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华东师大版九年级数学上册 第 22章 一元二次方程
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22.2 一元二次方程的解法
3. 公式法
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1．掌握公式法解一元二次方程的一般步骤；熟练地用求根公式解一元二次方程．
2．用配方法推导解一元二次方程的求根公式．
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1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是________________________．
2．将一元二次方程中____________的值，直接代入________，就可以得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
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1．写出一元二次方程2x2－3＝5x的一般形式__________，则a＝______，b＝______，c＝________．
2．已知一元二次方程x2＋2x＋3＝0，则b2－4ac＝________．
3．利用求根公式解方程：x2－6x＋1＝0.
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韦达是16世纪法国最伟大的数学家之一，当时比利时数学家提出一个一元45次方程的求解问题向各国数学家挑战．方程如下：
x45－45x43＋945x41－12 300x39＋111 150x37－740 459x35＋3 764 565x33－14 945 040x31＋46 955 700x29－117 679 100x27＋236 030 652x25－378 658 800x23＋483 841 800x21－488 494 125x19＋384 942 375x17－232 676 280x15＋105 306 075x13－34 512 074x11＋7 811 375x9－1 138 500x7＋95 634x5－3 795x3＋45x＝.
法国国王把这个问题交给了韦达，韦达当时就得出一个解，回家后一鼓作气，很快又得出22个解，答案公布，震惊世界．像这种高次方程，有没有一个通法，也就是说：对于每个次数的一元方程能否找出一个公式来求解，一直是各国数学家都想解决的一个问题．今天我们一起来探究一元二次方程是否可找出一个求解公式．
知识回顾：
用配方法解方程：
x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．
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请你用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
请考虑以下问题：
1．为什么方程两边可以同时除以a
2．方程配方时要配上什么数？
3．方程直接开方时应关注什么问题？如何确定≥0
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例 解下列方程：
(1)3x2＋x－4＝0；
(2)2x2＋5＝8x；
(3)9x2－3x＋5＝1＋9x.
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1．解下列方程：
(1)x2－7x－18＝0；
(2)4x2＋1＝4x.
2．解关于x的一元二次方程：kx2－(k＋1)x＋1＝0(k≠0)．
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1．总结出用求根公式解一元二次方程的一般步骤．
2．应用求根公式解一元二次方程时要注意些什么？
参考答案
22.2 一元二次方程的解法
3. 公式法
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1．x＝(b2－4ac≥0)
2．系数a、b、c；求根公式
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1．2x2－5x－3＝0；2；－5；－3
2．－4
3．解：a＝1，b＝－6，c＝1，
b2－4ac＝36－4＝32，
x＝
＝
＝，
x1＝3＋2，x2＝3－2.
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解：x2＋px＝－q，
x2＋px＋＝－q＋，
＝，
x＋＝±，
x＋＝±，
x1＝，x2＝.
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解：两边同时除以a，得x2＋x＋＝0.
x2＋x＝－，
x2＋x＋2＝－＋2，
2＝，
因为a≠0，所以4a2>0，
①当b2－4ac≥0时，得≥0，
x＋＝±，
即x＝－±，
得x＝－±，
即x1＝，x2＝.
②当b2－4ac<0时，原方程无解．
1．因为a≠0.
2．二次项系数化为1，常数项移至右边，配方时要配上一次项系数一半的平方．
3．应关注方程右边要为非负数，即确定≥0；因为a≠0，即4a2>0，所以要确定≥0，必需要满足b2－4ac≥0.
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例. (1)解：a＝3，b＝1，c＝－4，
b2－4ac＝12－4×3×(－4)＝49，
x1＝，x2＝，
x1＝1，x2＝－.
(2)解：2x2－8x＋5＝0，
a＝2，b＝－8，c＝5，
b2－4ac＝(－8)2－4×2×5＝24，
x1＝，x2＝，
x1＝，x2＝.
(3)解：9x2－12x＋4＝0，
a＝9，b＝－12，c＝4，
b2－4ac＝(－12)2－4×9×4＝0.
x1＝x2＝.
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1. (1) 解：x1＝9，x2＝－2.
(2) 解：x1＝x2＝.　
2．解：∵a＝k，b＝－(k＋1)，c＝1，
∴b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4k＝(k＋1)2－4k＝k2－2k＋1＝(k－1)2.
∵(k－1)2≥0，
∴x1＝＝1，x2＝＝.
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1. (1)把方程化成一般形式(a≠0)；
(2)写出a、b、c的值；
(3)求出b2－4ac的值；
(4)若b2－4ac≥0，将a，b，c的值．
代入求根公式x＝ ，
求出方程的解，若b2－4ac<0，则方程无解．
2．要先把方程化为一般形式，要注意a≠0，
且当b2－4ac≥0时，方程有解．
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