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华东师大版九年级数学上册 第 22章 一元二次方程
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22.2 一元二次方程的解法
4. 一元二次方程根的判别式
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1．掌握一元二次方程根的判别式，渗透分类讨论思想．
2．利用根的判别式解决问题．
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1．一元二次方程根的判别式：Δ＝________；
2．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，
当________时，方程有两个不相等的实数根；当________时，方程有两个相等的实数根；当________时，方程没有实数根．
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1．下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2－6x＋9＝0　
B．x2－7x－3＝0
C．x2－x＋1＝0　　
D．x2－8x＋15＝0
2．已知关于x的一元二次方程2x2＋3x－k＝0有两个相等的实数根，则k＝________．
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1．你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2．能力展示，分组比赛解方程：
(1)x2＋4＝4x；
(2)x2＋2x＝3；
(3)x2－x＋2＝0.
3．观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？
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对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？
请考虑以下问题：
1．为什么说方程根的情况是由b2－4ac决定的？
2．你能说出一元二次方程根的情况具体有哪几种，又是如何判别的吗？
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例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)2x2＝5x－3；
(2)3x2－2x＋1＝0；
(3)4x2－3(x－2)＝4.
例2 已知关于x的方程2x2－(3＋4k)x＋2k2＋k＝0.
(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？
(3)当k取何值时，方程没有实数根？
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1．关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．a＞－2 B．a＞2
C．a＞－1 D．a＞1
2．已知一元二次方程(x＋1)(4x＋1)＝2x，则该方程根的情况是______________．
3．若关于x的方程2x2＋4x－c＝0有两个相等的实数根，求方程的根．
4．已知关于x的方程x2＋mx＋m－1＝0.
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若该方程只有一个根是负数，求m的取值范围．
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1．一元二次方程根的判别式是什么？
2．根的判别式与一元二次方程根的情况有什么关系？
3．在根的情况研究过程中，你体会到了什么数学思想？
参考答案
22.2 一元二次方程的解法
4. 一元二次方程根的判别式
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1．b2－4ac
2．Δ>0；Δ＝0；Δ<0
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1．C　2. －
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1．直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法．
2． (1) 解：x1＝x2＝2.
(2) 解：x1＝1，x2＝－3.
(3) 解：无实数根．
3．关于一元二次方程x2＋px＋q＝0，
当Δ＝p2－4q>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝p2－4q＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝p2－4q<0时，方程没有实数根．
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1．因为在用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，配方得2＝，左右两边开平方时，由b2－4ac决定右边的取值情况．
2．当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根．
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例1. (1) 解：2x2－5x＋3＝0，
a＝2，b＝－5，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝1>0，
2x2＝5x－3有两个不相等的实数根．
(2) 解：a＝3，b＝－2，c＝1，
Δ＝(－2)2－4×3×1＝0，
3x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根．
(3) 解：4x2－3x＋6－4＝0，
4x2－3x＋2＝0，
Δ＝9－4×4×2<0，
4x2－3(x－2)＝4无实数根．
例2. (1) 解：Δ＝[－(3＋4k)]2－4×2×(2k2＋k)
＝9＋24k＋16k2－16k2－8k
＝9＋16k，
由题意知Δ>0，∴9＋16k>0，解得k>－，
∴当k>－时，方程有两个不相等的实数根；
(2) 解：由(1)知Δ＝9＋16k，
∵Δ＝0，∴当k＝－时，方程有两个相等的实数根；
(3)由(1)知Δ＝9＋16k，
∵Δ<0，∴当k<－时，方程没有实数根．
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1．B
2．无实数根
3．解：Δ＝42－4×2×(－c)
＝16＋8c
＝0，
所以c＝－2，
一元二次方程为2x2＋4x＋2＝0.
所以x1＝x2＝＝－1.
4．(1)证明：∵Δ＝m2－4(m－1)＝(m－2)2≥0，
∴方程总有实数根；
(2)解：∵Δ＝(m－2)2≥0，∴x＝，
解得x1＝－1，x2＝－m＋1.
∵方程只有一个根是负数，
∴－m＋1≥0，
∴m≤1.
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1．Δ＝b2－4ac.
2．当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根．
3．转化和分类讨论思想．
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