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2021年河南省中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
的绝对值是
A. 2 B. C. D.
河南省人民济困最“给力”据报道，2020年河南省人民在济困方面捐款达到亿元数据“亿”用科学记数法表示为
A. B. C. D.
如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是
A.
B.
C.
D.
下列运算正确的是
A. B.
C. D.
如图，，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
关于菱形的性质，以下说法不正确的是
A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形
若方程没有实数根，则m的值可以是
A. B. 0 C. 1 D.
现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是
A. B. C. D.
如图， OABC的顶点，，点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点将绕点O顺时针旋转得到，当点D的对应点落在OA上时，的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为
A.
B.
C.
D.
如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为
4 B. 5 C. 6 D. 7
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
请写出一个图象经过原点的函数的解析式______ ．
某外贸公司要出口一批规格为200克盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，他们的价格相同，品质也相近质检员从两厂产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是______ 填“甲”或“乙”．
如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，，则的长为______ ．
小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ．
三、解答题(本大题共8小题，共75.0分)
计算：；
化简：．
2021年4月，教育部印发关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
调查问卷
近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．
如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题
影响你睡眠时间的主要原因是______单选．
A.校内课业负担重
B.校外学习任务重
C.学习效率低
D.其他
平均每天睡眠时间时分为5组：；；；；．
根据以上信息，解答下列问题：
本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第______ 填序号组，达到9小时的学生人数占被
调查人数的百分比为______ ；
请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．
求反比例函数的解析式；
求图中阴影部分的面积．
开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为，头底部C的仰角为，求佛像BD的高度结果精确到参考数据：，，．
在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，当AP与相切时，点B恰好落在上，如图2．
请仅就图2的情形解答下列问题．
求证：；
若的半径为5，，求BP的长．
猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别
价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价元个 40 30
销售价元个 56 45
第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个．
第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
小李第二次进货时采取了中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？
注：利润率
如图，抛物线与直线把交于点和点B．
求m和b的值；
求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标的取值范围．
下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；分别作线段CE，DF的垂直平分线，，交点为P，垂足分别为点G，H；作射线OP，射线即为的平分线．
简述理由如下：
由作图知，，，，所以≌，则，即射线OP是的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，分别在射线OA，OB上截取，点C，E不重合；连接DE，CF，交点为P；作射线射线OP即为的平分线．
任务：
小明得出≌的依据是______ 填序号．
小军作图得到的射线0P是的平分线吗？请判断并说明理由．
如图3，已知，点E，F分别在射线OA，OB上，且点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且，连接DE，CF，交点为P，当时，直接写出线段OC的长．
参考答案及解析
【解析】A
根据绝对值定义，的绝对值是2，
即．
【解析】B
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
亿，
【解析】A
依题意，该几何体的主视图有三层，最上面有一个正方形，中间一层有两个正方形，最下面有三个正方形，且左侧是对齐的.
【解析】C
依题意，，所以该选项不合题意；
B.，所以该选项不合题意；
C.，所以该选项符合题意；
D.，所以该选项不符合题意．
【解析】D
根据图可知，的补角和是同位角，
且，
的同位角也是，
，
【解析】B
根据菱形的性质判断。
菱形的四条边相等，正确，
B.菱形的对角线互相垂直且平分，对角线不一定相等，不正确，
C.菱形的对角线互相垂直且平分，正确，
D.菱形是轴对称图形，正确．
【解析】D
根据题意，关于x的方程没有实数根，
，
∴，
∴只能为．
【解析】A
依题意，把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”有2种结果，
所以两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率=．
【解析】B
如图所示，延长交y轴于点E，延长，根据题意知的延长线经过点C，
，
，，
．
根据题意：≌，
，，，，．
则，OA平分，
是等腰三角形．
，．
，，
∽．
．
．
．
．
【解析】C
根据函数图象可知：当，即P在B点时，．
在中，
三角形任意两边之差小于第三边，
，
当且仅当P与E重合时即：PA一．
的最大值为AE，
．
在中，由勾股定理得：，
设BE的长度为t，
则，
，
即：，
，
∵，
，
，
．
．
【解析】
根据题意得：，
即，
【解析】答案不唯一
根据题意知，一次函数的图象经过原点，
即函数解析式的常数项为0，如答案不唯一．
13.【解析】甲
由图中折线可知，乙的起伏大，甲的起伏小，
所以乙的方差大于甲的方差，
因为方差越小，表明这组数据波动越小，分布比较集中，各数据偏离平均数越小，
所以产品更符合规格要求的厂家是甲．
14.【解析】
圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．如图所示：
，，
的长．
15.【解析】或
解点恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设交AB边于点E，
由题意知：≌≌，垂直平分线段．
则，．
，，，
．
，
．
．
在中，
，
，
．
如图所示，点恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，
由题意知：≌≌，；
则，．
，，
，
．
综上所述，线段的长为：或
16.【解析】（1）1；（2）
解：原式1
；
原式
．
17.【解析】
解：由图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数，
所以落在第组；
睡眠达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为：，
答案不唯一，言之有理即可．
18.【解析】（1）；（2）8.
解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为；
小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
设B点的坐标为，
反比例函数的图象经过B点，
，
，
小正方形的面积为，
大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且，
大正方形在第一象限的顶点坐标为，
大正方形的面积为，
图中阴影部分的面积大正方形的面积小正方形的面积．
19.【解析】 m．
解：由题意可知：，
，
在中，，，
，
，
解得，
答：佛像的高度约为 m．
20.【解析】
证明：连接OP，延长BO与圆交于点C，则，
如图1所示，
与相切于点P，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解：连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作于点D，如图2所示，
则：，
由可知，
，
，即，解得，，
，
在中，，
为圆的直径，
，
，
21.【解析】
【解析】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；解：设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个，
由题意得，，
解得：．
个．
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进个，获利y元，
由题意得．
款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．
，
，
．
，
随a的增大而增大．
时，元．
款玩偶为：个．
答：按照A款玩偶购进10个、B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元；
第一次的利润率，
第二次的利润率，
，
对于小李来说第二次的进货方案更合算．
22.【解析】
解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
将点A的坐标代入直线表达式得：，解得；
故，；
由得，直线和抛物线的表达式为：，，
联立上述两个函数表达式并解得，
即点B的坐标为，
从图象可知，不等式 的解集为或；
当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
的距离为3，而AB的距离为3，故此时只有一个交点，即；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 时，抛物线和MN交于抛物线的顶点，即时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上所述， 或 ．
23.【解析】
解：如图1所示，由作图得，，，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌
射线OP是的平分线，
理由：
如图2所示，，，，
≌，
，
，，
≌，
，
，，，
≌，
，即，
是的平分线．
如图3所示，，连接OP，作，则，
由得，OP平分，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
由，得，解得，
，
，
；
如图4所示，，连接OP，作，则，
同理可得，，，，，
，
，
，
．
综上，OC的长为2或．

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