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第12章 实数解答题
1．（2021·上海杨浦·七年级期中）阅读下面的文字，解答问题．
对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差．
例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．
（1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　；
（2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　．
（3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　．
2．（2021·上海市文来中学七年级期中）已知：，，求的值.
3．（2021·上海市文来中学七年级期中）计算：
4．（2021··七年级期中）计算：
5．（2021·上海·七年级期中）利用分数指数幂的运算性质进行计算：
6．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）利用幂的运算性质计算：．
7．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）已知，且为正数，求的算数平方根．
8．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）已知实数满足等式，求的值
9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）解方程：
10．（2021·上海浦东新·七年级期中）用幂的运算性质计算：
11．（2021··七年级期中）计算：
12．（2021··七年级期中）计算：
13．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）对于实数，我们规定用表示不小于的最小整数，称为的根整数，如．
（1）计算：______．
（2）现对进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次，再进行第二次求根整数，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数，______次后结果为2．
（3）若，写出满足题意的的整数值：______．
14．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）利用幂的运算性质计算：．
15．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）已知的负的平方根是，的立方根是3，求的四次方根．
16．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）数轴上的点A、B依次表示两个实数．
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是，求点C所对应的实数．
17．（2021·上海市文来中学七年级期中）
18．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）利用幂的运算性质进行计算：
19．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）
20．（2021·上海浦东新·七年级期中）计算：．
21．（2021·上海市罗南中学七年级期中）计算：
22．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）
23．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）计算：．
24．（2021·上海市罗南中学七年级期中）计算（结果表示为含幂的形式）：．
25．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）计算：．
26．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）计算：（结果保留幂的形式）
27．（2021·上海松江·七年级期中）利用幂的性质计算：．
28．（2021··七年级期中）计算：
29．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）数轴上A、B、C、D依次表示四个实数：、、、0
（1）在数轴上描出点A、B、C、D的大致位置；
（2）求AD两点之间的距离
30．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）
31．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）利用幂的性质计算：
32．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）计算：．
33．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）利用幂的运算性质计算：．
34．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）计算：．
35．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）计算：．
36．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）利用幂的运算性质计算：．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4
【解析】
（1）依照定义进行计算即可；
（2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3；
（3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算．
解：（1）由定义可得，，，
．
故答案为：2；．
（2），
，即，
整数的值为1、2、3．
故答案为：1、2、3．
（3），即，
可设，且是自然数，
是符合条件的所有数中的最大数，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：256，4．
【点睛】
本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键．
2．50.
【解析】
首先利用完全平方公式对根号下的式子进行变形，然后开方，而符合平方差公式，分解因式后分式可以约分，继续化简可得原式=，将代入即可解答.
解：，
=
=，
=，
=，
=，
=，
∵，
∴原式==50.
【点睛】
本题所考查的内容“分式的运算”和分数指数幂，全面考查了平方差公式、完全平方公式、幂的运算、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．
3．
【解析】
被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成是将平方得到的，因此可以用待定系数法化简．
解：设，
两边平方得：，
∴，
②×③×④得;
,
∵均为非负数，
∴，
∴，
⑤÷②得，，
同理有，
所求的显然满足①，
所以，原式=
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简方法，由复合二次根式的被开方数复杂，可以通过设未知数，利用平方法解题．
4．
【解析】
根据二次根式的乘法，绝对值的性质、负整指数幂的运算法则解题．
解：原式=
=
= ．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，是重要考点 ，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．4
【解析】
首先将每个根式化为以2为底数的幂，然后根据同底数幂的除法与乘法运算法则求解即可求得答案．
解：原式
【点睛】
此题考查了分数指数幂的知识．此题难度适中，解题的关键是掌握分数指数幂的定义，同底数幂的除法与乘法运算法则．
6．4
【解析】
直接利用分数指数幂的性质分别化简得出答案．
=
=
=
=
=4
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
7．3
【解析】
先求出a的平方根，根据题意求得a值，再代入求出代数式的值，即可求解．
解：由得：，
解得：，
∵为正数，
∴，
∴，
∴的算数平方根是3．
【点睛】
本题考查平方根、算术平方根、代数式的求值，正确求出平方根和算术平方根是解答的关键．
8．
【解析】
，，，结合题意可得，进而可得，根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值．
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形，算术平方根的非负性，非负数之和为0，求得的值是解题的关键．
9．．
【解析】
利用直接开立方根的方法求解即可．
解：
∴
∴
∴．
【点睛】
本题考察了解方程中的直接开平方法，熟悉相关解法是解题的关键．
10．1
【解析】
根据分数指数幂和根式的转化即可解答.
解：原式= ，故答案为1.
【点睛】
本题考查了分数指数幂和根式的转化，准确计算是解题的关键.
11．0
【解析】
利用去括号法则进行进行展开，然后再进行计算即可．
解:
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，涉及了去括号法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．．
【解析】
利用平方根、立方根定义计算即可求出值．
原式
．
【点睛】
此题考查了实数的运算，涉及平方与平方根、立方根等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（1）3；（2）3；（3）2，3，4．
【解析】
（1）根据定义求解即可；
（2）根据，，，可得对100进行3次连续求根整数后结果为2；
（3）根据，，并且，得到，据此求解即可．
解：（1）∵，所以不小于的最小整数是3，即；
（2），，，所以100进行连续求根整数，3次后结果为2；
（3）∵，，并且，
则，所以满足题意的的整数值有2，3，4．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．．
【解析】
先转换成底数相同的幂，再利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可得出结果．
解：
．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，正确掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
15．
【解析】
根据的负的平方根是，的立方根是3，可以求得、的值，从而可以求得所求式子的四次方根．
解：的负的平方根是，的立方根是3，
，
解得，，
，
的四次方根是，
即的四次方根是．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，以及二元一次方程组的解法，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
16．（1）见解析；（2）或﹣3
【解析】
（1）根据两个数的范围找到其在数轴上的大致位置．
（2）利用数轴上两点间的距离公式即可计算．
解：（1）如图：
（2）设点C表示的数是x，则：
|x+|＝2．
∴x＝或﹣3．
∴点C表示的数是或﹣3．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的对应关系即数轴上两点间的距离公式，正确使用距离公式是求解本题关键．
17．72
【解析】
直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式=
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．4
【解析】
先每个根式都化成2的乘方的形式，然后计算即可．
解：原式====4．
19．
【解析】
首先将括号内化简，化简符号，再根据幂的乘方运算化简即可
解：
．
【点睛】
本题考查了分数指数幂，幂的乘法的运算，掌握幂的乘法运算是解题的关键．
20．2
【解析】
根据分数指数幂，负整数指数幂，算术平方根的运算法则逐一进行云计算后，再按运算顺序进行即可．
解：原式＝
∴原式的值为2．
【点睛】
本题考查了分数指数幂，有理数的混合运算，立方根，平方根等知识．解题的关键在于正确求解分数指数幂．
21．．
【解析】
根据实数的加减法则即可得．
解：原式
．
【点睛】
本题考查了实数的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．
22．
【解析】
根据分数指数幂的定义，将原式化简为算术平方根的形式，进而根据求算术平方根，求立方根求解即可．
解：
【点睛】
本题考查了分数指数幂，掌握分式指数幂的运算是解题的关键．分数指数幂是根式的另一种表示形式，即n次根号(a的m次幂)可以写成的次幂．
23．
【解析】
根据立方根、平方根以及零指数幂、负指数幂的意义计算．
解：原式＝
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
24．．
【解析】
先计算积的乘方的逆用，再计算同底数幂的乘法即可得．
解：原式
．
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆用、同底数幂的乘法、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．
25．6
【解析】
分别化简后进行加减运算得出答案即可．
解：原式
．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
26．
【解析】
根据幂的运算法则及实数的性质进行化简即可求解．
原式
．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则及公式的运用．
27．9
【解析】
根据n次方根与分数指数幂的关系即可完成．
故答案为：9
【点睛】
本题考查了n次方根与分数指数幂的关系：即（其中n为正整数且a为正实数），幂的运算性质等知识，掌握这两部分知识是关键．
28．6
【解析】
直接利用二次根式的性质以及分数值数幂的性质、零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
解：原式
=
=6．
【点睛】
本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
29．（1）大致位置见解答过程；（2）．
【解析】
（1）根据A、B、C、D表示的数描出大致位置即可；
（2）AD两点之间的距离即是A、D表示的数的差之绝对值．
解：（1）数轴上描出点A、B、C、D的大致位置如图：
（2）AD两点之间的距离为：．
【点睛】
本题考查数轴上点表示的数，解题的关键是根据各数的近似值描出其在数轴上的大致位置．
30．25
【解析】
分别利用平方根、立方根及分数指数幂的运算法则进行计算，即可求得结果．
解：
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握平方根、立方根及分数指数幂的运算法则是解题的关键．
31．3
【解析】
将原式先化简成指数幂的形式再计算即可．
解：原式=


=3
【点睛】
本题考查分数指数幂运算，解题的关键是先将原式化简为幂的形式．
32．
【解析】
先计算除法，立方根，负整数指数幂，零指数幂，然后进行加减运算即可．
解：
【点睛】
本题考查了立方根，负整数指数幂，零指数幂，实数的运算．解题的关键在于正确的计算．
33．8
【解析】
首先将，，转化成同底数的指数幂形式，再按照同底数幂的运算法则进行计算即可求出结果．
解：
【点睛】
本题考查了分数指数幂，同底数幂的运算，掌握根式与分数指数幂的互化是解本题的关键．
34．-2
【解析】
根据负指数幂即零指数幂计算即可．
解：原式
．
【点睛】
题目主要考查负指数幂及零指数幂、分数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
35．3
【解析】
利用指数的运算法则，二次根式法则，化简求解即可．
解：
．
【点睛】
本题考查指数的运算、二次根式运算法则的应用，是基础题．
36．4
【解析】
直接利用分数指数幂的性质计算得出答案．
解：
．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的乘除运算以及分数指数幂的性质，正确将原式变形是解题关键．
答案第1页，共2页

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