为多大。
【答案】
（1）如图
（2）0.2 m，0.1256 s；
（3）2.512×10-2 Wb。
14、如图所示，一束电子（电荷量为e）以速度v由A点垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，在C点穿出磁场时的速度方向与原来电子的入射方向的夹角为θ＝30°，则电子的质量是多少，电子穿过磁场的时间是多少？
【答案】；。

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